第2章 第5节 指数与指数函数(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第五节　指数与指数函数 【课程标准】　1.理解有理数指数幂、实数指数幂的含义,掌握指数幂的运算性质;2.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点;3.会利用指数函数模型解决实际问题。 主干知识整合 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【基础梳理】 　　1.根式 (1)如果xn=a,那么x叫做a的n次方根。 (2)式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数。 (3) 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,n>1)。 正数的负分数指数幂的意义是(a>0,m,n∈N*,n>1)。 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。 3.指数幂的运算性质 aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr(a>0,b>0,r,s∈R)。 [微点清]　指数幂的运算性质中,底数大于0,否则不能用性质进行运算。 4.指数函数及其性质 (1)概念:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是底数。 (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 【知识延伸】 　　1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),。 2.底数对函数y=ax(a>0,且a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4),不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越高。 3.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a>1与0<a<1来研究。 【小题自测】 1.(多选题)设a>0,m,n是正整数,且n>1,则下列各式正确的是(BCD) A.=a B.=a C. D. 2.(多选题)下列函数中,值域为(0,+∞)的是(CD) A.y=x2 B.y= C.y=2x D.y=3x-1 解析　y=x2的值域为[0,+∞);y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞);y=2x的值域为(0,+∞);y=3x-1的值域为(0,+∞)。故选CD。 3.函数y=e-|x|(e是自然对数的底数)的大致图象是(C) A　B　C　D 解析　因为y=e-|x|=所以函数图象关于y轴对称,且过点(0,1),y=e-|x|>0,函数在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,故C符合。故选C。 4.计算:2+(π-1)0-(= 1 。  解析　原式=+1-3-2=3-2+1-3-2=1。 5.若指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值为2,则a= 2或 。  解析　若a>1,则f(x)max=f(1)=a=2;若0<a<1,则f(x)max=f(-1)=a-1=2,得a=。 关键能力突破 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一　指数幂的运算 自练自悟 1.已知x<0,y>0,化简:=(B) A.-x2y B.x2y C.-3x2y D.3x2y 解析　由题意得(x8(y4x2y。故选B。 2.已知3a+2b=1,则=  。  解析　因为3a+2b=1,所以,所以原式=。 3.化简与求值: (1); (2)0.02-(-1)0; (3)(a>0,b>0); (4) (a>0)。 解　(1)原式=(23×(102×(2-2)-3×。 (2)原式=(0.33-1=-45。 (3)原式=。 (4)原式==(a3÷(a2=a÷a=1。 　　1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: (1)必须同底数幂相乘,指数才能相加。 (2)运算的先后顺序。 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数。 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数。 类型二　指数函数的图象及应用 【例1】　(1)已知lg a+lg b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=lox的图象可能是(B) A　　　B C　　　D 解析　由lg a+lg b=0可知lg(ab)=0,则ab=1,所以a=,故函数f(x)=ax与函数g(x)=lox=logax(x>0)的单调性相同,排除C,D。又g(x)的定义域为(0,+∞),所以排除A。故选B。 (2)(多选题)已知实数a,b满足等式2 022a=2 023b,下列等式可能成立的是(ABD) A.a=b=0 B.a<b<0 C.0<a<b D.0<b<a 解析　如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0。故选ABD。 (3)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是 (0,2) 。  解析　在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示。所以当0<b<2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点。所以b的取值范围是(0,2)。 　　对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到。特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论。 【变式训练】　(1)函数y=ax-a-1(a>0,且a≠1)的图象可能是(D) A　　　　B C　　　　D 解析　解法一:函数y=ax-是由函数y=ax的图象向下平移个单位长度得到的,A显然错误;当a>1时,0<<1,平移距离小于1,所以B错误;当0<a<1时,>1,平移距离大于1,所以C错误。故选D。 解法二:由y=ax-的图象恒过定点(-1,0),可排除A,B,C,故选D。 (2)已知函数y=2|x+a|的图象关于y轴对称,则实数a的值是 0 。  解析　由于函数图象关于y轴对称,所以函数为偶函数,所以2|x+a|=2|-x+a|。根据指数函数的单调性可知|x+a|=|-x+a|,只有当a=0时,等式恒成立。故a=0。 (3)若函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则实数k的取值范围为 (-∞,0] 。  解析　 函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示。由图象知,其在(-∞,0]上单调递减,所以实数k的取值范围为(-∞,0]。 类型三　指数函数的性质及应用 微专题 角度❶:比较大小与解不等式 【例2】　(1)(2023·天津卷)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(D) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 解析　因为指数函数f(x)=1.01x在R上单调递增,且0.5<0.6,所以f(0.5)<f(0.6),即1.010.5<1.010.6,即b>a;又因为幂函数g(x)=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且0.6<1.01,所以g(0.6)<g(1.01),即0.60.5<1.010.5,即a>c,由此可知,a,b,c的大小关系为b>a>c。故选D。 (2)设函数f(x)=2x-2-x+x3,则使得不等式f(2x-1)+f(3)<0成立的实数x的取值范围是 (-∞,-1) 。  解析　函数的定义域为R,f(-x)=2-x-2x-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,又由解析式可知函数f(x)是增函数,原不等式可化为f(2x-1)<f(-3),所以2x-1<-3,解得x<-1,故x的取值范围是(-∞,-1)。 　　1.比较指数式的大小的方法是:(1)能化成同底数的先化成同底数指数幂,再利用单调性比较大小;(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小。 2.指数不等式的求解主要利用指数函数的单调性进行转化。 角度❷:指数型复合函数的单调性 【例3】　(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则a的取值范围是(D) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解析　函数y=2x在R上单调递增,而函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,则有函数y=x(x-a)=在区间(0,1)上单调递减,因此≥1,解得a≥2,所以a的取值范围是[2,+∞)。故选D。 　　对于指数型复合函数的问题,关键是判断其单调性。对于形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关:若a>1,则函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y=af(x)的单调递增(减)区间;若0<a<1,则函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y=af(x)的单调递减(增)区间。 角度❸:指数函数的应用 【例4】　(2024·山东泰安模拟)某食品保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数)。若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是(C) A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时 解析　由题意可知,当x=0时,y=eb=192,当x=22时,y=e22k+b=e22k·eb=48,所以e22k=,所以e11k=,所以当x=33时,y=e33k+b=(e11k)3·eb=×192=24。故选C。 　　指数函数的应用关键是从题中提取有用的信息,构建指数函数模型,运用指数幂的运算性质求解。 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 角度 ❶ ❷ ❷ ❸ 1.(2023·南京六校联考)若a=0.40.5,b=0.50.4,c=log324,则a,b,c的大小关系是(D) A.a<b<c B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b 解析　因为a=0.40.5<0.50.5<0.50.4=b,所以a<b;又因为c=log324=lolog22=0.4,a=0.40.5>0.4=c,所以c<a<b。故选D。 2.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是(B) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 解析　由f(1)=,得a2=,所以a=或a=-(舍去),即f(x)=。由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,y=在(-∞,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减。故选B。 3.(多选题)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是(AC) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为减函数 C.f(x)有且只有一个零点 D.f(x)的值域为[-1,1] 解析　因为函数f(x)=,x∈R,所以f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,故A正确;因为f(x)=,且y=2x+1在R上单调递增,所以f(x)=1-在R上为增函数,故B错误;令f(x)=0,则2x-1=0,得到x=0,所以f(x)有且只有一个零点,故C正确;因为f(x)在R上为增函数,令y=,则2x=,所以x=log2,所以>0,即(1+y)(y-1)<0,解得-1<y<1,所以f(x)∈(-1,1),故D错误。故选AC。 4.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t(单位:分钟)后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)·,其中Ta称为环境温度,h称为半衰期。现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降到32 ℃时,还需要 10 分钟。  解析　由已知Ta=24,T0=88,T=40,可得40-24=(88-24)·,解得h=10。此杯咖啡从40 ℃降到32 ℃时,可得32-24=(40-24)·,解得t=10。 学科网（北京）股份有限公司 $$