第2章 第3节 第1课时 函数的奇偶性、对称性、周期性(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第三节　函数的奇偶性与周期性 【课程标准】　1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义;2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性;3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性。 第1课时　函数的奇偶性、对称性、周期性 主干知识整合 　　　　　 【基础梳理】 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 　　2.周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。 (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 【知识延伸】 1.奇(偶)函数定义的等价形式 (1)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数; (2)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数。 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。 3.函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0)。 (2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0)。 (3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0)。 【小题自测】 1.(多选题)给出下列函数,其中是奇函数的为(BC) A.f(x)=x4 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= 解析　对于f(x)=x4,f(x)的定义域为R,由f(-x)=(-x)4=x4=f(x),可知f(x)=x4是偶函数,同理可知f(x)=x5,f(x)=x+是奇函数,f(x)=是偶函数。故选BC。 2.若偶函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上(A) A.单调递增,且有最小值f(1) B.单调递增,且有最大值f(1) C.单调递减,且有最小值f(2) D.单调递减,且有最大值f(2) 解析　偶函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则由偶函数的图象关于y轴对称,知f(x)在[1,2]上单调递增,即有最小值为f(1),最大值为f(2)。故选A。 3.(教材改编)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)= -2 。  解析　f(1)=1×2=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2。 4.已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x)。当x∈[0,2]时,f(x)=x2+4,则f(2 024)= 8 。  解析　因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2 024)=f(674×3+2)=f(2)=22+4=8。 5.若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称;若函数y=g(x+b)是奇函数,则函数y=g(x)的图象关于点 (b,0) 对称。  解析　因为y=f(x+a)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,将y=f(x+a)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|个单位长度,得到函数y=f(x)的图象,则y=f(x+a)图象的对称轴平移至直线x=a处,即函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。同理,函数y=g(x)的图象关于点(b,0)对称。 关键能力突破 　　　　　 类型一　函数的奇偶性 微专题 角度❶:函数奇偶性的判断 【例1】　判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)= (3)f(x)=log2(x+)。 解　(1)由得x2=3,解得x=±,即函数f(x)的定义域为{-,},从而f(x)=+=0。因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数。 (2)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称。因为当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x)。综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,所以函数f(x)为奇函数。 (3)显然函数f(x)的定义域为R,f(-x)=log2[-x+]=log2(-x)=log2(+x)-1=-log2(+x)=-f(x),故f(x)为奇函数。 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件 1.定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数。 2.判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立。 角度❷:奇偶性的应用 【例2】　(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R,当x>0时,f(x)=x+1,则当x<0时,f(x)= x-1 。  解析　当x<0时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1。 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)·ln为偶函数,则a=(B) A.-1 B.0 C. D.1 解析　因为f(x)为偶函数,则f(1)=f(-1),所以(1+a)ln =(-1+a)ln 3,解得a=0。当a=0时,f(x)=xln ,由(2x-1)(2x+1)>0,解得x>或x<-,则其定义域为,关于原点对称。f(-x)=(-x)ln=(-x)ln=(-x)ln=xln=f(x),故此时f(x)为偶函数。故选B。 利用函数的奇偶性可以解决以下问题 1.求函数值:将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值。 2.求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上,再利用奇偶性的定义求出。 3.求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得方程(组),进而得出参数的值。 【题组对点练】　 题号 1 2 3 角度 ❶ ❷ ❷ 1.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(B) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 解析　解法一:因为f(x)=,所以f(x-1)==,f(x+1)==。对于A,F(x)=f(x-1)-1=-1=,定义域关于原点对称,但不满足F(x)=-F(-x);对于B,G(x)=f(x-1)+1=+1=,定义域关于原点对称,且满足G(x)=-G(-x);对于C,f(x+1)-1=-1==-,定义域不关于原点对称;对于D,f(x+1)+1=+1==,定义域不关于原点对称。故选B。 解法二:f(x)===-1,为保证函数变换之后为奇函数,需将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的图象对应的函数为y=f(x-1)+1。故选B。 2.已知f(x)=ax5+bx3+cx-9,且f(-3)=12,那么f(3)=(A) A.-30 B.-40 C.30 D.40 解析　设g(x)=ax5+bx3+cx,则f(x)=g(x)-9,易得g(x)的定义域为R,又g(-x)=a(-x)5+b(-x)3+c(-x)=-ax5-bx3-cx=-g(x),所以函数g(x)为奇函数。又因为f(-3)=12,即g(-3)-9=12,可得g(-3)=21,所以g(3)=-21,则f(3)=g(3)-9=-21-9=-30。故选A。 3.(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数,则a=(D) A.-2 B. -1 C.1 D. 2 解析　由题意可得f(x)的定义域为{x|x≠0}且a≠0。因为f(x)=为偶函数,则f(x)-f(-x)=-==0,又因为x≠0,可得ex-e(a-1)x=0,即ex=e(a-1)x,则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2。故选D。 类型二　函数的周期性 【例3】　(1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=-f(x),且当1≤x≤2时,f(x)=x-1,则f的值等于(D) A. B. C. D.- 解析　因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),又因为f(2-x)=-f(x),所以f(2-x)=-f(-x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f=f=f=f=-f=-f=-。故选D。 (2)(2024·金华调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)= 340 。  解析　因为f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期T=6,于是f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-(-3+2)2=-1,f(4)=f(-2)=-(-2+2)2=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1,而2 024=6×337+2,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 024)=337×1+1+2=340。 1.求解与函数周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期。 2.利用函数的周期性,可将其他区间的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题。 【变式训练】　(1)已知f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),且f(x)在区间[0,2)上单调递增,则f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系是(D) A.f(-1)<f(0)<f(-6.5) B.f(-6.5)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) D.f(0)<f(-1)<f(-6.5) 解析　因为f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,所以f(-6.5)=f(1.5),f(-1)=f(1)。因为f(x)在区间[0,2)上单调递增,所以f(0)<f(1)<f(1.5),即f(0)<f(-1)<f(-6.5)。故选D。 (2)已知f(x)是定义在R上的函数,并且f(x+3)=-,当1<x≤3时,f(x)=cos,则f(2 024)= - 。  解析　由已知可得f(x+6)=f((x+3)+3)=-=-=f(x),故函数f(x)的周期为6,所以f(2 024)=f(6×337+2)=f(2)。又f(2)=cos=-,所以f(2 024)=-。 函数对称性的拓广结论 【源于教材】　(人教A版必修第一册第87页第13题)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数。 (1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心; (2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论。 由本题可以得到两个结论: 结论❶:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数; 结论❷:函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(x+a)是偶函数。 将上述结论进一步延伸,我们又可以得到如下内容: 【结论❶推广】　函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的充要条件是f(a+x)+f(a-x)=2b。关系式f(a+x)+f(a-x)=2b也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b。特别地:f(a+x)+f(a-x)=0,函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称。 【典例1】　(1)(多选题)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,则下列说法正确的是(ABC) A.f(x)=f(-x) B.f(2+x)+f(2-x)=0 C.f(-x)=-f(x+4) D.f(x+2)=f(x-2) 解析　因为f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),故A正确;因为f(x)的图象关于点(2,0)对称,对于f(x)的图象上的点(x,y)关于(2,0)的对称点(4-x,-y)也在函数图象上,即f(4-x)=-y=-f(x),用2+x替换x,得到f[4-(2+x)]=-f(2+x),即f(2+x)+f(2-x)=0,故B正确;由f(2+x)+f(2-x)=0,用x+2替换x,可得f(x+4)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x+4),故C正确;由B知,f(2+x)=-f(2-x)=-f(x-2),故D错误。故选ABC。 (2)已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=2,g(x)=+1,y=f(x)与y=g(x)有4个交点,则这4个交点的纵坐标之和为 4 。  解析　因为f(x)+f(-x)=2,所以y=f(x)的图象关于点(0,1)对称,又y=g(x)=+1的图象也关于点(0,1)对称,则交点关于(0,1)对称,所以4个交点的纵坐标之和为2×2=4。 思考题1(1)函数f(x)=ex-2-e2-x的图象关于(C) A.点(-2,0)对称 B.直线x=-2对称 C.点(2,0)对称 D.直线x=2对称 解析　解法一:因为f(x)+f(4-x)=(ex-2-e2-x)+(e2-x-ex-2)=0,所以f(x)关于点(2,0)对称,故选C。 解法二:f(x)向左平移2个单位得g(x)=ex-e-x,又g(x)=-g(-x),所以g(x)是奇函数,关于点(0,0)对称,所以f(x)关于点(2,0)对称,故选C。 (2)若函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=-2,则下列函数中为奇函数的是(D) A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 解析　因为f(2-x)+f(x)=-2,所以f(x)关于点(1,-1)对称,所以将f(x)向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x+1)+1,该函数的对称中心为(0,0),故y=f(x+1)+1为奇函数。故选D。 【结论❷推广】　函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)。关系式f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x)。若写成f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x==对称。 【典例2】　(1)已知函数f(x)=sin x+,则(D) A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称 解析　因为sin x可以为负,所以A错;因为sin x≠0,所以x≠kπ(k∈Z),因为f(-x)=-sin x-=-f(x),所以f(x)关于原点对称,故B错;因为f(2π-x)=-sin x-≠f(x),f(π-x)=sin x+=f(x);所以f(x)关于直线x=对称,故C错,D对。故选D。 (2)(2024·广州市调研)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)+f(x-1)=2,f(x+2)为偶函数,若f(0)=2,则f(k)=(C) A.116 B.115 C.114 D.113 解析　因为f(x+2)为偶函数,所以y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(x+2)=f(-x+2)。又f(x+1)+f(x-1)=2,所以f(x+2)+f(x)=2,所以f(-x+2)+f(x)=2,所以y=f(x)的图象关于点(1,1)对称,所以f(x)的周期为4×|2-1|=4。因为f(0)=2,f(x+2)+f(x)=2,所以令x=0,得f(2)=0,令x=1,得f(1)+f(3)=2,令x=2,得f(2)+f(4)=2,又115=28×4+3,所以f(k)=28×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)+f(3)=28×4+2=114。故选C。 思考题2已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则xi=(B) A.0 B.m C.2m D.4m 解析　根据f(x)=f(2-x),可知f(x)的图象关于直线x=1对称,而y=|x2-2x-3|的图象也关于直线x=1对称,因而它们的交点也关于直线x=1对称,每一组对称点的横坐标有xi+x'i=2×1,则xi=×(2xi)=(xi+x'i)=×2×m=m。故选B。 【推广结论】　(1)f(a+x)=f(a-x)⇒f'(a+x)=-f'(a-x),即若y=f(x)关于直线x=a对称,则y=f'(x)关于点(a,0)对称。 (2)f(a+x)=-f(a-x)+2b⇒f'(a+x)=f'(a-x),即若y=f(x)关于点(a,b)对称,则y=f'(x)关于直线x=a对称。 【典例3】　(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x)。若f,g(2+x)均为偶函数,则(BC) A.f(0)=0 B.g=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) 解析　设函数h(x)=f,则h(x)为偶函数,从而h(-x)=h(x),于是f=f,即f=f,函数f(x)的图象关于直线x=对称,因此f(-1)=f(4),故选项C正确。由函数f(x)的图象关于直线x=对称,得g(x)的图象关于对称,则g=0,由g(2+x)是偶函数,得g(x)的图象关于x=2对称,所以g(x)的周期T=4×=2,所以g=g=0,选项B正确。由g(x)的周期T=2,且关于对称,所以g(-1)=g(1),g(1)=-g(2),所以g(-1)=-g(2),选项D错误。取特殊函数f(x)=1(x∈R)满足已知条件,所以选项A不正确。故选BC。 思考题3已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记函数g(x)=f'(x),若函数f(x)的图象关于点(3,0)中心对称,g为偶函数,且g(1)=2,g(3)=-3,则g(k)= 678 。  解析　因为f(x)的图象关于点(3,0)中心对称,则f(3+x)=-f(3-x)⇒f'(3+x)=f'(3-x)⇒g(3+x)=g(3-x),因为g为偶函数,根据函数的伸缩变化可知g也是偶函数,所以g=g⇒g(x+3)=g(-x)。则g(3-x)=g(-x),即g(3+x)=g(x),g(x)的一个周期为3。令x=,由g=g可得g(2)=g(1)=2,注意到2 024=674×3+2,则g(k)=674×[g(1)+g(2)+g(3)]+g(2 023)+g(2 024)=674+g(1)+g(2)=678。 学科网（北京）股份有限公司 $$