微练7 函数的单调性与最值(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(七)　函数的单调性与最值 基础应用 一、单项选择题 1.下列函数在(0,+∞)上单调递增的是 (C) A.f(x)=- B.f(x)=2-x C.f(x)=ln|x| D.f(x)= 解析　f(x)=-在(0,+∞)上单调递减;f(x)=2-x=在(0,+∞)上单调递减;f(x)=ln|x|,当x>0时,f(x)=ln x,在(0,+∞)上单调递增;f(x)=在(0,+∞)上单调递减。故选C。 2.函数f(x)=|x|(2-x)的单调递增区间是 (A) A.[0,1] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,2] 解析　当x≥0时,f(x)=x(2-x)=-x2+2x,故f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;当x<0时,f(x)=-x(2-x)=x2-2x,此时f(x)单调递减。综上,f(x)=|x|(2-x)的单调递增区间是[0,1]。故选A。 3.函数f(x)=log2(x2-2x-8)的单调递增区间是 (D) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 解析　由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2。设t=x2-2x-8,则y=log2t为增函数。要求函数f(x)的单调递增区间,即求t=x2-2x-8(x>4或x<-2)的单调递增区间。因为函数t=x2-2x-8(x>4或x<-2)的单调递增区间为(4,+∞),所以函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞)。故选D。 4.函数f(x)=2x+sinx在[0,1]上的取值范围为 (B) A.[1,2] B.[1,3] C.[2,3] D.[2,4] 解析　易知函数f(x)=2x+sinx在[0,1]上单调递增,且f(0)=1,f(1)=3,所以f(x)在[0,1]上的取值范围为[1,3]。故选B。 5.(2023·全国甲卷)已知函数f(x)=。记a=f,b=f,c=f,则 (A) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　令g(x)=-(x-1)2,则g(x)开口向下,对称轴为直线x=1,因为,而()2-42=9+6-7>0,所以>0,即,由二次函数性质知g,而()2-42=8+4-8=4(-2)<0,所以<0,即,所以g。综上,g,又y=ex为增函数,故a<c<b,即b>c>a。故选A。 6.已知函数f(x)=在其定义域上单调递增,则实数a的取值范围为 (C) A.[2,3] B.(2,5] C.(1,4] D. 解析　因为函数f(x)=在其定义域上单调递增,所以解得1<a≤4,所以实数a的取值范围为(1,4]。故选C。 二、多项选择题 7.下列函数中,满足“对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0”的有 (BD) A.f(x)=x+1 B.f(x)=-3x+1 C.f(x)=x2+4x+3 D.f(x)= 解析　由对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0,可知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减。函数f(x)=x+1在(0,+∞)上单调递增,故A错误;函数f(x)=-3x+1在(0,+∞)上单调递减,故B正确;函数f(x)=x2+4x+3的图象的对称轴为直线x=-2,故f(x)=x2+4x+3在(0,+∞)上单调递增,故C错误;函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故D正确。故选BD。 8.已知函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)上单调递增,则 (AC) A.0<a<1 B.a>1 C.f(a+2 022)>f(2 023) D.f(a+2 022)<f(2 023) 解析　f(x)=loga|x-1|的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。设z=|x-1|,可得函数z=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,由题意可得0<a<1,故A正确,B错误;由0<a<1,可得2 022<a+2 022<2 023,又f(x)在(1,+∞)上单调递减,则f(a+2 022)>f(2 023),故C正确,D错误。故选AC。 三、填空题 9.函数y=lo|x-3|的单调递减区间是 (3,+∞) 。  解析　令u(x)=|x-3|,则在(-∞,3)上u(x)单调递减,在(3,+∞)上u(x)单调递增。又因为0<<1,所以y=lox是减函数,所以在区间(3,+∞)上,函数y=lo|x-3|单调递减。 10.已知函数y=(x∈(m,n])的最小值为0,则m的取值范围是 [-1,2) 。  解析　因为函数y=-1,所以在(-1,+∞)上,函数单调递减。又当x=2时,y=0,所以-1≤m<2。 11.已知函数f(x)=则f(f(-3))= 0 ,f(x)的最小值是 2-3 。  解析　因为f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,所以f(f(-3))=f(1)=0。当x≥1时,f(x)=x+-3,当且仅当x=时取等号,此时f(x)min=2-3<0;当x<1时,f(x)=lg(x2+1)≥lg 1=0,当且仅当x=0时取等号,此时f(x)min=0。综上,函数f(x)的最小值为2-3。 四、解答题 12.已知函数f(x)=x-。 (1)用函数单调性的定义证明:f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; (2)解不等式:f(2x+1)>f(4x)。 解　(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)==(x1-x2)·,因为x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,所以x1-x2<0,1+>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增。 (2)对于f(2x+1)>f(4x),由2x+1>0,4x>0,而函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,得2x+1>4x,解得x<1。所以不等式的解集为(-∞,1)。 13.已知函数f(x)=a-。 (1)求f(0); (2)探究f(x)的单调性,并证明你的结论; (3)若f(x)为奇函数,求满足f(ax)<f(2)的x的取值范围。 解　(1)f(0)=a-=a-1。 (2)f(x)在R上单调递增。证明如下: 因为f(x)的定义域为R,所以任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=a-,因为y=2x在R上单调递增且x1<x2,所以0<,所以<0,+1>0,+1>0。所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)。所以f(x)在R上单调递增。 (3)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即a-,解得a=1。所以f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2),又因为f(x)在R上单调递增,所以x<2。所以x的取值范围是(-∞,2)。 综合提能 14.(2024·山东模拟)不等式x6-(2x+3)>(2x+3)3-x2的解集是 (A) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(-1,3) C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 解析　由不等式x6-(2x+3)>(2x+3)3-x2,得(x2)3+x2>(2x+3)3+(2x+3)。设函数f(t)=t3+t,则f'(t)=3t2+1>0,所以f(t)在R上单调递增,因为f(x2)>f(2x+3),所以x2>2x+3,解得x>3或x<-1。故选A。 15.(多选题)(2024·浙江高三联考)已知f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数,当x2>x1>0时,x1x2[f(x1)-f(x2)]+x1-x2>0恒成立,则 (BC) A.y=f(x)在(-∞,0)上单调递增 B.y=f(x)-在(0,+∞)上单调递减 C.f(2)+f(-3)> D.f(2)-f(-3)> 解析　因为当x2>x1>0时,x1x2[f(x1)-f(x2)]+x1-x2>0,可以化简为f(x1)-f(x2)>>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,因为函数f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,所以选项A错误;由f(x1)-f(x2)>>0,可得f(x1)->0,所以函数y=f(x)-在(0,+∞)上单调递减,所以选项B正确;取x1=2,x2=3,则f(2)-f(3)>,因为函数f(x)是定义在{x|x≠0}上的奇函数,所以f(-3)=-f(3),所以f(2)+f(-3)>,所以选项C正确;f(x)在(0,+∞)上单调递减,但函数解析式不确定,所以可取f(2)=,f(3)=-,则f(2)-f(-3)=f(2)+f(3)=,所以选项D错误。故选BC。 素养创新 16.已知a>b>0,且,则 (C) A.0<b<1 B.0<a<1 C.1<b<e D.1<a<e 解析　将两边同取自然对数,得,设f(x)=,则f'(x)=。令f'(x)>0,得0<x<e;令f'(x)<0,得x>e,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以f(x)的最大值为f(e)=。易知当x<1时,f(x)<0,当x>1时,f(x)>0,又a>b>0且f(a)=f(b),结合函数的单调性可得1<b<e<a。故选C。 17.(2023·广东深圳第二次调研)已知ε>0,x,y∈,且ex+εsin y=eysin x,则下列关系式恒成立的为 (A) A.cos x≤cos y B.cos x≥cos y C.sin x≤sin y D.sin x≥sin y 解析　构造f(x)=,x∈,则f'(x)=,当x∈时,cos x>sin x,f'(x)=>0,所以f(x)=上单调递增。因为0<ex,0<ey,eε>1,则当>0时,>0,所以>x>y>0,所以0<sin y<sin x,cos x<cos y;当<0时,<0,所以-<x<y<0,所以sin x<sin y<0,cos x<cos y;当=0时,x=y=0,所以sin x=sin y,cos x=cos y。故选A。 学科网（北京）股份有限公司 $$