第2章 第9节 函数模型的应用(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第九节　函数模型的应用 【课程标准】　1.了解一元一次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征及差异,理解“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”等术语的现实含义;2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用。 主干知识整合 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【基础梳理】 　　1.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x值增大,图象与y轴接近平行 随x值增大,图象与x轴接近平行 随n值变化而不同 　　[微点清]　“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢。 　　2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 与指数函数 相关模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与对数函数 相关模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 与幂函数 相关模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 【知识延伸】 　　1.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键。 2.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性。 【小题自测】 1.用长度为24 m的材料围成一中间带有两道隔墙的矩形场地,要使矩形的面积最大(忽略隔墙所占面积),则隔墙的长度为(B) A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m 解析　设隔墙的长度为x m(0<x<6),矩形面积为y m2,则y=x×=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y最大。故选B。 2.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元)。1万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生产该商品的数量为(B) A.36万件 B.18万件 C.22万件 D.9万件 解析　利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值。故选B。 3.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是(B) A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x) 解析　由图象知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)。故选B。 4.一个容器装有细砂a cm3,细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细砂量为y=ae-btcm3,经过8 min后发现容器内还有一半的细砂,则再经过 16 min,容器中的细砂只有开始时的八分之一。  解析　当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a,所以e-8b=,若容器中的细砂只有开始时的八分之一,则y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,即t=24,所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一。 关键能力突破 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　用函数图象的变化刻画变化过程 【例1】　(2024·北京门头沟区检测)在声学中,音量模型被定义为Lp=20lg,其中Lp是音量(单位:dB),p0是基准声压,为2×10-5 Pa,p是实际声压。人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值。经过研究表明,人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值,如图所示,其中240 Hz对应的听觉下限阈值为20 dB,1 000 Hz对应的听觉下限阈值为0 dB。则下列结论正确的是(D) A.音量同为20 dB的声音,30~100 Hz的低频比1 000~10 000 Hz的高频更容易被人们听到 B.听觉下限阈值随声音频率的增大而减小 C.240 Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002 Pa D.240 Hz的听觉下限阈值的实际声压为1 000 Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍 解析　对于A,30~100 Hz的低频对应图象的听觉下限阈值高于20 dB,1 000~10 000 Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20 dB,所以对比可知高频更容易被听到,故A错误。对于B,从图象上看,听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大,故B错误。对于C,240 Hz对应的听觉下限阈值为20 dB,p0=2×10-5 Pa,令20lg=20,此时p=10p0=0.000 2 Pa,故C错误。对于D,1 000 Hz的听觉下限阈值为0 dB,令20lg =0,此时p=p0,所以240 Hz的听觉下限阈值的实际声压为1 000 Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍,故D正确。故选D。 　　以图表为工具记录数据,是生活中形象化处理数据的常用手段,这类问题一般不难,看清楚图中横、纵轴的意义,明白图象走势代表的变化关系,即可轻松得解。 【变式训练】　(多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。下列叙述中正确的是(CD) A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗8 L汽油 D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 解析　对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1 L汽油,行驶里程都超过5 km,故A错误。对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,B错误。对于C选项:甲车以80 km/h的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1 h,消耗了汽油80×1÷10=8(L),故C对。对于D选项:速度在80 km/h以下时,丙车比乙车燃油效率更高,所以更省油,故D对。故选CD。 类型二　已知函数模型的实际问题 【例2】　(2024·开封模拟)在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天,新能源逐渐被人们接受,新能源汽车作为新能源中的重要支柱产业之一取得了长足的发展。为预测某省未来新能源汽车的保有量,采用模型y=进行估计,其中y(单位:万辆)为第t年底新能源汽车的保有量,r为年增长率,M为饱和量,y0为初始值(初始值对应第0年底的新能源汽车保有量)。若该省2023年底的新能源汽车保有量为20万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为12%,饱和量为1 300万辆,那么2033年底该省新能源汽车的保有量为(注:ln 0.887≈-0.12,ln 0.30≈-1.2)(C) A.62万辆 B.63万辆 C.64万辆 D.65万辆 解析　根据题中所给模型,代入有关数据,注意以2023年的为初始值,所以2033年底该省新能源汽车的保有量为y=。因为ln 0.30≈-1.2,所以e-1.2≈0.30,所以y=≈64。故选C。 　　求解已给函数模型的实际问题的关注点 1.认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数。 2.根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数。 3.利用该模型求解实际问题。 【变式训练】　2023年10月31日,神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。在返程过程中飞船与大气摩擦产生摩擦力f,经研究发现摩擦力f与飞船速度v有关,且满足f(v)=,其中G为飞船重力,v0为飞船初速度。已知当f(v)=G时,飞船将达到平衡状态,开始匀速运动,则飞船达到平衡状态时,v≈(ln 3≈1.1)(B) A.2.9v0 B.3.0v0 C.3.1v0 D.3.2v0 解析　由题意得G=,即1+,即,两边同取自然对数得,-0.67=-2ln 3,所以v≈v0≈3.0v0。故选B。 类型三　构建函数模型的实际问题 微专题 角度❶:构建二次函数、对勾函数模型 【例3】　小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业。经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元,在年产量不足8万件时,W(x)=x2+x(万元)。在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+-38(万元)。每件产品售价为5元。通过市场分析,小王生产的商品当年能全部售完。 (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) (2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少? 解　(1)因为每件商品售价为5元,则x万件商品销售收入为5x万元,依题意得,当0<x<8时,L(x)=5x-x2+4x-3;当x≥8时,L(x)=5x-。所以L(x)= (2)当0<x<8时,L(x)=-(x-6)2+9。此时,当x=6时,L(x)取得最大值,为9万元。当x≥8时,L(x)=35-=35-20=15,当且仅当x=时等号成立,即x=10时,L(x)取得最大值,为15万元。因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元。 　　构建二次函数、对勾函数求最值一般利用配方法、均值定理或函数单调性解题。 角度❷:构建指数函数、对数函数模型 【例4】　一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有疗效,而低于500 mg病人就有危险。现给某病人静脉注射了这种药2 500 mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了保持疗效,那么从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为(附:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,精确到0.1 h)(B) A.4.2 h　 　B.2.3 h　 　C.8.8 h　 　D.7.2 h 解析　设应在病人注射这种药经过x h后再次向病人注射这种药,则血液中的含药量y(单位:mg)与注射后的时间x的关系式为y=2 500(1-20%)x,由题意可得2 500(1-20%)x>1 500,整理可得,所以lo,即x<lo。由lo≈2.3,所以x<2.3,故从现在起到再次向病人注射这种药的最长时间为2.3 h,才能保持疗效。故选B。 　　解函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,然后根据题意列出函数关系式(注意定义域),并进行相关求解,最后结合实际意义作答。以上过程可简洁表述为: 【题组对点练】　 题号 1 2 角度 ❶ ❷ 1.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的。已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a(a为常数),广告效应为D=a-A。那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为 a2 (用常数a表示)。  解析　令t=(t≥0),则A=t2,所以D=at-t2=-a2。所以当t=a,即A=a2时,D取得最大值。 2.(2024·安徽安庆联考)海洋渔业发展迅猛,我国自主研发的大型海洋养殖船纷纷下海。网箱养殖需要人工创造适合鱼类生长的环境,研究人员发现在一段时间内,某网箱内氧的含量H(单位:mg/L)与时间t(单位:h)之间的关系为H=H0e-mt(H0为网箱内氧的初始含量且H0>0,m为参数),且经过20 h后,网箱内氧的含量减少H0。若当网箱内氧的含量低于初始含量的时需要人工增氧,则该网箱最长大约经过多长时间后需要人工增氧(参考数据:lg 2≈0.3)(D) A.39 h B.33 h C.31 h D.27 h 解析　由题意可知当t=20时,H=H0e-20m=H0-H0,所以e-20m=,则-20m=ln,得m=-。设经过x h后需要人工增氧,则H0=H0e-mx,e-mx=,所以-mx=ln,所以x·,解得x≈27,所以最长大约经过27 h后需要人工增氧。故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $$