微练3 等式性质与不等式性质(Word练习)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

微练(三)　等式性质与不等式性质 基础应用 一、单项选择题 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x),g(x)的大小关系是 (B) A.f(x)=g(x) B.f(x)>g(x) C.f(x)<g(x) D.随x的值变化而变化 解析　f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0⇒f(x)>g(x)。故选B。 2.对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[-2.5]=-3。若[x-2]=-1,则x的取值范围为 (D) A.(0,1] B.[0,1) C.(1,2] D.[1,2) 解析　由题意得解得1≤x<2。故选D。 3.若a,b∈R,则“a+b>4”是“a,b中至少有一个大于2”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当a+b>4时,假设a,b都不大于2,即a≤2,b≤2,则a+b≤4,这与a+b>4矛盾,所以“a+b>4”是“a,b中至少有一个大于2”的充分条件;反之,当a,b中至少有一个大于2时,a+b>4不一定成立,如a=3,b=1时,a+b=4,所以“a+b>4”不是“a,b中至少有一个大于2”的必要条件。故选A。 4.“0<a<b”是“a-”的 (A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数,所以当0<a<b时,a-,充分性成立;当a-时,(a-b)<0,不一定可以推出0<a<b,如a=-5,b=-2,(a-b)<0,但a<b<0,必要性不成立,所以“0<a<b”是“a-”的充分不必要条件。故选A。 5.(2024·重庆月考)已知a>b,则下列不等式中一定成立的是 (D) A. B.a2>b2 C.ln a>ln b D.2a-b>1 解析　当a=1,b=-1时,,a2=b2,ln b无意义,故A,B,C错误;对于D,由a>b,得a-b>0,则2a-b>1,故正确。故选D。 6.已知6<a<60,15<b<18,则下列结论正确的是 (C) A. B.21<a+2b<78 C.-12<a-b<45 D.<5 解析　因为15<b<18,所以,又6<a<60,所以<4,所以A错误。因为6<a<60,15<b<18,所以36<a+2b<96,所以B错误。因为15<b<18,所以-18<-b<-15,又6<a<60,所以-12<a-b<45,所以C正确。因为6<a<60,15<b<18,所以,<4,所以+1<5,所以D错误。故选C。 二、多项选择题 7.已知a>b>c,则下列不等式一定成立的是 (AD) A.a+b>2c B.a-b>b-c C.ac>bc D. 解析　根据a>b>c,取a=1,b=0,c=-1,则可排除BC。因为a+b-2c=a-c+b-c>0,所以a+b>2c;因为<0,所以。故选AD。 8.若0<a<1,b>c>1,则 (AD) A.>1 B. C.ca-1<ba-1 D.logca<logba 解析　对于A,因为b>c>1,所以>1,又0<a<1,则=1,A正确;对于B,若,则bc-ab>bc-ac,即a(c-b)>0,这与0<a<1,b>c>1矛盾,B错误;对于C,因为0<a<1,所以a-1<0,又因为b>c>1,所以ca-1>ba-1,C错误;对于D,因为0<a<1,b>c>1,所以logca<logba,D正确。故选AD。 三、填空题 9. < (填“>”“<”或“=”)。  解析　分母有理化有+2,,显然,所以。 10.已知c>10,M=,N=,则M,N的大小关系是 M<N 。  解析　因为M=,N=,又c>10,所以>0,所以,即M<N。 11.能够说明“设a,b,c是任意实数。若a2>b2>c2,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为 -3,-1,0(答案不唯一) 。  解析　令a=-3,b=-1,c=0,则a2>b2>c2,此时a+b=-4<0,所以a+b<c,原命题是假命题。 12.若1<α<3,-4<β<2,则2α+|β|的取值范围是 (2,10) 。  解析　因为-4<β<2,所以0≤|β|<4,又1<α<3,所以2<2α<6,所以2<2α+|β|<10。 综合提能 13.(2024·安徽部分学校联考)若关于x的不等式a-2<2a-x<只有一个整数解2,则实数a的取值范围为  。  解析　由a-2<2a-x<可得2a-<x<a+2,因为原不等式只有一个整数解2,所以≤a≤1。 14.设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d。证明: (1)若ab>cd,则; (2)是|a-b|<|c-d|的充要条件。 证明　(1)因为()2=a+b+2,()2=c+d+2,由a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,ab>cd,得()2>()2,所以。 (2)必要性:若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd。因为a+b=c+d,所以ab>cd。由(1)得,所以必要性成立。 充分性:若,则()2>()2,即a+b+2。因为a+b=c+d,所以ab>cd。于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2。因此|a-b|<|c-d|,充分性成立。 综上,是|a-b|<|c-d|的充要条件。 素养创新 15.(多选题)(2024·湖南长沙长郡中学模拟)生活经验告诉我们,a克糖水中有b克糖(其中a>0,b>0,且a>b),若再添加c(c>0)克糖(假设全部溶于水),糖水会更甜,于是得出一个不等式:,称之为“糖水不等式”。则下列说法一定正确的是 (ACD) A.若a>b>0,m>0,则与的大小关系不随m的变化而变化 B.若a>b>0,-b<m<0,则 C.若a>b>0,c>d>0,则 D.若a>0,b>0,则 解析　A选项,>0,所以,故A选项正确。B选项,当a>b>0,-b<m<0时,a+m>b+m>0,所以<0,即,B选项错误。C选项,>0,即,C选项正确。D选项,因为0<1+a<1+a+b,0<1+b<1+a+b,所以,,所以,D选项正确。故选ACD。 16.(多选题)(2023·河北九师联盟联考)已知非零实数a,b满足a>|b|+1,则下列不等关系一定成立的是 (ABC) A.a2>b2+1 B.2a>2b+1 C.a2>4b D.>b+1 解析　对于A,因为b≠0,所以a>|b|+1>0+1=1,所以a2>(|b|+1)2=|b|2+2|b|+1>b2+1,故A正确;对于B,因为a>|b|+1≥b+1,所以2a>2b+1,故B正确;对于C,由A可得a2>b2+2|b|+1,则a2-4b>b2+2|b|+1-4b≥b2+2|b|+1-4|b|=(|b|-1)2≥0,所以a2>4b,故C正确;对于D,令a=4,b=2,满足a>|b|+1,但<b+1,故D错误。故选ABC。 学科网（北京）股份有限公司 $$