第2章 第2节 函数的单调性与最值(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第二节　函数的单调性与最值 【课程标准】　借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义。 主干知识整合 　　　　　 【基础梳理】 1.函数的单调性 (1)增函数、减函数 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I⊆D:如果∀x1,x2∈I,当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增。特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,就称它是增函数 都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减。特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,就称它是减函数 图像 描述 　　(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间。 [微点清]　①求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域;②一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接;③函数在某个区间上是单调函数,但在整个定义域上不一定是单调函数。 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D,都有f(x)≤M; ∃x0∈D,使得f(x0)=M ∀x∈D,都有f(x)≥M; ∃x0∈D,使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 【知识延伸】 1.∀x1,x2∈I且x1≠x2,有>0(<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减)。 2.在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数。 3.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反。 4.复合函数的单调性:同增异减。 【小题自测】 1.(多选题)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是(AB) A.y=- B.y= C.y=2-x D.y=lo(x+1) 解析　对于A,y=-在(-1,+∞)上单调递增,符合题意;对于B,y=在R上单调递增,符合题意;对于C,y=2-x=在R上单调递减,不符合题意;对于D,y=lo(x+1)在(-1,+∞)上单调递减,不符合题意。故选AB。 2.已知函数f(x)的定义域为R,设甲:f(x)在[0,2]上单调递增,乙:f(x)满足f(1)<f(2),则甲是乙的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若函数f(x)的定义域为R,f(x)在[0,2]上单调递增,则f(x)满足f(1)<f(2),所以甲是乙的充分条件;因为f(x)仅满足f(1)<f(2),并不满足单调性定义中的“任意性”要求,所以f(x)在[0,2]上不一定单调递增,故甲不是乙的必要条件。综上所述,甲是乙的充分不必要条件。故选A。 3.对于任意的实数x,已知函数f(x)=则f(x)的最大值为(C) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析　因为f(x)=函数图象如图所示,由函数图象可知,当x=1时,函数取得最大值f(x)max=f(1)=1。故选C。 4.(教材改编)已知函数f(x)=(x∈[2,6]),则f(x)的最小值为  ,最大值为 2 。  解析　由于f(x)=在[2,6]上单调递减,故f(x)的最大值为f(2)=2,最小值为f(6)=。 5.函数y=lo(x2+2x-3)的单调递增区间是 (-∞,-3) 。  解析　由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,即函数的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞)。令t=x2+2x-3,则y=lot,因为y=lot为减函数,t=x2+2x-3在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数y=lo(x2+2x-3)的单调递增区间为(-∞,-3)。 关键能力突破 类型一　确定函数的单调性(区间) 自练自悟 1.下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(A) A.y=2-x B.y=|x| C.y=ln(x+1) D.y=cos x 解析　由于y=2-x=在区间(-1,1)上为减函数,故A正确;y=|x|在区间(-1,0)上单调递减,在区间[0,1)上单调递增,故B错误;y=ln(x+1)在区间(-1,1)上单调递增,故C错误;由余弦函数的图象和性质,可得y=cos x在区间(-1,0)上单调递增,在区间[0,1)上单调递减,故D错误。故选A。 2.函数f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)的单调递减区间是(A) A.(3,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-∞,-1) 解析　由已知易得即x>3,f(x)=log0.5(x+1)+log0.5(x-3)=log0.5[(x+1)(x-3)],其定义域为(3,+∞)。令t=(x+1)(x-3),则函数t在区间(3,+∞)上单调递增。又0<0.5<1,所以f(x)在区间(3,+∞)上单调递减。故选A。 3.函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是 [1,2] 。  解析　 f(x)=画出f(x)的大致图象(如图所示),由图知f(x)的单调递减区间是[1,2]。 4.函数y=的单调递减区间是 (-∞,-1),(-1,+∞) 。  解析　因为y==-1+,故其单调递减区间为(-∞,-1),(-1,+∞)。 5.函数y=+的最小值是 2 。  解析　由得x≥0。又函数y=+在[0,+∞)上是增函数,所以函数的最小值为+=2。 函数单调性的判断方法有:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法。 类型二　函数单调性的判断与证明 【例1】　试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性。 解　解法一:设-1<x1<x2<1,f(x)=a=a,则f(x1)-f(x2)=a-a=,由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增。 解法二:f'(x)===-。当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增。 函数单调性的判断、证明方法 1.用定义法证明函数单调性的一般步骤为:设元、作差、变形、判断符号、得出结论。 2.导数法:利用导数值的正负确定函数的单调区间。 【变式训练】　判断函数f(x)=在区间[1,+∞)上的单调性,并利用单调性的定义证明你的结论。 解　函数f(x)=在区间[1,+∞)上单调递减。证明如下:设任意x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-==。因为x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,所以x1-x2<0,1-x1x2<0。又(1+)(1+)>0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)=在[1,+∞)上单调递减。 类型三　函数单调性的应用 微专题 角度❶:比较大小 【例2】　(2024·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数,对任意x1,x2∈(-∞,0),均有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,若a=f(ln),b=f(),c=f(),则a,b,c的大小关系是(B) A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b 解析　因为对任意x1,x2∈(-∞,0),均有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0成立,所以函数在区间(-∞,0)上单调递减,因为f(x)是偶函数,所以当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,又y=在x∈(0,+∞)上单调递增,所以1<<,又0<ln <1,所以ln <<,所以f(ln )<f<f,即a<c<b。故选B。 利用函数的单调性比较大小的方法 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用函数的性质,将自变量的值转化到同一个单调区间上再进行比较,或采用插值法比较大小。 角度❷:解不等式 【例3】　(1)已知函数f(x)=则不等式f(2a+1)>f(3a-4)的解集为(D) A. B. C.(-∞,5) D.(5,+∞) 解析　因为f(x)=所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以2a+1<3a-4,解得a>5。故选D。 (2)(2023·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=ln x+ex-sin x,则不等式f(x-1)≤f(1)的解集为 (1,2] 。  解析　f(x)的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=+ex-cos x。因为x>0,所以ex>1,所以f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x-1)≤f(1),所以0<x-1≤1,即1<x≤2,则原不等式的解集为(1,2]。 利用函数单调性解不等式的具体步骤 1.将函数不等式转化为f(x1)>f(x2)的形式。 2.确定函数f(x)的单调性。 3.根据函数f(x)的单调性去掉对应关系“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的不等式,从而得解。 角度❸:求函数的最值与参数范围 【例4】　(1)函数f(x)=-ln(4-x)在x∈[1,3]上的最大值为  。  解析　y==x-在[1,3]上单调递增,y=ln(4-x)在[1,3]上单调递减,所以f(x)在[1,3]上单调递增,所以f(x)max=f(3)=-0=。 (2)已知函数f(x)=满足对任意的实数x1,x2且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,则实数a的取值范围为  。  解析　由题易知,对任意的实数x1,x2且x1≠x2,都有<0成立,则函数f(x)是减函数,从而可得解得a∈。 1.利用函数单调性求最值:先确定函数的单调性,再由单调性求最值。 2.利用单调性求参数的取值(范围):根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结合图象求解。对于分段函数,要注意衔接点的取值。 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 角度 ❶ ❷ ❸ ❸ 1.设函数f(x)=+x2,若a=f(ln 3),b=f(-log52),c=f(e为自然对数的底数),则(D) A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 解析　由题意知f(-x)=f(x),所以f(x)是R上的偶函数,当x>0时,f(x)=+x2单调递增,则b=f(-log52)=f(log52),又ln 3>1,0<log52<log5=,1>>,即ln 3>>log52,则f(ln 3)>f>f(log52),即f(ln 3)>f>f(-log52),故a>c>b,故选D。 2.已知函数f(x)=-log2x,则不等式f(x)>0的解集是(D) A.(0,1) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(0,2) 解析　f(x)=-log2x的定义域为(0,+∞),且函数y=和y=-log2x在(0,+∞)上均为减函数,所以f(x)=-log2x在(0,+∞)上单调递减。又f(2)=-log22=0,所以不等式f(x)>0的解集是(0,2)。故选D。 3.(2023·张家口二模)函数f(x)=+的最小值为 1 。  解析　由得函数f(x)的定义域为(-∞,0]∪[2,+∞)。y=x2-4x+4在(-∞,0]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,y=2x在R上单调递增,故y=在(-∞,0]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,又y=在(-∞,0]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增。因为f(0)=4,f(2)=1,所以函数f(x)的最小值为1。 4.已知函数f(x)=若f(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 (1,2] 。  解析　由题意,得12+a-2≤0,则a≤2,又y=ax-a(x>1)是增函数,故a>1,所以a的取值范围为(1,2]。 由教材引出的三类函数及应用 一、对勾函数 【源于教材】　(人教A版必修第一册)第79页例3中“根据定义证明函数y=x+在区间(1,+∞)上单调递增”,第92页的“探究与发现”呈现了对勾函数的图象与性质。 【拓展】　(1)对勾函数的定义与图象 对勾函数是指形如:y=ax+(ab>0)的一类函数,因其图象形态极像对勾,因此被称为“对勾函数”,又被称为“双勾函数”“勾函数”“耐克函数”或“耐克曲线”。以y=ax+(a>0,b>0)为例,其图象如图所示。 (2)对勾函数y=ax+(a>0,b>0)的性质 ①定义域:(-∞,0)∪(0,+∞)。 ②值域:(-∞,-2]∪[2,+∞)。 ③奇偶性:在定义域内为奇函数。 ④单调性:,上是增函数;,上是减函数。 (3)y=ax+(a>0,b>0)的单调区间的分界点:±。求分界点方法:令ax=⇒x=±。特殊的,a>0时,y=x+的单调区间的分界点:±。 【典例1】　(1)已知函数f(x)=,则函数f(x)的值域是  ;  解析　 f(x)==+,令t=,则t≥2,且y=t+,图象如图所示。因为y=t+在[2,+∞)上单调递增,所以y≥2+=。 (2)已知函数f(x)=,x∈[2,+∞),则函数f(x)的值域是  。  解析　f(x)=(x≥2),令g(x)=x+(x≥2),则g(x)在[2,+∞)上单调递增,所以g(x)≥3,所以f(x)=≤,且f(x)>0。故所求函数f(x)的值域为。 思考题1(1)(2024·安庆市模拟)函数f(x)=x+在区间上的最大值为(B) A. B. C.3 D.4 解析　设t=x+1,则t∈,问题转化为求函数g(t)=t+-1在区间上的最大值。根据对勾函数的性质,得函数g(t)在区间上单调递减,在区间(2,3]上单调递增,所以g(t)max=max=max=。故选B。 (2)关于函数f(x)=lg有下列命题: ①其图象关于y轴对称; ②函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减; ③函数f(x)的最小值为lg 2; ④函数f(x)在(-1,0),(2,+∞)上单调递增。 其中所有正确结论的序号是 ①③④ 。  解析　 函数的定义域为{x|x≠0}。又有f(-x)=f(x),所以函数为偶函数,所以函数图象关于y轴对称,所以①正确。当x>0时,可令g(x)==x+,再根据对称性,可以画出g(x)图象,如图,g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以由复合函数单调性可知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增。由函数对称性,f(x)在(-1,0)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减,所以②不正确,④正确。又因为函数g(x)的最小值为2,所以f(x)的最小值为lg 2,所以③正确。 二、飘带函数 【源于教材】　(人教A版必修第一册第101页第12题)试讨论函数y=x-的定义域、值域、单调性、奇偶性,并画出函数图象。 【拓展】　(1)飘带函数的定义与图象 飘带函数是指形如:y=ax+(ab<0)的一类函数,因其图象形态极像随风飘舞的“飘带”,故而叫做飘带函数。以y=ax+(a>0,b<0)为例,其图象如图所示。 (2)函数y=ax+(a>0,b<0)的性质: ①定义域:(-∞,0)∪(0,+∞); ②值域:R; ③奇偶性:奇函数; ④单调性:(-∞,0),(0,+∞)单调递增; ⑤渐近线:y=ax与x=0。 【典例2】　已知函数f(x)=3x-,x∈[1,2],则函数f(x)的值域是  。  解析　令t=3x∈[3,9],则y=t-在[3,9]上单调递增,所以y∈。 思考题2设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数,e是自然对数的底数),若f(x)是奇函数,则a= -1 ,若f(x)在R上单调递增,则a的取值范围是 (-∞,0] 。  解析　若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),即e-x+aex=-(ex+ae-x),即(a+1)(ex+e-x)=0,对任意的x恒成立,所以a+1=0,a=-1(也可利用特殊值f(0)=0求得a=-1)。令t=ex,则f(x)=y=t+(t>0),当a>0时,由对勾函数的性质知不成立;当a=0时,f(x)=ex是R上的增函数,符合题意;当a<0时,函数y=t+是飘带函数,由飘带函数的性质知y=t+在(0,+∞)上单调递增,又t=ex也是增函数,由复合函数的性质知f(x)=ex+ae-x是R上的增函数。综上所述,a的取值范围是(-∞,0]。 三、双曲函数(分式一次型函数) 【源于教材】　(人教A版必修第一册第81页例5)已知函数f(x)=(x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值。 【拓展】　(1)双曲函数(分式一次型函数)的定义与图象 双曲函数是指形如:y=(c≠0)的函数称为分式型函数,通过分离常数可转化成y=m+(t≠0)的形式,故它的图象可由反比例函数y=(t≠0)的图象通过平移得到,其形状与反比例函数y=(t≠0)的图象的形状一样,都是双曲线。故又称其为“双曲函数”。 (2)双曲函数(分式一次型函数)的性质: ①对称中心:(-n,m); ②定义域:{x|x≠-n}; ③值域:{y|y≠m}; ④当t>0时,函数在(-∞,-n)和(-n,+∞)上单调递减; ⑤当t<0时,函数在(-∞,-n)和(-n,+∞)上单调递增。 【典例3】　画出函数y=的图象,写出函数的单调区间,并求出函数在区间[-1,2]上的值域。 解　 y===-2-。设f(x)=,则y==f(x-3)-2。根据平移变换的规则知,将函数f(x)=的图象先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,即得函数y=的图象,如图所示。由图象知,其单调递增区间是(-∞,3)和(3,+∞)。由于函数在[-1,2]上单调递增,且y|x=-1=-,y|x=2=1,所以其值域是。 思考题3若函数f(x)=,在(-∞,-1)上是减函数,则a的取值范围是 (-∞,-1) 。  解析　因为f(x)==1+在(-∞,-1)上是减函数,所以即a<-1。 学科网（北京）股份有限公司 $$