第2章 第4节 幂函数与二次函数(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第四节　幂函数与二次函数 【课程标准】　1.了解幂函数的概念;2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,理解它们的变化规律;3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质。 主干知识整合 　　　　　 【基础梳理】 1.幂函数 (1)定义:函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数。 (2)常见的五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义。 ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增。 ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减。 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c (a>0) f(x)=ax2+bx+c (a<0) 图象 定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域 单调性 在x∈上单调递减; 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增;在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x=-对称 【知识延伸】 1.幂函数图象的特征 (1)在(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”)。 (2)在(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴。 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。 (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)。 (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。 3.一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”。 (2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”。 【小题自测】 1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4),则f(-3)=(B) A.-9 B.9 C.3 D.-3 解析　因为幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,4),所以2α=4,α=2,所以f(x)=x2,所以f(-3)=(-3)2=9。故选B。 2.若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都单调递减,则y=ax2+bx在(0,+∞)上(B) A.单调递增 B.单调递减 C.先减再增 D.先增再减 解析　因为函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都单调递减,所以a<0,b<0,则y=ax2+bx的图象开口向下,对称轴为直线x=-<0,所以y=ax2+bx在(0,+∞)上单调递减。故选B。 3.函数g(x)=x2-2x(x∈[0,3])的值域是 [-1,3] 。  解析　因为g(x)=(x-1)2-1,所以g(x)min=g(1)=-1,g(x)max=g(3)=3。所以所求值域为[-1,3]。 4.若(a+1<(3-2a,则实数a的取值范围是  。  解析　易知函数y=的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以解得-1≤a<。 5.若函数y=x2-2tx+3在[1,+∞)上单调递增,则t的取值范围是 (-∞,1] 。  解析　函数y=x2-2tx+3的图象开口向上,且以直线x=t为对称轴。因为函数y=x2-2tx+3在[1,+∞)上单调递增,所以t≤1。 关键能力突破 　　　　　 类型一　幂函数的图象与性质 自练自悟 1.若幂函数的图象经过点,则它的单调递增区间是(D) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,+∞) D.(-∞,0) 解析　设f(x)=xα,则2α=,α=-2,即f(x)=x-2,它是偶函数,单调递增区间是(-∞,0)。故选D。 2.若幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值情况为(D) A.-1<m<0<n<1 B.-1<n<0<m< C.-1<m<0<n< D.-1<n<0<m<1 解析　幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,且0<α<1时,图象上凸,所以0<m<1。当α<0时,y=xα在(0,+∞)上单调递减。不妨令x=2,由图象得2-1<2n<1,则-1<n<0。综上可知,-1<n<0<m<1。故选D。 3.(多选题)已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(16,4),则下列说法正确的有(BCD) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.当x>1时,f(x)>1 D.当0<x1<x2时,<f 解析　因为幂函数f(x)=xα的图象经过点(16,4),所以16α=4,则α=,所以f(x)==,由其图象可知,A错误,B正确;当x>1时,f(x)>f(1)=1,故C正确;因为f(x)=的图象是上凸的,所以<f,故D正确。故选BCD。 4.若(a+1<(3-2a,则实数a的取值范围是 (-∞,-1)∪ 。  解析　不等式(a+1<(3-2a等价于a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得a<-1或<a<。 1.对于幂函数y=xα(α∈R)图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x所分区域。根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由其奇偶性决定。 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较。 类型二　二次函数的解析式 【例1】　(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1的图象过点P(-1,7),且满足f(1+x)=f(1-x),则a,b的值分别是(C) A.2,4 B.-2,4 C.2,-4 D.-2,-4 解析　因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)图象的对称轴是直线x=1,所以-=1　①,又图象过点P(-1,7),所以a-b+1=7,即a-b=6　②,联立①②解得a=2,b=-4。故选C。 (2)已知二次函数y=f(x)图象的顶点坐标为,且方程f(x)=0的两个实根之差的绝对值等于7,则此二次函数的解析式是 f(x)=-4x2-12x+40 。  解析　设f(x)=a+49(a≠0),方程+49=0的两个实根分别为x1,x2,则a<0且|x1-x2|=14=7,可得a=-4,所以f(x)=-4x2-12x+40。 求二次函数解析式的三个策略 1.已知图象上三个点的坐标,宜选用一般式; 2.已知图象的顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式; 3.已知图象与x轴的两交点的坐标,宜选用零点式。 【变式训练】　(1)已知f(x)为二次函数,且f(x)=x2+f'(x)-1,则f(x)=(B) A.x2-2x+1 B.x2+2x+1 C.2x2-2x+1 D.2x2+2x-1 解析　设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b,由f(x)=x2+f'(x)-1可得ax2+bx+c=x2+2ax+(b-1),所以因此,f(x)=x2+2x+1。故选B。 (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)的解析式为 f(x)=x2-4x+3 。  解析　因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图象的对称轴为直线x=2,又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3,设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,所以a=1,所以所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3。 类型三　二次函数的图象及应用 【例2】　(1)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在点(0,2)与点(0,3)之间(包含端点),则下列结论正确的是(A) A.当x>3时,y<0 B.4a+2b+c=0 C.-1<a<- D.3a+b>0 解析　由题意,知a<0,-=1,2≤c≤3,a-b+c=0,函数与x轴的另一交点为(3,0),则x>3时,y<0,A正确;当x=2时,y=4a+2b+c>0,B错误;由-=1,知2a+b=0,又a<0,所以3a+b<0,D错误;由a-b+c=0,b=-2a,得c=-3a,又2≤c≤3,所以-1≤a≤-,C错误。故选A。 (2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是  。  解析　因为函数图象开口向上,所以根据题意只需满足解得-<m<0。 研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向。 【变式训练】　(1)若abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(D) A　　　　B C　　　　D 解析　A中,a<0,b<0,c<0,不符合题意;B中,a<0,b>0,c>0,不符合题意;C中,a>0,b>0,c<0,不符合题意;D中,a>0,b<0,c<0,符合题意。故选D。 (2)(2023·云南省第二次统考)设x1,x2是关于x的方程x2+(a-1)x+a+2=0的两个根。若-1<x1<1,1<x2<2,则实数a的取值范围是(A) A. B. C.(-2,1) D.(-2,-1) 解析　设f(x)=x2+(a-1)x+a+2,因为x2+(a-1)x+a+2=0的两个根分别为x1,x2,且-1<x1<1,1<x2<2,f(-1)=4>0,所以解得-<a<-1。故选A。 类型四　二次函数的性质及应用 【例3】　已知二次函数f(x)=ax2-x+2a-1。 (1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减,求a的取值范围; (2)若a>0,设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式。 解　(1)当a>0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向上,对称轴方程为x=,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需同时满足≥2,a>0,解得0<a≤。当a<0时,f(x)=ax2-x+2a-1的图象开口向下,对称轴方程为x=<0,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0。综上,a的取值范围是(-∞,0)∪。 (2)①当0<<1,即a>时,f(x)在区间[1,2]上单调递增,此时g(a)=f(1)=3a-2。②当1≤≤2,即≤a≤时,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时g(a)=f=2a--1。③当>2,即0<a<时,f(x)在区间[1,2]上单调递减,此时g(a)=f(2)=6a-3。综上所述,g(a)= 二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论。 【变式训练】　(1)函数f(x)=x2-6|x|+8的单调递减区间是 (-∞,-3]和[0,3] 。  解析　由题意,f(x)=x2-6|x|+8=所以当x≥0时,函数f(x)在[0,3]上单调递减,在(3,+∞)上单调递增;当x<0时,函数f(x)在(-∞,-3]上单调递减,在(-3,0)上单调递增。综上,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-3]和[0,3]。 (2)设函数f(x)=-3x2+6x在区间[a,b]上的取值范围是[-9,3],则b-a的取值范围是 [2,4] 。  解析　因为函数f(x)在区间[a,b]上的取值范围是[-9,3],所以令-3x2+6x=-9,解得x=-1或x=3。因为函数f(x)=-3x2+6x图象的对称轴为直线x=1,且f(1)=3,所以b-a的取值范围为[2,4]。 (3)已知函数f(x)=x2+ax+1,若a>-2,求函数y=|f(x)|在[0,1]上的最大值。 解　①当-≤0,即a≥0时,函数y=|f(x)|在[0,1]上单调递增,故ymax=|f(1)|=2+a。②当0<-<1,即-2<a<0时,Δ=a2-4<0,且f(x)的图象开口向上,故ymax=max{f(0),f(1)}=max{1,a+2}=综上所述,ymax= 学科网（北京）股份有限公司 $$