微练9 函数性质的综合应用(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(九)　函数性质的综合应用 　　 　　　　　　　　　　　　　　基础应用 一、单项选择题 1.已知偶函数f(x)满足f(x)=x2+2-x(x≤0),则f(x)在(0,+∞)上 (A) A.单调递增 B.单调递减 C.先递增后递减 D.先递减后递增 解析　f(x)=x2+,由y=x2与y=在(-∞,0]上单调递减,得f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增。故选A。 2.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 (A) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 解析　因为f(x)是偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2)。又因为函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2)。故选A。 3.已知偶函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+2)-f(x)=f(1),且f(0)=8,则f(99)+f(100)= (C) A.0 B.6 C.8 D.16 解析　因为f(x)为偶函数,f(x+2)-f(x)=f(1),所以f(-1+2)-f(-1)=f(1),解得f(1)=0,所以f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为2,所以f(100)=f(0)=8,f(99)=f(1)=0,故f(99)+f(100)=8。故选C。 4.设f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围是 (C) A.{x|x>1} B.{x|-1<x<0} C.{x|x<-1,或x>1} D.{x|1<x<0,或x>1} 解析　因为当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1单调递增,又因为f(x)为偶函数,故可以作出f(x)的大致图象如图所示。由图象可知,若f(x)>0,则x<-1或x>1。故选C。 5.已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(5.5)=2,g(x)=(x-1)f(x)。若g(x+1)是偶函数,则g(-0.5)= (D) A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析　因为g(x+1)是偶函数,所以g(x)的图象关于直线x=1对称,又g(x+1)=xf(x+1),所以f(x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,又f(x)为偶函数,所以f(x)的周期T=4,所以f(-0.5)=f(0.5)=-f(1.5)=-f(5.5)=-2,所以g(-0.5)=-1.5×f(-0.5)=3。故选D。 6.定义在R上的奇函数f(x),其图象关于点(-2,0)对称,且f(x)在[0,2)上单调递增,则 (A) A.f(11)<f(12)<f(21) B.f(21)<f(12)<f(11) C.f(11)<f(21)<f(12) D.f(21)<f(11)<f(12) 解析　函数f(x)的图象关于点(-2,0)对称,所以f(x-4)=-f(-x),又f(x)为定义在R上的奇函数,所以-f(-x)=f(x),所以f(x-4)=f(x),即函数f(x)的周期是4,则f(11)=f(-1),f(12)=f(0),f(21)=f(1),因为f(x)为奇函数,且在[0,2)上单调递增,则f(x)在(-2,2)上单调递增,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(11)<f(12)<f(21)。故选A。 7.函数f(x)(x∈R)满足f(x+6)+f(x)=2f(3),函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,则f(2 022)= (D) A.-16 B.-8 C.-4 D.0 解析　根据题意,由f(x+6)+f(x)=2f(3),知f(x+12)+f(x+6)=2f(3),两式相减,得f(x+12)=f(x),即f(x)是周期为12的周期函数,由y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且y=f(x)的图象是由y=f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到的,则y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,y=f(x)是奇函数。所以f(2 022)=f(12×168+6)=f(6),又由f(x+12)=f(x),令x=-6可得f(-6)=f(6),而f(x)为奇函数,则f(-6)=-f(6)=f(6),所以f(6)=0,故f(2 022)=f(6)=0。故选D。 二、多项选择题 8.设f(x)为定义在R上的函数,且f(x)-f(-x)=0,f(x+1)-f(x+3)=0,f(x)在[0,1]上单调递减,下列说法正确的是 (ABC) A.函数f(x)的图象关于y轴对称 B.函数f(x)的最小正周期为2 C.f(3)<f(4) D.函数f(x)在[2 025,2 026]上单调递减 解析　由f(x)-f(-x)=0可得f(x)=f(-x),故函数f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,所以A正确;由f(x+1)-f(x+3)=0可得f(x+1)=f(x+3),所以f(x)=f(x+2),所以函数f(x)的最小正周期为2,所以B正确;因为函数f(x)是偶函数,且在[0,1]上单调递减,最小正周期为2,故函数f(x)在[1,2]上单调递增,在[3,4]上单调递增,f(3)<f(4),故C正确;因为函数f(x)的最小正周期为2,所以函数f(x)在[2 025,2 026]上与在[1,2]上单调性一致,故函数f(x)在[2 025,2 026]上单调递增,所以D错误。故选ABC。 9.(2024·九省适应性考试)已知函数f(x)的定义域为R,且f≠0,若f(x+y)+f(x)f(y)=4xy,则 (ABD) A.f=0 B.f=-2 C.函数f是偶函数 D.函数f是减函数 解析　令x=,y=0,则有f×f(0)=f(1+f(0))=0,又f≠0,故1+f(0)=0,即f(0)=-1,令x=,y=-,则有f,即f(0)+f=-1,由f(0)=-1,可得f·f=0,又f≠0,故f=0,故A正确;令x=1,y=-,则有f+f(1)f=-2,又f=0,所以f=-2,故B正确;令y=-,则有f+f(x)f,即f=-2x,故函数f是奇函数,C错误;f=-2(x+1)=-2x-2,即f=-2x-2,即函数f是减函数,故D正确。故选ABD。 三、填空题 10.已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-1)=2f(10)+3,则f(2 024)= 1 。  解析　因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,所以f(10)=f(1)=-f(-1),因为f(-1)=2f(10)+3,所以f(-1)=-2f(-1)+3,所以f(-1)=1,所以f(2 024)=f(-1+675×3)=f(-1)=1。 11.若函数f(x)=e|x|-满足f(x+1)>f(3x-1),则实数x的取值范围为 (0,1) 。  解析　因为f(-x)=e|-x|-=f(x),所以f(x)为偶函数,所以f(x)=f(|x|)。易知当x≥0时,f(x)=ex-单调递增,所以f(x+1)>f(3x-1)⇔f(|x+1|)>f(|3x-1|),所以|x+1|>|3x-1|,所以(x+1)2>(3x-1)2,得0<x<1。 12.黎曼函数是一个特殊的函数,由德国著名的数学家黎曼发现并提出,在高等数学中有着广泛的应用,其定义为:定义在区间[0,1]上的函数R(x)= 若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x都有f(2-x)+f(x)=0,当x∈[0,1]时,f(x)=R(x),则f+f(lg 30)= - 。  解析　由于f(x)是奇函数,所以f(x)关于点(0,0)对称,又f(x)+f(2-x)=0,所以f(x)关于点(1,0)对称,故f(x)的周期T=2×(1-0)=2,则f,f(lg 30)=f(lg 3+lg 10)=f(lg 3+1)=f(lg 3-1)=-f(1-lg 3)=-R(1-lg 3)=0,所以f+f(lg 30)=-。 综合提能 13.(多选题)已知函数f(x)=1-cos πx,g(x)=e|x-1|,则 (BC) A.曲线y=f(x)+g(x)是中心对称图形 B.曲线y=f(x)+g(x)是轴对称图形 C.函数y=既有最大值又有最小值 D.函数y=只有最大值没有最小值 解析　令F(x)=f(x)+g(x)=e|x-1|-cos πx+1,则F(-x)=f(-x)+g(-x)=e|x+1|-cos πx+1≠F(x),所以曲线y=f(x)+g(x)不是中心对称图形,是轴对称图形,故A错误,B正确。因为g(x)≥1,0≤f(x)≤2,所以0<≤1,0≤≤2,又g(x)在x=1处取得最小值1,而f(x)=1-cos πx在x=1处取得最大值2,在x=0处取得最小值0,所以函数y=在x=1处取得最大值为2,在x=0处取得最小值为0,所以函数y=既有最大值又有最小值,故C正确,D错误。故选BC。 14.已知函数f(x)对∀x∈R满足f(x+2)·f(x)=2f(1),且f(x)>0。若y=f(x-1)的图象关于x=1对称,f(0)=1,则f(2 025)= 2 。  解析　因为y=f(x-1)的图象关于x=1对称,所以y=f(x)的图象关于x=0对称,即y=f(x)是偶函数。对于f(x+2)f(x)=2f(1),令x=-1,可得f(1)f(-1)=2f(1),又f(x)>0,所以f(-1)=2,则f(1)=f(-1)=2,所以函数f(x)对∀x∈R满足于f(x+2)f(x)=4,所以f(x+4)f(x+2)=4,所以f(x+4)=f(x),即f(x)是周期为4的周期函数,所以f(2 025)=f(506×4+1)=f(1)=2。 素养创新 15.(2024·河南名校大联考)写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式f(x)= 2sinx(答案不唯一) 。  ①f(x)的最大值为2; ②∀x∈R,f(2-x)=f(x); ③f(x)是周期函数。 解析　由于f(x)是周期函数,所以首先考虑f(x)为正弦型函数或余弦型函数。由∀x∈R,f(2-x)=f(x)可知,f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)的最大值为2,所以f(x)=2sinx或f(x)=2cos πx等。 16.(多选题)(2024·T8联考)已知函数f(x)的定义域为R,则下面判断正确的是 (BCD) A.若∀x∈R,f(x+1)>f(x),则函数f(x)在R上是增函数 B.若∀x1,x2∈R,|f(x1)+f(x2)|≤|sin x1+sin x2|,则函数f(x)是奇函数 C.若∀x1,x2∈R,|f(x1)-f(x2)|≤|sin x1-sin x2|,则函数f(x)是周期函数 D.若∀x1,x2∈(-1,1)且x1≠x2,|f(x1)-f(x2)|<|sin x1-sin x2|,则函数f(x)+sin x在区间(-1,1)上单调递增,函数f(x)-sin x在区间(-1,1)上单调递减 解析　令f(x)=sin(2πx)+x,满足f(x+1)>f(x),但f(x)在R上不是增函数,故选项A错误。令x1=x,x2=-x,则|f(x)+f(-x)|≤|sin x+sin(-x)|=0,所以f(x)+f(-x)=0,即f(x)=-f(-x),所以函数f(x)是奇函数,故选项B正确。因为∀x1,x2∈R,都有|f(x1)-f(x2)|≤|sin x1-sin x2|,所以|f(x)-f(x+2π)|≤|sin x-sin(x+2π)|=0,所以f(x)-f(x+2π)=0,即f(x)=f(x+2π),所以f(x)是周期函数,故选项C正确。任取-1<x1<x2<1,因为y=sin x在区间(-1,1)上单调递增,所以sin x1<sin x2,所以|sin x1-sin x2|=sin x2-sin x1,所以|f(x1)-f(x2)|<sin x2-sin x1,所以sin x1-sin x2<f(x1)-f(x2)<sin x2-sin x1,所以f(x2)-sin x2<f(x1)-sin x1且f(x1)+sin x1<f(x2)+sin x2,所以函数f(x)+sin x在区间(-1,1)上单调递增,函数f(x)-sin x在区间(-1,1)上单调递减,故选项D正确。故选BCD。 学科网（北京）股份有限公司 $$