微练8 函数的奇偶性、对称性、周期性(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(八)　函数的奇偶性、对称性、周期性 基础应用 一、单项选择题 1.下列函数是奇函数的是 (D) A.y=cos x B.y=x2 C.y=ln |x| D.y=ex-e-x 解析　对于A,y=cos x是余弦函数,是偶函数,不符合题意;对于B,y=x2是二次函数,是偶函数,不符合题意;对于C,y=ln|x|的定义域为{x|x≠0},且ln|-x|=ln|x|,该函数是偶函数,不符合题意;对于D,y=ex-e-x的定义域为R,且e-x-ex=-(ex-e-x),该函数是奇函数,符合题意。故选D。 2.若函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,则 (C) A.f(x+1)为偶函数 B.f(x-1)为偶函数 C.f(x+1)为奇函数 D.f(x-1)为奇函数 解析　因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以将f(x)的图象向左平移1个单位长度后所得图象关于原点对称,即f(x+1)是奇函数。故选C。 3.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=,则f= (A) A. B.2 C. D.8 解析　因为f(x+2)=f(x),所以f,因为∈[0,1],所以f。故选A。 4.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-。若f(2)+f(0)=1,则f(-3)= (A) A.-4 B.-3 C.-2 D.1 解析　因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0。又因为f(2)+f(0)=1,所以f(2)=4-=1,解得a=6,所以f(x)=2x-(x>0),所以f(-3)=-f(3)=-=-4。故选A。 5.已知函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=ex,则= (C) A. B. C. D. 解析　因为函数f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=ex,则f(-1)-g(-1)=,即-f(1)-g(1)=,而f(1)-g(1)=e,联立解得f(1)=,g(1)=-·,所以。故选C。 6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意的x∈R都有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+ax+b,则a+b= (C) A.0 B.-1 C.-2 D.2 解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数,且x∈[0,2]时,f(x)=x2+ax+b,所以f(0)=b=0,f(-x)=-f(x)。又对任意的x∈R,都有f(x+2)=-f(x),所以f(x+2)=f(-x),所以函数图象关于直线x=1对称,所以-=1,解得a=-2,所以a+b=-2。故选C。 二、多项选择题 7.(2024·四省适应性测试)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(-∞,0]上单调递减,则 (BD) A.f(f(1))<f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2)) 解析　因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数与奇函数,且两函数在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,g(x)在[0,+∞)上单调递减,即g(x)在R上单调递减,所以f(1)<f(2),g(2)<g(1)<g(0)=0,所以f(g(1))<f(g(2)),g(f(1))>g(f(2)),g(g(1))<g(g(2)),故B,D正确,C不正确。若f(1)<f(2)<0,则f(f(1))>f(f(2)),故A不正确。故选BD。 8.(2023·重庆大联考)已知函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),f(2-x)=f(x),且f(1)=1,则 (ABC) A.f(x)的图象关于直线x=1对称 B.f(x)的图象关于点(-2,0)对称 C.f(6)=0 D.f(5)=-1 解析　对于A,由f(2-x)=f(x),得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确;对于B,由f(-x)=-f(x)与f(2-x)=f(x),得f(2-x)=-f(-x),所以f(2+x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,由f(x+4)=f(x),f(-x)=-f(x)可得-f(-x)=f(x+4),所以f(x)的图象关于点(2,0)对称,又f(x)的周期为4,所以f(x)的图象关于点(-2,0)对称,故B正确;对于C,由f(-x)=-f(x)知函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,在f(2-x)=f(x)中令x=0,可得f(2)=0,所以f(6)=f(2)=0,故C正确;对于D,f(5)=f(1)=1,故D不正确。故选ABC。 三、填空题 9.函数f(x)=lg|2x-1|图象的对称轴方程为 x= 。  解析　内层函数t=|2x-1|的对称轴方程是x=,所以函数f(x)=lg|2x-1|图象的对称轴方程是x=。 10.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2)。若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)= 6 。  解析　因为f(x+4)=f(x-2),所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2],即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,所以f(919)=f(153×6+1)=f(1)。又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6。 11.(2023·全国甲卷)若y=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a= 2 。  解析　因为y=f(x)=(x-1)2+ax+sin=(x-1)2+ax+cos x为偶函数,定义域为R,所以f,即,则πa==2π,故a=2,此时f(x)=(x-1)2+2x+cos x=x2+1+cos x,所以f(-x)=(-x)2+1+cos(-x)=x2+1+cos x=f(x),又定义域为R,故f(x)为偶函数,所以a=2。 四、解答题 12.已知函数f(x)=是奇函数。 (1)求实数m的值; (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围。 解　(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x。又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2。 (2) 要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(如图所示)知所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3]。 13.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x)。当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2。 (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式; (3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)的值。 解　(1)证明:因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)。所以f(x)是周期为4的周期函数。 (2)因为x∈[2,4],所以-x∈[-4,-2],所以4-x∈[0,2],所以f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8。因为f(4-x)=f(-x)=-f(x),所以-f(x)=-x2+6x-8,即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]。 (3)易知f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0。由(1)可知,f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 023)=506×0=0。 综合提能 14.(2024·辽宁名校联考)已知函数f(x)=-x3+2,则不等式f(m2)+f(m-2)<6的解集为 (D) A.(-1,2) B.(-∞,-1)∪(2,+∞) C.(-2,-1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 解析　f(x)=-x3+3,设g(x)=-x3,x∈R。因为g(-x)=-(-x)3=+x3=-g(x),所以g(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=g(-x)+3+g(x)+3=6。又y=,y=-x3在R上均为减函数,所以f(x)在R上为减函数,由f(m2)+f(m-2)<6得f(m2)+f(m-2)<f(m2)+f(-m2),即f(m-2)<f(-m2),所以m-2>-m2,解得m<-2或m>1。故选D。 15.(多选题)(2024·杭州市质量检测)已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,f(x+2)=f(-x)且f(1)=2,f'(x)是f(x)的导函数,则 (BC) A.f(2 023)=2 B.f'(x)的周期是4 C.f'(x)是偶函数 D.f'(1)=1 解析　因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f'(-x)=f'(x),则函数f'(x)是偶函数,C正确。又f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),所以f'(x+4)=f'(x),所以函数f'(x)是以4为周期的周期函数,B正确。f(2 023)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,A错误。由f(x+2)=f(-x)可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f'(1)=0,D错误。故选BC。 素养创新 16.(2023·重庆市一模)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域为R,记g(x)=f'(x),若f(2x+1)和g(x+2)为偶函数,则 (D) A.f(1)=f(2) B.f(1)=f(3) C.f(1)=f(4) D.f(1)=f(5) 解析　因为函数f(2x+1)为偶函数,所以f(2x+1)=f(-2x+1),用代换x,得f(x+1)=f(-x+1),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称。因为g(x+2)为偶函数,所以g(x+2)=g(-x+2),所以g(x)的图象关于直线x=2对称。因为g(x)=f'(x),所以f'(x)关于直线x=2对称,即f'(x)=f'(4-x),所以f(x)=-f(4-x)+2c(c为常数),所以函数f(x)的图象关于点(2,c)对称,因为f(x)=f(2-x),f(2-x)=-f(2+x)+2c,所以f(x)=-f(x+2)+2c,即f(x+2)=-f(x)+2c,则f(x+4)=-f(x+2)+2c=-[-f(x)+2c]+2c=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且周期为4。所以f(1)=f(5)。故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $$