第2章 第1节 函数的概念及其表示(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第二章　函数与基本初等函数 第一节　函数的概念及其表示 【课程标准】　1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如解析法、列表法、图象法)表示函数,理解函数图象的作用;3.了解简单的分段函数,并能简单应用。 主干知识整合 　　　　　 【基础梳理】 1.函数的有关概念 (1)函数的概念 [微点清]　(1)在函数定义中,集合B不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合B的子集;(2)若两函数的值域与对应关系相同,则两函数不一定相同,如:y=x2(x≥0)与y=x2。 (2)函数的表示法 表示函数的常用方法:解析法、列表法、图象法。 2.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数。 [微点清]　分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集。 【知识延伸】 1.直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点。 2.在函数的3种表示法中,不是所有函数都能用3种方法表示。 3.注意以下几种特殊函数的定义域: (1)f(x)为分式型函数时,函数的定义域是满足分母不为零的实数集合。 (2)f(x)为偶次方根型函数时,函数的定义域是满足被开方式非负的实数集合。 (3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合。 (4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}。 【小题自测】 1.若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是(B) ABCD 解析　A中函数定义域不是[-2,2];C中图象不表示函数;D中函数值域不是[0,2]。故选B。 2.已知函数f(x)=则f=(D) A.-1 B.2 C. D. 解析　因为f=log3<0,所以f=f==。故选D。 3.函数f(x)=+ln x的定义域是 (0,+∞) 。  解析　要使函数有意义,需满足所以函数的定义域为(0,+∞)。 4.设函数f(x)=则使得f(x)≥2的自变量x的取值范围为 (-∞,-1]∪(0,1] 。  解析　因为f(x)是分段函数,所以f(x)≥2应分段求解。当x≤0时,f(x)≥2即为x2+1≥2,解得x≤-1或x≥1,所以x≤-1。当x>0时,f(x)≥2即为-x+3≥2,即x≤1,所以0<x≤1。综上所述,x∈(-∞,-1]∪(0,1]。 5.已知函数f(x)=则f(x)的值域为 (0,1)∪[2,+∞) 。  解析　当x≤1时,f(x)=x2+2,所以f(x)∈[2,+∞);当x>1时,f(x)=,所以f(x)∈(0,1)。综上,f(x)的值域为(0,1)∪[2,+∞)。 关键能力突破 　　　　　 类型一　函数的概念 自练自悟 1.已知集合A={x|-2<x≤1},B={x|0<x≤4},则下列对应关系中是从集合A到集合B的函数是(B) A.f:x→y=x+1 B.f:x→y=ex C.f:x→y=x2 D.f:x→y=|x| 解析　对于A,当x=-1时,由f:x→y=x+1,得y=0,但0∉B,故A错误;对于B,因为从A={x|-2<x≤1}中任取一个元素,通过f:x→y=ex在B={x|0<x≤4}中都有唯一的元素与之对应,故B正确;对于C,当x=0时,由f:x→y=x2,得y=0,但0∉B,故C错误;对于D,当x=0时,由f:x→y=|x|,得y=0,但0∉B,故D错误。故选B。 2.(多选题)下列各图中,能表示函数y=f(x)的图象的是(ACD) A　　　B C　　　D 解析　选项B中图象,对于x≠0的一个x值,有两个y值与之对应,故不是函数图象;选项A,C,D中图象,均满足函数定义,故是函数图象。故选ACD。 3.(多选题)下列各组函数是同一函数的为(AC) A.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1 B.f(x)=x-1,g(x)= C.f(x)=,g(x)= D.f(x)=,g(x)=x 解析　同一函数需满足:①定义域相同;②对应关系相同,只有A、C满足。故选AC。 1.函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B中有可能存在与A中元素不对应的元素。 2.构成函数的三要素中,若定义域和对应关系相同,则值域一定相同。 类型二　函数的定义域 【例1】　(1)函数y=的定义域为(C) A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1] 解析　由题意得解得-1<x<1,故定义域为(-1,1)。故选C。 (2)已知函数f(x)的定义域为(-4,-2),则函数g(x)=f(x-1)+的定义域为 [-2,-1) 。  解析　因为f(x)的定义域为(-4,-2),要使g(x)=f(x-1)+有意义,则解得-2≤x<-1,所以函数g(x)的定义域为[-2,-1)。 1.无论抽象函数的形式如何,已知定义域还是求定义域,均是指其中的x的取值集合。 2.若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出。 3.若复合函数f(g(x))的定义域为[a,b],则函数f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域。 【变式训练】　(1)函数f(x)=+的定义域为(B) A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3] C.(1,3)∪(3,+∞) D.(-∞,3) 解析　由题意知所以1<x<2或2<x≤3,所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]。故选B。 (2)已知函数f(x)的定义域为[-1,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为(D) A.[0,1] B.[-1,0] C. D. 解析　由题意得解得-≤x≤0,即函数g(x)的定义域为。故选D。 类型三　函数的解析式 微专题 角度❶:求函数的解析式 【例2】　(1)已知f(1-sin x)=cos2x,则f(x)= 2x-x2,x∈[0,2] ;  解析　(换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2],则sin x=1-t,因为f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x,所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]。即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]。 (2)已知f=x2+,则f(x)= x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) ;  解析　(配凑法)因为f=x2+=-2,所以f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞)。 (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)= 2x+7 。  解析　待定系数法:因为f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0),所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17,即ax+(5a+b)=2x+17,所以所以f(x)的解析式是f(x)=2x+7。 函数解析式的求法 (1)配凑法;(2)待定系数法;(3)换元法;(4)解方程组法。 角度❷:抽象函数 【例3】　(多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(ABC) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 解析　对于选项A,令x=0,y=0,得f(0)=0,所以A项正确;对于选项B,令x=1,y=1,得f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1)⇒f(1)=0,所以B项正确;对于选项C,令x=-1,y=-1,得f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1)⇒f(-1)=0,再令x=-1,y=x,得f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x)⇒f(-x)=f(x),所以C项正确;对于选项D,由于f(0)=0,且函数f(x)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称,所以x=0可能为函数f(x)的极小值点,也可能为函数f(x)的极大值点,也可能不是函数f(x)的极值点,所以D项错误。故选ABC。 抽象函数求值要根据题意恰当地赋值,有时也可以找出符合题意的具体函数求解相关问题,比如f(x+y)=f(x)f(y),可以设f(x)=ax(a>0,且a≠1)。 【题组对点练】　 题号 1 2 3 角度 ❶ ❶ ❷ 1.已知f(+1)=x-2,则f(x)= x2-4x+3(x≥1) 。  解析　解法一(换元法):令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2,代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1)。 解法二(配凑法):f(+1)=x+2+1-4-4+3=(+1)2-4(+1)+3,因为+1≥1,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1)。 2.已知f(x)+3f(-x)=2x+1,则f(x)= -x+ 。  解析　由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1,解方程组得f(x)=-x+。 3.(2024·东北三省四市联合体模拟)已知对于每一对正实数x,y,函数f(x)满足:f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,若f(1)=1,则满足f(n)=n(n∈N)的n的个数是(A) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　令y=1,则f(x+1)=f(x)+x+2,即f(x+1)-f(x)=x+2,所以f(x)-f(x-1)=x+1,f(x-1)-f(x-2)=x,…,f(2)-f(1)=3,累加得f(x)-f(1)=,则f(x)=-1,所以f(n)=-1,又f(n)=n,所以解得n=-2或n=1,又n∈N,所以n=1。故选A。 类型四　分段函数 微专题 角度❶:分段函数求值 【例4】　设函数f(x)=则f(-2)+f(log26)=(B) A.2 B.6 C.8 D.10 解析　根据题意得f(-2)=log28=3,f(log26)==3,所以f(-2)+f(log26)=6。故选B。 根据分段函数解析式求函数值,首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解。 角度❷:分段函数与方程、不等式 【例5】　(1)(2024·唐山模拟)设函数f(x)=若f(a)=0,则a= 1 。  解析　当a≤0时,a2+1≥1≠0(舍去);当a>0时,lg a=0,a=1,故实数a的值为1。 (2)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是  。  解析　由题意得,当x>时,2x+>1恒成立,即x>满足题意;当0<x≤时,2x++1>1恒成立,即0<x≤满足题意;当x≤0时,由x+1++1=2x+>1,得x>-,即-<x≤0。综上,x的取值范围是。 已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围。 易错提醒　当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论。 【题组对点练】　 题号 1 2 3 角度 ❶ ❷ 拓展延伸 1.(2024·潍坊市统考)已知函数f(x)=则f=(B) A. B. C. D. 解析　因为sin=,所以>sin,所以f=sin=。故选B。 2.(2023·广东省一模)已知函数f(x)=若f(a)<f(6-a),则实数a的取值范围是(D) A.(-3,+∞) B.(-∞,-3) C.(3,+∞) D.(-∞,3) 解析　显然f(x)在R上单调递增,故f(a)<f(6-a)可化为a<6-a,解得a<3。故选D。 3.已知函数f(x)=若f(x)的值域是R,则实数a的取值范围是(B) A.(-∞,0] B.[0,1] C.[0,+∞) D.(-∞,1] 解析　 因为函数y=2x是R上的增函数,且值域为(0,+∞),函数y=x+1是R上的增函数,且值域也是R,所以要使函数f(x)的值域为R,需满足2a≤a+1。在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x与y=x+1的图象,如图所示,由图可知,当0≤x≤1时,2x≤x+1,所以实数a的取值范围为[0,1]。故选B。 学科网（北京）股份有限公司 $$