第2章 第7节 函数的图象(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第七节　函数的图象 【课程标准】　1.在实际情境中,会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数;2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题。 主干知识整合 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【基础梳理】 　　1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线。 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)。 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线。 2.函数图象的变换 (1)平移变换 [微点清]　函数图象平移变换的八字方针 ①“左加右减”,要注意加减指的是自变量。 ②“上加下减”,要注意加减指的是函数值。 (2)对称变换 ①y=f(x)y=-f(x)。 ②y=f(x)y=f(-x)。 ③y=f(x)y=-f(-x)。 ④y=ax(a>0,且a≠1)y=logax。 [微点清]　①函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(x)=f(2a-x)。 ②函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x)。 (3)翻折变换 ①y=f(x)y=|f(x)|。 ②y=f(x)y=f(|x|)。 [微点清]　y=f(|x|)是偶函数。 (4)伸缩变换 ①y=f(x) y=f(ax)。 ②y=f(x) y=af(x)。 [微点清]　将y=f(x)图象的横坐标变为原来的a倍,纵坐标不变得到函数y=f(a>0)的图象。 【知识延伸】 　　1.图象的左右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换。 2.两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称。 (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称。 【小题自测】 1.下列图象是函数y=的图象的是(C) A B C D 解析　其图象是由y=x2图象中x<0的部分和y=x-1图象中x≥0的部分组成。故选C。 2.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(B) A　　B C　　D 解析　依题意,在2 h内血液中药物含量Q持续增加,停止注射后,Q呈指数衰减,图象B适合。故选B。 3.把函数f(x)=ln x图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍,得到的图象的函数解析式是 y=ln 。  解析　根据伸缩变换方法可得,所求函数解析式为y=ln。 4.将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数 y=f(-x+1) 的图象。  解析　y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度,是将f(-x)中的x变成x-1,故所得函数为y=f(-x+1)。 5. 已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示,若不等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1,2),则实数t的值为 1 。  解析　由图象可知不等式-2<f(x+t)<4即为f(3)<f(x+t)<f(0),故x+t∈(0,3),即不等式的解集为(-t,3-t),依题意可得t=1。 关键能力突破 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　作函数的图象 自练自悟 作出下列函数的图象。 (1)y=2x+1-1;(2)y=;(3)y=; (4)y=|log2x-1|。 解　(1)将y=2x的图象向左平移1个单位长度,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位长度,得到y=2x+1-1的图象,如图①。 　 ① ② (2)y=,先作出y=的图象,将其图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即得y=的图象,如图②。 (3)作出y=的图象,保留y=的图象中x≥0的部分,加上y=的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=的图象,如图③。 　 ③ ④ (4)先作出y=log2x的图象,再将其图象向下平移1个单位长度,保留x轴上方的部分,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得y=|log2x-1|的图象,如图④。 　　图象变换法作函数的图象 1.熟练掌握几种基本初等函数的图象。 2.若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序。 类型二　函数图象的识别 【例1】　(1)(2022·全国甲卷)函数y=(3x-3-x)cos x在区间的图象大致为(A) A　　B C　　D 解析　设函数f(x)=(3x-3-x)cos x,则对任意x∈,都有f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cos x=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因此排除B,D选项。又f(1)=(3-3-1)cos 1=cos 1>0,所以排除C选项。故选A。 (2)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为(D) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析　对于A,若f(x)=,则f(-x)==-f(x),函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故A不符合题意;对于B,若f(x)=,则f(-x)==-f(x),函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故B不符合题意;对于C,若f(x)=,由于ex+e-x≥2=2>0,且x2+2≥2>0,则对∀x∈R,都有f(x)>0,即函数图象在x轴上方,不可能在x轴下方,故C不符合题意;对于D,若f(x)=,则f(-x)==f(x),函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故D符合题意。故选D。 　　1.抓住函数的性质,定性分析 (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置。 (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势。 (3)从函数的周期性,判断图象的循环往复。 (4)从函数的奇偶性,判断图象的对称性。 2.抓住函数的特征,定量计算 利用函数的特殊点、特殊值的计算,分析解决问题。 【变式训练】　(1)(2023·石家庄二模)函数f(x)=x+的大致图象为(A) A　　　　B　 C　　　　D　 解析　解法一:依题意,函数f(x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)=-x+≠f(x),所以函数f(x)的图象不关于y轴对称,因此可以排除B,C。又f,f,所以f,可排除D。故选A。 解法二:(极限法)函数f(x)的定义域为{x|x≠0},当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞。故选A。 (2)(2024·沈阳教学质量监测)如图是函数H(x)图象的一部分,设函数f(x)=cos x,g(x)=|x|+1,则H(x)可以表示为(D) A.f(x)+g(x) B.f(x)-g(x) C.f(x)·g(x) D. 解析　因为f(0)=g(0)=1,H(0)=1,所以H(x)不可能表示为f(x)+g(x)或f(x)-g(x),故排除选项A,B;因为f(2π)g(2π)=2π+1>1,所以排除选项C。故选D。 类型三　函数图象的应用 微专题 角度❶:研究函数的性质 【例2】　(1)已知函数F(x)=则(B) A.F(x)的最大值为3,最小值为1 B.F(x)的最大值为7-2,无最小值 C.F(x)的最大值为7-2,最小值为1 D.F(x)的最大值为3,最小值为-1 解析　作出函数F(x)=的图象如图所示。由图可知,F(x)的最大值为7-2,无最小值。故选B。 (2)(2024·广西桂林、崇左联考)将函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)的图象与函数y=2sin πx(-4≤x≤6)图象的所有交点的横坐标之和等于(A) A.12 B.4 C.6 D.8 解析　将函数y=的图象向左平移1个单位长度得y=的图象,再向下平移1个单位长度得y=-的图象,即f(x)=-,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称。函数y=2sin πx的周期是2,且其图象也关于点(1,0)对称,f=2,2sin=2,f=-2,2sin=-2,在同一直角坐标系中,分别画出函数f(x)=-及y=2sin πx的图象,如图所示,由图象可知,两个函数的图象在[-4,6]上共有12个交点,且其交点两两关于点(1,0)对称,所以所有交点的横坐标之和为6×2=12。故选A。 　　一般根据图象研究函数的性质有以下几方面:一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;二是函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;三是根据图象上升与下降的情况,确定单调性。 角度❷:求参数的取值范围 【例3】　已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m恰有3个零点,则实数m的取值范围是(A) A.(-1,0)∪{-3} B.[-1,0]∪{-3} C.(0,1)∪{-3} D.(-1,1)∪{-3} 解析　依题意可得,f(x)的图象与直线y=m有3个公共点。因为函数f(x)=所以f'(x)=当x<-时,f(x)单调递增;当-<x<0时,f(x)单调递减;当0≤x<1时,f(x)单调递减;当x>1时f(x)单调递增。故f(x)的极小值为f(1)=-3,极大值为f=0。作出f(x)的大致图象,如图所示。由图可知,实数m的取值范围是(-1,0)∪{-3}。故选A。 　　当参数的不等关系不易找出时,可将不等式、函数或方程等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象确定参数的取值范围。 【题组对点练】　 题号 1 2 角度 ❶ ❶❷ 1.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(C) A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0) 解析　f(x)=x|x|-2x=画 出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减。故选C。 2.(多选题)(2024·山西联考)已知函数f(x)=则下列结论正确的是(BCD) A.函数f(x)在[0,2]上单调递减 B.函数f(x)的值域是[-1,+∞) C.若方程f(x)=a有5个解,则a的取值范围为(0,3) D.若函数y=f(x)-a有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+的取值范围为(-∞,-3) 解析　f(x)=画出f(x)的图象,如图。 A选项,函数f(x)在[0,1]和(1,2]上单调递减,不能说在[0,2]上单调递减,A错误。B选项,函数f(x)在x=-2处取得最小值,为-1,故值域是[-1,+∞),B正确。C选项,若方程f(x)=a有5个解,则要满足y=f(x)的图象与直线y=a有5个交点,故0<a<3,所以a的取值范围为(0,3),C正确。D选项,若函数f(x)-a有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),则a∈(3,+∞),令+4x1+3>3,解得x1<-4;由-ln(x2-1)=ln(x3-1),解得=x3-1,即x2x3-(x2+x3)=0,则x1+=x1+1∈(-∞,-3),故x1+的取值范围为(-∞,-3),D正确。故选BCD。 学科网（北京）股份有限公司 $$