第2章 第6节 对数与对数函数(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第六节　对数与对数函数 【课程标准】　1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用;2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点;3.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1);4.会利用对数函数模型解决实际问题。 主干知识整合 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【基础梳理】 　　1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N。  以e为底的对数叫做自然对数,并把logeN记为ln N。  2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质:loga1=0,logaa=1,=N(a>0,且a≠1,N>0)。 (2)对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM(n∈R)。 (3)对数换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1)。 3.对数函数的概念、图象与性质 概念 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 性质 过定点(1,0),即当x=1时,y=0 在区间(0,+∞)上是增函数 在区间(0,+∞)上是减函数 　　4.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称。 【知识延伸】 　　1.logab·logba=1,lologab。 2.如图,给出4个对数函数的图象。 由图知b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大。 3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),。 【小题自测】 1.(教材改编)计算:2lg=(B) A.10 B.1 C.2 D.lg 5 解析　原式=lg()2+lg=lg 5+lg 2=lg 10=1。故选B。 2.函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为(A) A　B C　D 解析　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数,图象关于y轴对称。设g(x)=loga|x|,先画出当x>0时g(x)的图象,然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象,最后由函数g(x)的图象向上整体平移1个单位长度即得f(x)的图象,结合图象知选A。 3.已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是(C) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.a<b<c 解析　a=log52<log5<log83=b,即a<c<b。故选C。 4.函数y=的定义域是  。  解析　由lo(2x-1)≥0,得0<2x-1≤1。所以<x≤1。所以函数y=。 5.若loga<1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是∪(1,+∞)。 解析　当0<a<1时,loga<logaa=1,所以0<a<;当a>1时,loga<logaa=1,所以a>1。综上所述,实数a的取值范围是∪(1,+∞)。 关键能力突破 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　对数的运算 自练自悟 1.(2022·浙江卷)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(C) A.25 B.5 C. D. 解析　由log83=b,得8b=3,则23b=3。又2a=5,所以4a-3b=。故选C。 2.计算:lg=(A) A. B. C.1 D.2 解析　原式=lg 4+(lg 2+lg 5)-2lg 2=。故选A。 3.若2a=5b=10,则=(C) A.-1 B.lg 7 C.1 D.log710 解析　因为2a=5b=10,所以a=log210,b=log510,所以=lg 2+lg 5=lg 10=1。故选C。 4.若实数b>a>1,且logab+logba=,则3ln a-ln b= 0 。  解析　因为b>a>1,所以logab>1,0<logba<1,因为logab·logba=1,所以可设logab=x(x>1),则logba=,故x+,得x=logab=3,则logab==3,得3ln a-ln b=0。 　　1.ab=N⇔b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化。 2.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并。 3.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算。 类型二　对数函数的图象及应用 【例1】　(1)已知log2a+log2b=0(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1),则函数f(x)=与g(x)=logbx的图象可能是(B) A　　　　B C　　　　D 解析　log2a+log2b=0,即log2(ab)=0,即ab=1。当a>1时,0<b<1,函数f(x)=与g(x)=logbx均为减函数,四个图象均不满足;当0<a<1时,b>1,函数f(x)=与g(x)=logbx均为增函数,排除A,C,D,则在同一坐标系中两函数的图象可能是B,故选B。 (2)已知函数f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,则,,的大小关系为(B) A. B. C. D. 解析　 作出函数f(x)=log3(x+2)的图象,如图所示。由图可知,y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为a>b>c>0,所以。故选B。 　　1.在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)。 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解。 【变式训练】　(1)函数y=|lg(x+1)|的图象大致是(A) A　　　B C　　　D 解析　由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lg x的图象向左平移一个单位长度得到,函数y=lg x的图象与x轴的交点是(1,0),故函数y=lg(x+1)的图象与x轴的交点是(0,0),所以函数y=|lg(x+1)|的图象与x轴的交点是(0,0)。故选A。 (2) (多选题)(2024·威海模拟)已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0,且a≠1,a,b为常数)的图象如图,则下列结论正确的是(BD) A.a>0 B.0<a<1 C.b<-1 D.-1<b<0 解析　因为函数f(x)=loga(x-b)为减函数,所以0<a<1,B项正确。因为函数f(x)的图象与x轴的交点在正半轴,所以x=1+b>0,即b>-1,又因为函数f(x)的图象与y轴有交点,所以b<0,所以-1<b<0,D项正确。故选BD。 类型三　对数函数的性质及应用 微专题 角度❶:比较大小 【例2】　(1)(2024·武汉质检)已知a=log30.5,b=log3π,c=log43,则a,b,c的大小关系是(C) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<a<b 解析　a=log30.5<log31=0,即a<0;b=log3π>log33=1,即b>1;0=log41<log43<log44=1,即0<c<1,所以a<c<b。故选C。 (2)设a=log412,b=log515,c=log618,则(A) A.a>b>c B.b>c>a C.a>c>b D.c>b>a 解析　a=1+log43,b=1+log53,c=1+log63,因为log43>log53>log63,所以a>b>c。故选A。 　　比较对数式的大小的常用方法:一是将对数式转化为同底的形式,再根据对数函数的单调性进行比较;二是利用中间值0或1等进行比较;三是将对数式转化为指数式,再将指数式转化为对数式,通过循环转化进行比较。 角度❷:对数型复合函数的单调性 【例3】　已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3)。 (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最小值为0,求a的值。 解　(1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,即a=-1,所以f(x)=log4(-x2+2x+3)。由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3)。令g(x)=-x2+2x+3,则g(x)在(-1,1]上单调递增,在[1,3)上单调递减。又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是[1,3)。 (2)若f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,因此应有解得a=。故实数a的值为。 　　利用对数函数的性质,求与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必须弄清三个方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的。另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用。 【题组对点练】　 题号 1 2 3 角度 ❶ ❷ ❷ 1.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为(D) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　解法一(中间量法):因为a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=lo=log23>log2e>1,所以c>a>b。故选D。 解法二(图象法):lo=log23,在同一平面直角坐标系中作出函数y=log2x,y=ln x的图象,如图,由图可知c>a>b。故选D。 2.已知函数f(x)=loga(6-ax)(a>0,且a≠1)在(0,2)上单调递减,则实数a的取值范围是(A) A.(1,3] B.(1,3) C.(0,1) D.(1,+∞) 解析　令t(x)=6-ax,因为a>0,所以t(x)=6-ax为减函数。又由函数f(x)=loga(6-ax)在(0,2)上单调递减,可得函数t(x)=6-ax>0在(0,2)上恒成立,且a>1,故有解得1<a≤3。故选A。 3.若函数f(x)=loga(a>0,且a≠1)有最小值,则实数a的取值范围是 (1,) 。  解析　令u(x)=x2-ax+,则u(x)有最小值,欲使函数f(x)=loga有最小值,则有解得1<a<,即实数a的取值范围为(1,)。 不同底不同真数对数值的大小比较 【源于教材】　(人教A版必修第一册第141页第13题第(2)问)比较下列三个值的大小:log23,log34,log45。 【方法探究】　这类问题一般有三种思路: 1.不同底的对数值转化为同底的对数值比较大小; 2.不同真数的对数值转化为相同真数的对数值(借助图象法)比较大小; 3.(插值法)借助中间变量比较大小。 【多视角展现】　 视角1:化同底比较大小。 解法1(比差法):log23-log34=,因为ln 2×ln 4<=(ln)2<(ln 3)2,所以log23-log34>0。log34-log45=,因为ln 3×ln 5<=(ln)2<(ln 4)2,所以log34-log45>0。综上有log23>log34>log45。 解法2(综合法):因为当n>1时,lg n·lg(n+2)<=lg2(n+1),即lg n·lg(n+2)<lg2(n+1),所以,即logn(n+1)>logn+1(n+2),所以分别取n=2和n=3可得log23>log34>log45。 【方法点拨】　以上两种解法是通过转化为同底的对数值,结合比较大小的常规方法(比较法、综合法)进行解决获得结果。 视角2:化同真数比较大小 解法3:不妨先证log23>log34⇔证log827>log916,因为log827>log927>log916,所以log23>log34,再证log34>log45⇔证log2431 024>log256625,因为log2431 024>log2561 024>log256625,所以log34>log45。综上,log23>log34>log45。 【方法点拨】　本题的难点是结合换底公式将底数、真数取相同的幂,插入与其中一个对数值同真数,与另一个对数值同底的中间量比较大小。 视角3:插值法比较大小 解法4:因为log23>log22,log34<log3,所以log34<<log23。因为log34>log3,log45=log2,所以log45<<log34。综上,log23>log34>log45。 【方法点拨】　本种解法插入两个数值,,使log23>>log45成立,从而比较大小。在插值中“0”与“1”是常见的两个插入数值,但在本题中无法比较大小,所以要根据题意灵活插值,以比较大小。 思考题　(1)已知a=log6,b=log7,c=60.1,则(B) A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c 解析　因为a=log6,b=log7,所以a>b;因为a=log6log663=1,c=60.1>60=1,所以c>a。所以c>a>b。故选B。 (2)若a>b>c>1,且ac<b2,则(B) A.logab>logbc>logca B.logcb>logba>logac C.logbc>logab>logca D.logba>logcb>logac 解析　解法一:由于a>b>c>1,所以logab<logaa=1,logbc<logbb=1,但logca>logcc=1,从而A,C不正确。因为a>b>1,所以logba>logbb=1,又因为a>c>1,所以logac<logaa=1,所以logba>1>logac。logcb-logba=。由已知得b2>ac>1,所以lg b2>lg a+lg c,所以2lg b>lg a+lg c,所以(lg b)2-lg a·lg c>-lg a·lg c=>0,即>0,所以logcb>logba,从而B正确,D不正确。故选B。 解法二(特殊值法):取a=8,b=4,c=,则logab=log84=,logbc=log4,logca=lo8=6,故A,C不正确;logcb=lo4=4,logba=log48=,logac=log8,故B正确,D不正确。故选B。 学科网（北京）股份有限公司 $$