微练5 一元二次方程、不等式(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(五)　一元二次方程、不等式 基础应用 一、单项选择题 1.不等式-x2-3x+10≥0的解集为 (A) A.{x|-5≤x≤2} B.{x|x≤-5,或x≥2} C.{x|-2≤x≤5} D.{x|x≤-2,或x≥5} 解析　-x2-3x+10≥0可化为x2+3x-10≤0,即(x-2)·(x+5)≤0,解得-5≤x≤2。故选A。 2.已知集合A={x||x-3|<2},B=,则A∪B= (D) A.(1,2] B.(1,2) C.[-1,5] D.[-1,5) 解析　A={x||x-3|<2}={x|-2<x-3<2}={x|1<x<5},由≤1可得≤0,即(x+1)(x-2)≤0且x-2≠0,所以B={x|-1≤x<2},所以A∪B=[-1,5)。故选D。 3.关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为 (B) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　依题意得q,1是方程x2+px-2=0的两根,所以q+1=-p,即p+q=-1。故选B。 4.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是 (A) A.[0,1] B.(0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 解析　当k=0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0可化为8≥0,恒成立;当k≠0时,要满足关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,只需解得0<k≤1。综上所述,k的取值范围是[0,1]。故选A。 5.(2023·辽宁鞍山二模)若对任意的x∈(0,+∞),x2-mx+1>0恒成立,则m的取值范围是 (C) A.(-2,2) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,2] 解析　解法一:对任意的x∈(0,+∞),x2-mx+1>0恒成立,即m<x+在x∈(0,+∞)上恒成立,即m<,x∈(0,+∞)。当x>0时,x+=2,当且仅当x=,即x=1时取等号,所以=2,则m<2。故选C。 解法二:设f(x)=x2-mx+1,对任意的x∈(0,+∞),x2-mx+1>0恒成立,则需满足Δ=m2-4<0或解得-2<m<2或m≤0,所以m<2。故选C。 6.若二次函数f(x)=ax2+bx+1>0(a,b∈R,a≠0)的解集为,则有 (A) A.最小值4 B.最小值-4 C.最大值4 D.最大值-4 解析　不等式ax2+bx+1>0的解集为,则即4a=b2>0,所以=4,当且仅当b2=,即b2=2时等号成立,故有最小值4。故选A。 二、多项选择题 7.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),则 (ABD) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} C.a+b+c>0 D.不等式cx2-bx+a<0的解集为 解析　因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞),所以a>0,A选项正确;且-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系,得故a+b+c=-6a<0,C选项错误;不等式bx+c>0即为-ax-6a>0,解得x<-6,B选项正确;不等式cx2-bx+a<0即为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,D选项正确。故选ABD。 8.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则a的值可取 (BD) A.- B.-2 C. D.4 解析　由题意得,原不等式化为(x-1)(x-a)<0,当a=1时,解集为⌀,不合题意;当a>1时,解得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,则3<a≤4;当a<1时,解得a<x<1,此时解集中的整数为0,-1,则-2≤a<-1,故a∈[-2,-1)∪(3,4]。故选BD。 三、填空题 9.不等式≥2的解集是 ∪(1,3] 。  解析　≥2⇔x+5≥2(x-1)2且x≠1⇔2x2-5x-3≤0且x≠1⇔-≤x≤3且x≠1,即解集为∪(1,3]。 10.不等式(m+1)x2-mx+m-1<0的解集为⌀,则m的取值范围是  。  解析　因为不等式(m+1)·x2-mx+m-1<0的解集为⌀,所以(m+1)x2-mx+m-1≥0恒成立。①当m+1=0,即m=-1时,不等式化为x-2≥0,解得x≥2,不是对任意x∈R恒成立,舍去;②当m+1≠0,即m≠-1时,对任意x∈R,要使(m+1)x2-mx+m-1≥0恒成立,只需m+1>0且Δ=(-m)2-4(m+1)(m-1)≤0,解得m≥。综上,实数m的取值范围是。 11.(2024·广东佛山检测)已知函数f(x)=x2+bx+c,不等式f(x)<0的解集是(2,3),若对于任意x∈[-3,3],不等式f(x)-t2+t≤0恒成立,则t的取值范围为 (-∞,-5]∪[6,+∞) 。  解析　由不等式f(x)<0的解集是(2,3),知2和3是方程x2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系,得2+3=-b,2×3=c,即b=-5,c=6,所以f(x)=x2-5x+6。不等式f(x)-t2+t≤0对于任意x∈[-3,3]恒成立,即f(x)≤t2-t对于任意x∈[-3,3]恒成立,由于函数f(x)=x2-5x+6图象的对称轴是直线x=,故当x=-3时,f(x)取最大值,f(x)max=f(-3)=30,所以只需t2-t≥30,即t2-t-30≥0,解得t≥6或t≤-5,故t的取值范围为(-∞,-5]∪[6,+∞)。 四、解答题 12.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6。 (1)解关于a的不等式f(1)>0; (2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值。 解　(1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3>0,即a2-6a-3<0,解得3-2。所以所求不等式的解集为{a|3-2}。 (2)因为f(x)>b的解集为(-1,3),所以方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,所以故a的值为3±,b的值为-3。 13.解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R)。 解　原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0,即(ax-2)(x+1)≥0。①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1。②当a>0时,原不等式化为·(x+1)≥0,解得x≥或x≤-1。③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0。当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;当<-1,即-2<a<0时,解得≤x≤-1。综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};当a>0时,不等式的解集为;当-2<a<0时,不等式的解集为;当a=-2时,不等式的解集为{-1};当a<-2时,不等式的解集为。 综合提能 14.(多选题)(2024·江苏苏州中学质量评估)已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,则下列结论中正确的是 (ACD) A.x1+x2+2=0 B.-3<x1<x2<1 C.|x1-x2|>4 D.x1x2+3<0 解析　由题知,a(x-1)(x+3)+2=ax2+2ax-3a+2>0的解集为(x1,x2),所以a<0,且所以x1+x2+2=0,x1x2+3=<0,故A,D正确;令f(x)=a(x-1)(x+3),由题意可知f(x)>-2的解集为(x1,x2),而f(x)的零点分别为-3,1,且f(x)的图象开口向下,又x1<x2,如图所示,由图知,x1<-3<1<x2,|x1-x2|>4,故B错误,C正确。故选ACD。 15.已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是  。  解析　当-3≤x≤0时,f(x)≤|x|恒成立等价转化为x2+2x+a-2≤-x恒成立,即a≤-x2-3x+2恒成立,所以a≤(-x2-3x+2)min=2;当x>0时,f(x)≤|x|恒成立等价转化为-x2+2x-2a≤x恒成立,即a≥恒成立,所以a≥。综上,a的取值范围是。 素养创新 16.(2024·江苏省启东中学检测)对于问题:当x>0时,均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,求实数a的所有可能值。几位同学提供了自己的想法。 甲:解含参不等式,其解集包含正实数集; 乙:研究函数y=[(a-1)x-1](x2-ax-1); 丙:分别研究两个函数y1=(a-1)x-1与y2=x2-ax-1; 丁:尝试能否利用分离参数法研究最值问题。 你可以选择其中某位同学的想法,也可以用自己的想法,得出的正确答案为  。  解析　可以选择丙同学的想法。①当a-1<0时,对于函数y1=(a-1)x-1,由于当x=0时,y1=-1,因此y1<0在(0,+∞)上恒成立。若x>0,[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0恒成立,则y2=x2-ax-1在(0,+∞)上亦恒小于或等于0,显然不可能成立。②当a-1>0时,对于函数y1=(a-1)x-1,在上y1<0,在上y1>0恒成立。若x>0,[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0恒成立,则y2=x2-ax-1在上小于0,在上大于0恒成立,即当x=时,y2=0,即-a·-1=0,所以2a2-3a=0,解得a=或a=0(舍去)。检验:当a=时,原不等式可化为≥0,即(x-2)2(2x+1)≥0,又因为x>0,所以(x-2)2(2x+1)≥0恒成立,因此a=时,符合题意。③当a-1=0时,易知不符合题意。综上所述,a=。 学科网（北京）股份有限公司 $$