微练6 函数的概念及其表示(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(六)　函数的概念及其表示 基础应用 一、单项选择题 1.函数f(x)=lg(x-2)+的定义域是 (D) A.(2,+∞) B.(2,3) C.(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞) 解析　因为f(x)=lg(x-2)+,所以解得x>2且x≠3,所以函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞)。故选D。 2.已知函数f(x)=则f(f(8))= (C) A.-1 B.- C. D.2 解析　因为f(8)=1-log28=1-3=-2,所以f(f(8))=f(-2)=2-2+1=。故选C。 3.已知f(x3)=lg x,则f(10)的值为 (C) A.1 B. C. D. 解析　令x3=10,则x=1,所以f(10)=lg 1。故选C。 4.已知函数f(x)=,则对任意实数x,有 (C) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)= 解析　由f(x)=,得f(-x)=,所以f(-x)+f(x)==1。故选C。 5.(2024·山东潍坊模拟)存在函数f(x)满足:对任意x∈R都有 (D) A.f(|x|)=x3 B.f(sin x)=x2 C.f(x2+2x)=|x| D.f(|x|)=x2+1 解析　对于A,当x=1时,f(|1|)=f(1)=1;当x=-1时,f(|-1|)=f(1)=-1,不符合函数定义,A错误。对于B,令x=0,则f(sin x)=f(0)=0,令x=π,则f(sin π)=f(0)=π2,不符合函数定义,B错误。对于C,令x=0,则f(0)=0,令x=-2,则f(0)=f((-2)2+2×(-2))=2,不符合函数定义,C错误。对于D,f(|x|)=x2+1=|x|2+1,x∈R,则|x|≥0,则存在x≥0时,f(x)=x2+1,符合函数定义,即存在函数f(x)=x2+1(x≥0)满足:对任意x∈R都有f(|x|)=x2+1,D正确。故选D。 6.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,是解析数论的创始人之一。函数f(x)=被称为狄利克雷函数,则关于函数f(x),下列说法正确的是 (D) A.f(x)的定义域为{0,1} B.f(x)的值域为[0,1] C.∃x∈R,f(f(x))=0 D.对于任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立 解析　由题意知f(x)的定义域为R,值域为{0,1},故A,B错误;因为f(x)=0或f(x)=1,所以当f(x)=0时,f(f(x))=f(0)=1,当f(x)=1时,f(f(x))=f(1)=1,故C错误;对于任意一个非零有理数T,若x为有理数,则x+T也为有理数,则f(x)=f(x+T)=1,若x为无理数,则x+T也为无理数,则f(x+T)=f(x)=0,综上可得,对于任意一个非零有理数T,f(x+T)=f(x)对任意x∈R恒成立,故D正确。故选D。 二、多项选择题 7.下列四个函数,定义域和值域相同的是 (ABD) A.y=-x+1 B.y= C.y=ln |x| D.y= 解析　A项,函数的定义域和值域都是R;B项,根据分段函数和幂函数的性质,可知函数的定义域和值域都是R;C项,函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R;D项,因为函数y=,所以函数的定义域和值域都为(-∞,2)∪(2,+∞)。故选ABD。 8.已知函数f(x)=则下列结论正确的是 (BD) A.f(x)是偶函数 B.f=1 C.f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞) 解析　因为f(1)=2,而f(-1)=cos 1<f(1),故f(x)不是偶函数,故A错误。因为f,所以f(x)不是增函数,故C错误。f=f(0)=1,故B正确。当x<0时,f(x)∈[-1,1],当x≥0时,f(x)∈[1,+∞),故f(x)的值域为[-1,+∞),故D正确。故选BD。 三、填空题 9.已知函数f(x)的定义域为[-2,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为 [-1,0] 。  解析　由条件可知,函数g(x)的定义域需满足解得-1≤x≤0,所以函数g(x)的定义域是[-1,0]。 10.已知函数f(x)满足ff(-x)=2x(x≠0),则f(-2)=  ,f=  。  解析　令x=2,可得ff(-2)=4　①,令x=-,可得f(-2)-2f=-1　②,联立①②解得f(-2)=,f。 11.已知f(x)=若f(a)=5,则实数a的值是 1或-3 ;若f(f(a))≤5,则实数a的取值范围是 [-,-1] 。  解析　①当a>0时,令2a+3=5,解得a=1;当a≤0时,令a2-4=5,解得a=-3或a=3(舍)。综上,a的值为1或-3。②设t=f(a),由f(t)≤5,得-3≤t≤1。由-3≤f(a)≤1,解得-≤a≤-1。 四、解答题 12.已知函数f(x)的解析式为f(x)= (1)求f,f,f(-1)的值; (2)画出这个函数的图象; (3)求f(x)的最大值。 解　(1)因为>1,所以f+8=5。因为0<<1,所以f。因为-1<0,所以f(-1)=-3+5=2。 (2)这个函数的图象如图。 在函数y=3x+5的图象上截取x≤0的部分,在函数y=x+5的图象上截取0<x≤1的部分,在函数y=-2x+8的图象上截取x>1的部分。图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象。 (3)由(2)中f(x)的函数图象可知,当x=1时,f(x)取最大值6。 13.已知函数f(x)=。 (1)求f(2)与f,f(3)与f; (2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f有什么关系吗?证明你的发现; (3)求f(2)+f+f(3)+f+…+f(2 023)+f的值。 解　(1)因为f(x)=,所以f(2)=1-,f,f(3)=1-,f。 (2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f=1。证明如下:f(x)+f=1。 (3)由(2)知f(x)+f=1,所以f(2)+f=1,f(3)+f=1,f(4)+f=1,…,f(2 023)+f=1。所以f(2)+f+f(3)+f+…+f(2 023)+f=2 022。 综合提能 14.已知函数f(x)=与函数g(x)=ln x的值域相同,则实数a的取值范围是 (B) A.(-∞,0) B.(-∞,-1] C.[-1,1) D.(-∞,-1]∪[2,+∞) 解析　因为g(x)=ln x的值域为R,所以f(x)=的值域为R。当x≥1时,3x≥31=3。当x<1时,①若1-a=0,则a=1,f(x)=1,此时不满足条件;②若1-a<0,则a>1,f(x)>1-a+a2,此时f(x)的值域不可能为R;③若1-a>0,则a<1,f(x)<1-a+a2,要使f(x)的值域为R,则1-a+a2≥3,即a2-a-2≥0,解得a≥2或a≤-1,又因为a<1,所以a≤-1。故选B。 15.(2024·潍坊市统考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1,对任意x,y∈R,有f(xy+1)=f(x)·f(y)-f(y)-x+2,则= (A) A. B. C. D. 解析　在f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2中,令x=y=0,得f(1)=f(0)·f(0)-f(0)-0+2=2。令y=0,得f(1)=f(x)·f(0)-f(0)-x+2=f(x)-x+1,所以f(x)=x+1。所以,所以+…+。故选A。 素养创新 16.(2024·高三名校联考)计算机绘图是相对于手工绘图而言的一种高效率、高质量的绘图技术,利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形,我们把图象形似如图所示图形的函数称为m型函数。写出一个定义域为[-2,2]且值域为[0,2]的m型函数 f(x)=2(答案不唯一) 。  解析　根据题意,结合对称性,不妨选择二次函数作为基础函数,由题图知,该函数为偶函数,可以认为其有3个零点-2,0,2,且x∈[-2,0]时其图象的对称轴为直线x=-1,f(-1)=2,x∈[0,2]时其图象的对称轴为直线x=1,f(1)=2。则满足条件的函数可以是f(x)=2|x|(2-|x|)(-2≤x≤2)或f(x)=2或f(x)=2(-2≤x≤2)等,答案不唯一。 学科网（北京）股份有限公司 $$