第3章 第1节 导数的概念、导数的运算(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第三章　 一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念、导数的运算 【课程标准】　1.了解导数概念的实际背景;2.体会极限思想;3.理解导数的几何意义;4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax+b)的复合函数)的导数。 主干知识整合 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【基础梳理】 　　1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数 如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y',即f'(x0)=。 [微点清]　f'(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))'是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常数,其导数一定为0,即(f(x0))'=0。 (2)导函数 当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数)。y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=。 (3)导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处切线的斜率k0,即k0==f'(x0)。 2.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ln x f'(x)= f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); (2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); (3)(g(x)≠0)。 4.复合函数的导数 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数为y'x=y'u·u'x。 【知识延伸】 　　1.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其绝对值的大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”。 2.两类切线问题的区别 (1)“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别:前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点。 (2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点,而直线与二次曲线相切只有一个公共点。 【小题自测】 1.下列求导运算正确的是(B) A.(sin a)'=cos a(a为常数) B.(sin 2x)'=2cos 2x C.(3x)'=3xlog3e D.()'= 解析　由a为常数知(sin a)'=0,A错误;(sin 2x)'=cos 2x·(2x)'=2cos 2x,B正确;(3x)'=3xln 3,C错误;()'=[(x+1]'=(x+1,D错误。故选B。 2.某跳水运动员离开跳板后,他达到的高度与时间的函数关系式是h(t)=10-4.9t2+8t(距离单位:米,时间单位:秒),则他在0.5秒时的瞬时速度为(C) A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒 D.2.75米/秒 解析　因为h'(t)=-9.8t+8,所以h'(0.5)=-9.8×0.5+8=3.1,所以此运动员在0.5秒时的瞬时速度为3.1米/秒。故选C。 3.已知函数f(x)=xln x+ax2+2,若f'(e)=0,则a= - 。  解析　由题意,得f'(x)=1+ln x+2ax,所以f'(e)=2ae+2=0,解得a=-。 4.函数f(x)=ex+在x=1处的切线方程为 y=(e-1)x+2 。  解析　由题意,得f'(x)=ex-,所以f'(1)=e-1,又因为f(1)=e+1,所以切点为(1,e+1),切线斜率k=f'(1)=e-1,故切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2。 5.(教材改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'cos x-sin x,则f' 。  解析　f'(x)=-f'sin x-cos x,令x=,得f',解得f'。 关键能力突破 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　导数的运算 自练自悟 1.(多选题)下列求导运算正确的是(BD) A. B.(log2x)'= C.(5x)'=5xlog5x D.(x2cos x)'=2xcos x-x2sin x 解析　A项中,,C项中,(5x)'=5xln 5,其余选项正确。故选BD。 2.f(x)=x(2 022+ln x),若f'(x0)=2 023,则x0=(B) A.e2 B.1 C.ln 2 D.e 解析　f'(x)=2 022+ln x+x·=2 023+ln x,故由f'(x0)=2 023,得2 023+ln x0=2 023,解得x0=1。故选B。 3.现有一球形气球,在吹气过程中,气球的体积V(单位:L)与直径d(单位:dm)的关系式为V=,当d=2 dm时,气球体积的瞬时变化率为(A) A.2π B.π C. D. 解析　设V=f(d)=,则f'(d)=,所以当d=2 dm时,气球体积的瞬时变化率为f'(2)=2π。故选A。 4.若函数f(x)=3sin2+5,则f' 。  解析　由f(x)=3sin2+5,得f'(x)=6sin×2,故f'。 　　1.对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度。 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆。 类型二　导数的几何意义 微专题 角度❶:切线方程 【例1】　(1)(2023·全国甲卷)曲线y=在点处的切线方程为(C) A.y=x B.y=x C.y= D.y= 解析　设曲线y=处的切线方程为y-=k(x-1)。因为y=,所以y'=,所以k=y'|x=1=,所以y-(x-1),所以曲线y=处的切线方程为y=。故选C。 (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 y= , y=- 。  解析　解法一:当x>0时,y=ln x,y'=。假设切点坐标为(x0,y0),x0>0,则切线方程为y=所以一条切线的方程为y=。由y=ln|x|的图象关于y轴对称可知,另一条切线的方程为y=-。 解法二:当x>0时,y=ln x,y'=。假设此时直线与曲线y=ln x相切于点(x1,ln x1)(x1>0),则此时切线方程为y-ln x1=(x-x1)。若该切线经过原点,则ln x1-1=0,解得x1=e,此时切线方程为y=。当x<0时,y=ln(-x),y'=。假设此时直线与曲线y=ln(-x)相切于点(x2,ln(-x2))(x2<0),则此时切线方程为y-ln(-x2)=(x-x2)。若该切线经过原点,则ln(-x2)-1=0,解得x2=-e,此时切线方程为y=-。 　　1.已知切点A(x0,f(x0)),求过此切点的切线的斜率k,即求该点处的导数值k=f'(x0)。 2.若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由求解即可。 角度❷:求参数的范围 【例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 (-∞,-4)∪(0,+∞) 。  解析　设切线的切点坐标为(x0,y0)。令f(x)=(x+a)ex,则f'(x)=(x+1+a)ex,f'(x0)=(x0+1+a)。因为y0=(x0+a),切线过原点,所以f'(x0)=,即(x0+1+a),整理得+ax0-a=0。由题意知该方程有两个不同的实数根,所以Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,即a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞)。 　　处理与切线有关的参数问题,通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数:(1)切点处的导数是切线的斜率;(2)切点在切线上,故满足切线方程;(3)切点在曲线上,故满足曲线方程。 【题组对点练】　 题号 1 2 3 角度 ❶ ❶ ❷ 1.曲线f(x)=在(0,f(0))处的切线方程为(A) A.y=3x-2 B.y=3x+2 C.y=-3x-2 D.y=-3x+2 解析　由题知f'(x)=,所以f'(0)=3,f(0)=-2,所以曲线f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y-(-2)=3(x-0),即y=3x-2。故选A。 2.(2023·广东茂名二模)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且x≤1时,f(x)=ex+x-1,则曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为 2x+y-4=0 。  解析　解法一:P(2,f(2))关于直线x=1的对称点为(0,f(0)),即点(0,0),当x≤1时,f'(x)=ex+1,f'(0)=2,所以f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,其关于直线x=1对称的直线方程即所求方程为2x+y-4=0。 解法二:设点M(x1,y1),N(x2,y2)分别为函数f(x)的图象上关于直线x=1对称的两点,且x1≤1<x2,则所以y2=-x2+1。故当x>1时,f(x)=e2-x-x+1,所以f(2)=e2-2-2+1=0,f'(x)=-e2-x-1,所以f'(2)=-e2-2-1=-2,所以曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=-2(x-2),即2x+y-4=0。 3.函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是(B) A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(0,+∞) 解析　函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,即f'(x)=+a=2在(0,+∞)上有解,即a=2-。因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2)。故选B。 类型三　公切线问题 【例3】　(1)若直线l:y=kx+b(k>1)为曲线f(x)=ex-1与曲线g(x)=eln x的公切线,则l的纵截距b等于(D) A.0 B.1 C.e D.-e 解析　设l与f(x)的切点为(x1,y1),则由f'(x)=ex-1,得l:y=x+(1-x1)。同理,设l与g(x)的切点为(x2,y2),则由g'(x)=,得l:y=x+e(ln x2-1)。故则l:y=x或y=ex-e。因为k>1,所以l:y=x不成立,故b=-e。故选D。 (2)(2024·晋中模拟)若两曲线y=ln x-1与y=ax2存在公切线,则正实数a的取值范围是(B) A.(0,2e] B. C. D.[2e,+∞) 解析　设公切线与曲线y=ln x-1和y=ax2的切点分别为(x1,ln x1-1),(x2,a),其中x1>0,对于y=ln x-1有y'=,则y=ln x-1的切线方程为y-(ln x1-1)=(x-x1),即y=+ln x1-2。对于y=ax2有y'=2ax,则y=ax2的切线方程为y-a=2ax2(x-x2),即y=2ax2x-a,所以则-=ln x1-2,即ln x1(x1>0)。令g(x)=2x2-x2ln x,则其定义域为(0,+∞),g'(x)=3x-2xln x=x(3-2ln x),令g'(x)=0,得x=,当x∈(0,)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)max=g()=e3,故0<e3,即a≥e-3。故选B。 　　公切线问题,应根据两个函数在切点处的斜率相等,且切点既在切线上又在曲线上,列出有关切点横坐标的方程组,通过解方程组求解。或者分别求出两函数的切线,利用两切线重合列方程组求解。 【变式训练】　(1)(2024·河北保定部分学校联考)若直线y=4x+m是曲线y=x3-nx+13与曲线y=x2+2ln x的公切线,则n-m=(A) A.11 B.12 C.-8 D.-7 解析　由y=x2+2ln x,得y'=2x+(x>0),令2x+=4,得x=1,则直线y=4x+m与曲线y=x2+2ln x相切于点(1,4+m),所以4+m=1+2ln 1=1,得m=-3。所以直线y=4x-3是曲线y=x3-nx+13的切线,由y=x3-nx+13,得y'=3x2-n,设切点为(t,t3-nt+13),则3t2-n=4,且t3-nt+13=4t-3,联立消去n,并整理可得t3=8,解得t=2,所以n=8,所以n-m=8-(-3)=11。故选A。 (2)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=ln x+1,则f(x)与g(x)的公切线有(C) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 解析　根据题意,设直线l与f(x)=ex-1相切于点(m,em-1),与g(x)相切于点(n,ln n+1)(n>0),对于f(x)=ex-1,f'(x)=ex,则直线l的方程为y+1-em=em(x-m),即y=emx+em(1-m)-1,对于g(x)=ln x+1,g'(x)=,则直线l的方程为y-(ln n+1)=(x-n),即y=x+ln n,直线l是f(x)与g(x)的公切线,则可得(1-m)(em-1)=0,解得m=0或m=1,则切线方程为y=ex-1或y=x,故f(x)与g(x)的公切线有两条。故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $$