微练4 基本不等式(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(四)　基本不等式 基础应用 一、单项选择题 1.“a>b>0”是“ab<”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由a>b>0,可知ab<,充分性成立,由ab<,可知a≠b,a,b∈R,故必要性不成立。故选A。 2.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a= (D) A.6 B.8 C.16 D.36 解析　因为f(x)=4x+(x>0,a>0),故4x+,当且仅当4x=,即x=时取等号,故=3,a=36。故选D。 3.下列函数中,最小值为2的是 (C) A.y=x+ B.y= C.y=ex+e-x D.y=sin x+ 解析　当x<0时,y=x+<0,故A错误;y=≥2,当且仅当,即x2=-1时取等号,又x2≠-1,故B错误;y=ex+e-x≥2=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号,故C正确;y=sin x+≥2,当且仅当sin x=,即sin x=1时取等号,因为当x∈时,sin x∈(0,1),所以y=sin x+≠2,故D错误。故选C。 4.设实数x满足x>0,则函数y=2+3x+的最小值为 (A) A.4-1 B.4+2 C.4+1 D.6 解析　因为x>0,所以x+1>0,所以y=2+3x+=2+3(x+1)-3+=3(x+1)+-1,当且仅当3(x+1)=,即x=-1时等号成立,所以函数y=2+3x+的最小值为4-1。故选A。 5.已知a>0,b>0,若2a+b=4,则ab的最大值为 (D) A. B.4 C. D.2 解析　由题意得4=2a+b≥2,即2≥,两边平方得4≥2ab,所以ab≤2,当且仅当a=1,b=2时,等号成立,所以ab的最大值为2。故选D。 6.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是 (D) A. B.≤1 C.≥2 D.a2+b2≥8 解析　因为a>0,b>0,所以4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,,故AC不成立;≥1,故B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,故D成立。故选D。 二、多项选择题 7.设a=log23,b=log2,则下列关系正确的是 (BCD) A.ab> B.ab< C. D.ab> 解析　易知a>0,b>0,a+b=log23+log2=2,因为a≠b,所以ab<=1,A错误,B正确;又因为a=log23>1,0<b=log2<1,所以1>ab>b>>0,D正确;故,C正确。故选BCD。 8.(2023·陕西咸阳高三二模)若x>0,y>0且x+y=2,则下列结论中正确的是 (BD) A.x2+y2的最小值是1 B.xy的最大值是1 C.的最小值是4 D.的最大值是2 解析　对于A,因为x2+y2=(x+y)2-2xy=4-2xy≥4-2×=2(当且仅当x=y=1时取等号),所以(x2+y2)min=2,A错误;对于B,因为xy≤=1(当且仅当x=y=1时取等号),所以(xy)max=1,B正确;对于C,(x+y)=(3+2),当且仅当时取等号,所以C错误;对于D,()2=x+y+2≤2(x+y)=4,所以≤2,的最大值是2,D正确。故选BD。 三、填空题 9.若log2m+log2n=1,那么m+n的最小值是 2 。  解析　因为log2m+log2n=1,即log2(mn)=1,所以mn=2,由基本不等式可得m+n≥2,当且仅当m=n=时等号成立,故m+n的最小值是2。 10.当3<x<12时,函数y=的最大值为 3 。  解析　y=+15=3(当且仅当x=,即x=6时取等号),所以ymax=3。 11.(2024·重庆市模拟)已知a,b为非负实数,且2a+b=1,则的最小值为 2 。  解析　=2(a+1)-4++2a+b-2,因为2a+b=1,所以-1,2(a+1)+b=3。因为a,b为非负实数,且b≠0,所以a≥0,b>0,所以[2(a+1)+b]-1=-1=2,当且仅当,即a=0,b=1时取“=”,所以的最小值为2。 四、解答题 12.已知正实数x,y满足等式=2。 (1)求xy的最小值; (2)若3x+y≥m2-m恒成立,求实数m的取值范围。 解　(1)2=,即xy≥3,当且仅当x=1,y=3时等号成立,所以xy的最小值为3。 (2)3x+y=(3x+y)=6,当且仅当x=1,y=3时等号成立。即(3x+y)min=6。所以m2-m≤6,解得-2≤m≤3。所以实数m的取值范围是[-2,3]。 13.经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数),若不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件。已知2023年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。 (1)将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时,厂家获得的利润最大? 解　(1)由题意可知,当m=0时,x=1,所以1=3-k,解得k=2,即x=3-,每1万件产品的销售价格为万元,所以2023年的利润y=x-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8-m(m≥0)。即y与m之间的函数关系式是y=28--m(m≥0)。 (2)由(1)知y=-+29(m≥0)。因为当m≥0时,+(m+1)≥2=8,当且仅当=m+1,即m=3时取等号,所以y≤-8+29=21,即当m=3时,y取得最大值,为21,所以当该厂家2023年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大,为21万元。 综合提能 14.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (BC) A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 解析　对于A,B:由x2+y2-xy=1,得(x+y)2-3xy=1,(x+y)2-1=3xy≤3,即(x+y)2≤4,所以-2≤x+y≤2,所以A不正确,B正确;对于C,D:由x2+y2-xy=1,得x2+y2-1=xy≤,当且仅当x=y时取等号,所以x2+y2≤2,所以C正确,D不正确。故选BC。 15.(2024·湖北黄冈中学高三月考)已知a是正整数,若对任意的实数x>99,a2(x-100)>恒成立,则a的最大值为 19 。  解析　a2(x-100)>⇔a2(x-99)>+a2⇔a2(x-99)+>a2-1。因为x>99,所以a2(x-99)+a,所以6a>a2-1,即(a-3)2<100,所以0<a<10+3。因为a是正整数,且9<3<10,所以a的最大值为19。 素养创新 16.(2024·湖北七市联考)已知函数f(x)=x+(x>0),若的最大值为,则正实数a= 1 。  解析　令t=x+(x>0),则t≥2,则。令y=t+(a>0,t≥2),当0<a≤4时,y=t+在[2,+∞)上单调递增,y=t+a,则0<,即,则,解得a=1。当a>4时,t+(当且仅当t=时取等号),则0<,即,则,解得a=(舍去)。综上,正实数a=1。 学科网（北京）股份有限公司 $$