第2章 第3节 第2课时 函数性质的综合应用(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第2课时　函数性质的综合应用 关键能力突破 类型一　单调性与奇偶性 【例1】　(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x)。若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(C) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 解析　易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数,因为奇函数f(x)在R上是增函数,且f(0)=0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增。又3>log25.1>2>20.8,且a=g(-log25.1)=g(log25.1),所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8),即c>a>b。故选C。 (2)函数f(x)是定义域为R的奇函数,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0。则不等式>0的解集为(D) A.(-2,2) B.(-∞,0)∪(0,2) C.(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 解析　 由于f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,又f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,所以f(x)的大致图象如图所示。由f(-x)=-f(x),可得==>0,由于x在分母位置,所以x≠0,当x<0时,只需f(x)<0,由图象可知x<-2;当x>0时,只需f(x)>0,由图象可知x>2。综上,不等式的解集为(-∞,-2)∪(2,+∞)。故选D。 1.比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小。 2.解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组)。 【变式训练】　(1)已知函数f(x)=log2(|x|+1),若f(log2x)<f(2),则实数x的取值范围是(D) A.(1,4) B.∪(4,+∞) C.∪(1,4) D. 解析　依题意,函数f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,则f(log2x)<f(2)等价于|log2x|<2,所以-2<log2x<2,解得<x<4。故选D。 (2)(2024·衡阳模拟)已知函数f(x)=2x-+lg,则(D) A.f(1)+f(-1)<0 B.f(-2)+f(2)>0 C.f(1)-f(-2)<0 D.f(-1)+f(2)>0 解析　由题可知f(x)的定义域为(-3,3),f(-x)=2-x-+lg=-=-f(x),所以f(x)是奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,故A,B错误;又因为f(x)=2x-+lg=2x-+lg,-3<x<3,根据单调性的结论可知f(x)在(-3,3)上单调递增。当x∈(0,3)时,f(x)>0,当x∈(-3,0)时,f(x)<0。所以f(1)-f(-2)=f(1)+f(2)>0,f(-1)+f(2)=f(2)-f(1)>0,故C错误,D正确。故选D。 类型二　奇偶性与周期性 【例2】　已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1)=2,f(1+x)=f(1-x),则f(2 022)+f(2 023)=(C) A.4 B.0 C.-2 D.-4 解析　因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),所以f(2+x)=f(1+(1+x))=f(1-(1+x))=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是周期函数,周期为4,所以f(2 022)+f(2 023)=f(2)+f(3)=-f(0)-f(1)=-2。故选C。 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。 【变式训练】　(1)已知函数f(x)的图象关于原点对称,且周期为4,f(3)=-2,则f(2 025)=(A) A.2 B.0 C.-2 D.-4 解析　依题意,函数f(x)的图象关于原点对称,则函数f(x)是奇函数,又f(x)的周期为4,且f(3)=-2,则有f(2 025)=f(-3+507×4)=f(-3)=-f(3)=2,所以f(2 025)=2。故选A。 (2)(多选题)(2024·湖州模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则(CD) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x+3)是偶函数 D.f(x)=f(x+4) 解析　因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2)。因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2)。所以f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数。因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函数。故选CD。 类型三　周期性与对称性 【例3】　(1)(2023·岳阳模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数,且f(x)的图象关于点(1,0)对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2-2x,则f(1)+f(2)+…+f(2 023)的值为(C) A.-2 B.1 C.-1 D.2 解析　因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)=f(x)。又f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(x)=-f(2-x),所以f(-x)=-f(2-x),则f(x)=-f(2+x),得f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数。当x∈[0,1]时,f(x)=2-2x,则f(4)=f(0)=1,f(1)=0,f(2)=-f(0)=-1,f(3)=f(-3)=f(1)=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则f(1)+f(2)+…+f(2 023)=f(1)+f(2)+f(3)+505×0=-1。故选C。 (2)(多选题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上单调递增。则下列命题正确的是(ABD) A.f(x)是周期函数 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)在[1,2]上单调递增 D.f(2)=f(0) 解析　因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4,即f(x)是周期函数,故A正确;因为f(x+2)=-f(x),所以f(-x+2)=-f(-x),又因为f(x)为奇函数,所以f(2-x)=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故B正确;因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又因为f(x)在[-1,0]上单调递增,所以f(x)在[0,1]上单调递增,因为f(x)关于直线x=1对称,所以f(x)在[1,2]上单调递减,故C错误;因为f(x+2)=-f(x),令x=0,得f(2)=-f(0)=f(0),故D正确。故选ABD。 解决此类问题的难点在于推出函数的周期性并能应用,事实上,对于函数的对称轴、对称中心和周期,知道其中两个即可推得第三个。 【变式训练】　(多选题)已知f(x)是定义域为R的函数,满足f(x+1)=f(x-3),f(1+x)=f(3-x),当0≤x≤2时,f(x)=x2-x,则下列说法正确的是(ABC) A.f(x)的周期为4 B.f(x)的图象关于直线x=2对称 C.当0≤x≤4时,函数f(x)的最大值为2 D.当6≤x≤8时,函数f(x)的最小值为- 解析　对于A,因为f(x+1)=f(x-3),所以f(x+3+1)=f(x+3-3),即f(x+4)=f(x),f(x)的周期为4,故A正确;对于B,由f(1+x)=f(3-x)知f(x)的图象关于直线x=2对称,故B正确;对于C,当0≤x≤2时,f(x)=x2-x在上单调递减,在上单调递增,根据对称性可知,函数f(x)在,上单调递减,在,上单调递增,则函数f(x)在[0,4]上的最大值为f(2)=4-2=2,故C正确;对于D,根据周期性以及单调性可知,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,则函数f(x)在[6,8]上的最小值为f=f=f=f=-=-,故D错误。故选ABC。 双对称推导周期 1.若函数f(x)的图象关于直线x=a,x=b都对称,则f(x)为周期函数且2|b-a|是它的一个周期。 特别地:若偶函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(x)为周期函数,且2|a|是它的一个周期。 2.函数f(x)(x∈R)的图象关于两点A(a,y0),B(b,y0)都对称,则函数f(x)是以2|b-a|为周期的周期函数。 特别地:若奇函数f(x)的图象关于A(a,0)对称,则f(x)为周期函数,且2|a|是它的一个周期。 3.函数f(x)(x∈R)的图象关于点A(a,y0)和直线x=b都对称,则函数f(x)是以4|b-a|为周期的周期函数。 特别地:若奇函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则y=f(x)为周期函数,且4|a|是它的一个周期。 【典例1】　设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=1+x,则f(8.6)=　　　　。  【解析】　由已知得f(x)的图象关于x=0和x=1对称,故f(x)的周期为2,所以f(8.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.4。 【答案】　0.4 【典例2】　设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=　　　　。  【解析】　解法一:由f(x)是定义在R上的奇函数且f(x+2)=-f(x),得f(x+1)=f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(1-x),故f(x)的图象关于x=1对称,也关于原点对称,所以f(x)的周期T=4×(1-0)=4,其图象如图。 所以f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5。 解法二:由f(x+2)=-f(x),得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期T=4。以下同解法一。 【答案】　-0.5 【训练】　(2024·东北三省三校联考)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b。若f(0)+f(3)=6,则f=(D) A.- B.- C. D. 解析　由于f(x+1)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,即有f(x)+f(2-x)=0,所以f(1)+f(2-1)=0,得f(1)=0,即a+b=0　①。由于f(x+2)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,即有f(x)-f(4-x)=0,所以f(0)+f(3)=-f(2)+f(1)=-4a-b+a+b=-3a=6　②。根据①②可得a=-2,b=2,所以当x∈[1,2]时,f(x)=-2x2+2。根据函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且关于点(1,0)对称,可得函数f(x)的周期为4,所以f=f=-f=2×-2=。故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $$