第2章 第8节 函数的零点与方程的解(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第八节　函数的零点与方程的解 【课程标准】　1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程解的联系,了解函数零点存在定理,会判断一元二次方程根的存在性及根的个数;2.根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解。 主干知识整合 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【基础梳理】 　　1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。 (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点。 (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解。 (4)有关函数零点的重要结论 ①若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数,则f(x)至多有一个零点。 ②连续不断的函数的相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。 [微点清]　函数的零点是实数,而不是点,是方程f(x)=0的实数解。函数零点存在定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件。 2.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 【知识延伸】 　　1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断,且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点。 2.f(a)f(b)<0是连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件。 3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,f(a)f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上有且只有一个零点。 【小题自测】 1.若函数f(x)的零点是2,则函数f(2x)的零点是(B) A.0 B.1 C.2 D.4 解析　由题意知f(2)=0,所以f(2×1)=0,即1为函数f(2x)的零点。故选B。 2.函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是(B) A.(1,2) B.(2,3) C.和(3,4) D.(4,+∞) 解析　因为f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->0,所以f(2)f(3)<0,且函数f(x)的图象连续不断,f(x)为增函数,所以f(x)的零点在区间(2,3)内。故选B。 3.若函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(C) A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2) 解析　由题意知函数f(x)在(1,2)上单调递增,又函数的一个零点在区间(1,2)内,所以解得0<a<3。故选C。 4.若二次函数f(x)=x2+kx+k在R上无零点,则实数k的取值范围是 (0,4) 。  解析　Δ=k2-4k<0,解得0<k<4。 5.函数f(x)=ex+3x的零点有 1 个。  解析　f(x)在R上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=1>0,因此函数f(x)有且只有1个零点。 关键能力突破 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　判断函数零点所在区间 【例1】　(1)函数f(x)=log3x+x-2的零点所在的区间为(B) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析　解法一(定理法):函数f(x)=log3x+x-2的定义域为(0,+∞),并且f(x)在(0,+∞)上单调递增,图象是一条连续的曲线。由题意知f(1)=-1<0,f(2)=log32>0,根据函数零点存在定理可知,函数f(x)=log3x+x-2有唯一零点,且零点在区间(1,2)内。故选B。 解法二(图象法):将函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=log3x,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围。作出两函数图象如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)。故选B。 (2)根据表格中的数据可以判定方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(C) x 1 2 3 4 5 ln x 0 0.693 1.099 1.386 1.609 x-2 -1 0 1 2 3 A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 解析　设f(x)=ln x-x+2=ln x-(x-2),其定义域为(0,+∞),易知函数f(x)在(0,+∞)上的图象连续,由表格数据得f(3)=ln 3-(3-2)=1.099-1=0.099>0,f(4)=ln 4-(4-2)=1.386-2<0,f(1)>0,f(2)>0,f(5)<0,则f(3)·f(4)<0,即在区间(3,4)上,函数f(x)存在一个零点,即方程ln x-x+2=0的一个根所在的区间为(3,4),故选C。 　　函数零点所在区间的判断方法及适用情形 1.定理法:利用函数零点存在定理进行判断。适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形。 2.图象法:画出函数图象,通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断。适用于容易画出函数的图象的情形。 【变式训练】　(1)(多选题)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间内必有零点(AD) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 解析　f(-2)=>0,f(-1)=-1<0,f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,f(2)=e2-4>0,因为f(-2)f(-1)<0,f(1)f(2)<0,所以f(x)在(-2,-1)和(1,2)内存在零点。故选AD。 (2)已知函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(m,m+1)(m∈Z)上,则m= -2 。  解析　函数f(x)=e-x-2x-5是减函数,f(-2)=e2-1>0,f(-1)=e-3<0,所以f(-2)·f(-1)<0,所以函数f(x)=e-x-2x-5的零点位于区间(-2,-1)上,所以m=-2。 类型二　函数零点个数的讨论 【例2】　(1)已知函数f(x)=则f(x)的零点个数为(C) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　当x>1时,令f(x)=ln(x-1)=0,得x=2;当x≤1时,令f(x)=2x-1-1=0,得x=1。故选C。 (2)已知函数f(x)=-cos x,则f(x)在[0,2π]上的零点个数为 3 。  解析　 如图,作出g(x)=与h(x)=cos x的图象,可知其在[0,2π]上的交点个数为3,所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3。 (3)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是 1 。  解析　因为f(0)f(1)=(-1)×1=-1<0,函数在定义域内单调递增且连续,所以函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点。 　　函数零点个数的判断方法 1.直接求零点:令f(x)=0,有几个解就有几个零点。 2.函数零点存在定理:首先确定函数f(x)在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,再结合函数的图象与性质确定函数零点个数。 3.利用图象交点个数:作出两函数图象,观察其交点个数即得零点个数。 【变式训练】　(1)(2024·重庆模拟)函数f(x)=ex+x-3在区间(0,1)上的零点个数是(B) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　由题知函数f(x)是增函数。根据函数零点存在定理及f(0)=-2<0,f(1)=e-2>0,f(0)·f(1)<0,可知函数f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点。故选B。 (2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(B) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　 (图象法)令f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=,设g(x)=|log0.5x|,h(x)=,在同一坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图象如图,可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点。故选B。 类型三　函数零点的应用 微专题 角度❶:根据函数零点的个数求参数 【例3】　(2024·黄冈模拟)函数f(x)=g(x)=kx-3k,若函数f(x)与g(x)的图象有三个交点,则实数k的取值范围为(D) A.(2-6,0) B.(2-6,0) C.(-2,0) D.(2-6,0) 解析　 作出函数f(x)=的图象,如图所示,设与y=4-x2相切的直线为l,且切点为P(x0,4-),因为y'=-2x,所以切线的斜率为k=-2x0,则切线方程为y-4+=-2x0(x-x0),因为g(x)=kx-3k过定点(3,0),且在切线l上,代入切线方程求得x0=3-或x0=3+(舍去),所以切线的斜率为k=2-6,因为函数f(x)与g(x)的图象有三个交点,由图象知,实数k的取值范围为(2-6,0)。故选D。 　　根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 1.直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围。 2.分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决。 3.数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解。 角度❷:嵌套函数的零点 【例4】　已知f(x)=|3x-1|+2,若关于x的方程[f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0有三个实根,则实数a的取值范围是(C) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(2,3) D.(3,+∞) 解析　 因为[f(x)]2-(2+a)f(x)+2a=0,所以f(x)=2或f(x)=a,作出函数f(x)的图象如图所示,由图可得f(x)=2有一个实根0,所以要使f(x)=a有两个不同非零实根,只需2<a<3。故选C。 　　对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,设中间函数为t,通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解。 【题组对点练】　 题号 1 2 3 角度 ❶ ❶ ❷ 1.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a。若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(C) A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 解析　 函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出函数f(x)的图象,并平移直线y=-x,如图所示,由图可知,当且仅当-a≤1,即a≥-1时,函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点。故选C。 2.已知函数f(x)=3x-。若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是(B) A. B. C.(-∞,0) D. 解析　由f(x)=3x-=0,可得a=3x-,令g(x)=3x-,其中x∈(-∞,-1),由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域。由于函数y=3x,y=-在区间(-∞,-1)上均单调递增,所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增。当x∈(-∞,-1)时,g(x)=3x-<g(-1)=3-1+1=,又g(x)=3x->0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为。因此实数a的取值范围是。故选B。 3.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 [-1,+∞) 。  解析　 设t=f(x),令f(f(x))-a=0,则a=f(t)。在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图)。当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点。设交点的横坐标分别为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1<-1,t2≥-1。当t1<-1时,t1=f(x)有一解;当t2≥-1时,t2=f(x)有两解。综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点。 不动点与稳定点 一、不动点 　　已知函数y=f(x),x∈I,若存在x0∈I,使得f(x0)=x0,则称x0为函数y=f(x)的不动点。不动点实际上是方程组的解(x0,y0)的横坐标,或两者图象的交点的横坐标。 【典例1】　在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石。简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x),存在点x0,使得f(x0)=x0,那么我们称该函数为“不动点”函数。若函数f(x)=x(aex-ln x)为“不动点”函数,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,0] B. C.(-∞,1] D.(-∞,e] 【解析】　由题意得若函数f(x)=x(aex-ln x)为不动点函数,则存在点x0满足f(x0)=x0(a-ln x0)=x0,即a=ln x0+1,即a=,设g(x)=,则g'(x)=,设h(x)=-ln x-1,则h'(x)=-<0(x>0),所以h(x)在(0,+∞)单调递减,且h(1)=0。因为x∈(0,1)时,h(x)>0,g'(x)>0,所以g(x)在(0,1)上单调递增,因为x∈(1,+∞)时,h(x)<0,g'(x)<0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)max=。当x∈时,(ln x+1)<0,ex>0,则g(x)<0,当x∈时,(ln x+1)>0,ex>0,则g(x)>0,要想a=成立,由于g(x)的图象如图所示,则y=a与g(x)有交点,所以a≤g(x)max=。故选B。 【答案】　B 【训练1】　对于定义在R上的函数f(x),如果存在实数x0使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个不动点。若函数f(x)=存在两个不动点,则实数m的取值范围是(C) A.[0,1] B.[-1,0] C.(-∞,1] D.[-1,+∞) 解析　要使函数f(x)存在两个不动点,只需直线y=x与函数f(x)的图象有两个不同的交点即可。当x<0时,显然y=与y=x的图象有一个交点;当x≥0时,需使y=-m与y=x的图象有且只有一个交点,如示意图,则需y=的图象最多向下平移1个单位长度,向上则可以任意平移,所以-m≥-1,即m≤1。故选C。 二、稳定点 　　已知函数y=f(x),x∈I,若存在x0∈I,使得f(f(x0))=x0,则称x0为函数y=f(x)的稳定点。 显然,若x0为函数y=f(x)的不动点,则x0必为函数y=f(x)的稳定点。 【典例2】　设函数y=f(x)的不动点集合为A,稳定点集合为B,求证: (1)A⊆B; (2)若函数f(x)单调递增,则A=B。 【证明】　(1)不妨设x0∈A,则由题知f(x0)=x0,则f(f(x0))=f(x0)=x0,故x0∈B,所以A⊆B。 (2)设t∈B,则f(f(t))=t,因为函数f(x)单调递增,所以存在唯一a,使f(t)=a,f(a)=t,若a<t,则f(a)<f(t),得到t<a,与a<t矛盾;若a>t,则f(a)>f(t),得到t>a,与a>t矛盾,故必有a=t,所以f(t)=t,即t∈A,又由(1)知A⊆B,所以,当函数f(x)单调递增时,A=B。 【训练2】　设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数)。若存在b∈[0,1],使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是(A) A.[1,e] B.[1,e+1] C.[e,e+1] D.[0,1] 解析　f(x)=,根据复合函数的单调性,可以判断该函数为增函数,又因为存在b∈[0,1],使得f(f(b))=b,即有稳定点b,所以它必有不动点b∈[0,1],使得f(b)=b,即f(x)==x在x∈[0,1]有解,整理可得a=ex+x-x2,在x∈[0,1]有解,令g(x)=ex+x-x2,x∈[0,1],因为g'(x)=ex+1-2x>1+1-2=0,所以g(x)在x∈[0,1]单调递增,g(0)=1,g(1)=e,所以a∈[1,e]。故选A。 学科网（北京）股份有限公司 $$