第1章 第5节 一元二次方程、不等式(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第五节　一元二次方程、不等式 【课程标准】　1.会判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系;2.会求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集;3.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。 主干知识整合 　　　　　 【基础梳理】 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 类别 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 　　[微点清]　对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记a=0时的情形。 【知识延伸】 1.分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)。 (2)≥0(≤0)⇔ 2.两个恒成立的充要条件 (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔ (2)一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔ 【小题自测】 1.已知A={x|x2-3x-4≤0,x∈N},B={x|2x2-x-6>0,x∈Z},则A∩B的真子集个数为(B) A.2 B.3 C.7 D.8 解析　A={x|(x-4)(x+1)≤0,x∈N}={x|-1≤x≤4,x∈N}={0,1,2,3,4},B={x|(2x+3)(x-2)>0,x∈Z}=,所以A∩B={3,4},其真子集个数为22-1=3。故选B。 2.若0<m<1,则不等式(x-m)<0的解集为(D) A.　　　　 B. C. D. 解析　当0<m<1时,m<,所以不等式的解集为。故选D。 3.已知集合A={x|x2≤25},B=,则A∩B=(D) A.(-∞,-5] 　B.[-5,-1) C.[-5,-1]∪[5,7) 　D.[-5,-1] 解析　因为x2≤25,所以集合A={x|-5≤x≤5}。因为≥0,则解得x>7或x≤-1,所以集合B={x|x>7,或x≤-1}。所以A∩B=[-5,-1]。故选D。 4.已知二次函数y=ax2+bx+4图象的顶点坐标为,则不等式bx2+4x+a≥0的解集为 {1} 。  解析　二次函数y=ax2+bx+4图象的顶点坐标为,则解得a=b=-2,不等式bx2+4x+a≥0,即-2x2+4x-2≥0,即x2-2x+1=(x-1)2≤0,所以x=1,所以所求不等式的解集为{1}。 5.若不等式ax2+ax+a+3≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 {a|a≥0} 。  解析　当a=0时,不等式为3>0,满足题意;当a≠0时,需满足解得a>0。综上可得,a的取值范围为{a|a≥0}。 关键能力突破 　　　　　 类型一　一元二次不等式的解 微专题 角度❶:不含参数的一元二次不等式的解法 自练自悟 1.不等式-2x2+x+3<0的解集为(B) A. B.(-∞,-1)∪ C. D.∪(1,+∞) 解析　-2x2+x+3<0可化为(2x-3)(x+1)>0,解得x<-1或x>。故选B。 2.不等式<1的解集为 {x|-7<x<2} 。  解析　<1,即-1<0,即<0,解得-7<x<2,因此不等式的解集为{x|-7<x<2}。 3.不等式-1<x2+2x-1≤2的解集为 {x|-3≤x<-2,或0<x≤1} 。  解析　原不等式等价于由①,得x<-2或x>0;由②,得-3≤x≤1。画出数轴,如图, 可得原不等式的解集为{x|-3≤x<-2,或0<x≤1}。 解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标准形式(a>0);②确定判别式Δ的符号,若Δ≥0,则求出该不等式对应的一元二次方程的根,若Δ<0,则对应的一元二次方程无根;③结合二次函数的图象得出不等式的解集。特别地,若一元二次不等式的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集。 角度❷:含参数的一元二次不等式的解法 【例1】　已知函数f(x)=ax2+(2-4a)x-8。 (1)若不等式f(x)<0的解集为,求a的值; (2)当a<0时,求关于x的不等式f(x)>0的解集。 解　(1)不等式f(x)<0,即ax2+(2-4a)x-8<0,可化为(ax+2)(x-4)<0。因为f(x)<0的解集是,所以a>0且-=-,解得a=3。 (2)不等式f(x)>0,即ax2+(2-4a)x-8>0,因为a<0,所以不等式可化为(x-4)<0,当4<-,即-<a<0时,原不等式的解集为;当4=-,即a=-时,原不等式的解集为⌀;当4>-,即a<-时,原不等式的解集为。综上所述,当-<a<0时,原不等式的解集为;当a=-时,原不等式的解集为⌀;当a<-时,原不等式的解集为。 对含参的不等式,应对参数进行分类讨论,常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类。 (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数。 (3)有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论。 【变式训练】　(1)(2024·山东潍坊抽测)若a∈R,则关于x的不等式4x2-4ax+a2-1<0的解集为(C) A. B. C. D. 解析　由题可知,原不等式可转化为[2x-(a+1)][2x-(a-1)]<0,因为>,所以不等式的解为<x<。故选C。 (2)解不等式12x2-ax>a2(a∈R)。 解　原不等式可化为12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=。当a>0时,不等式的解集为∪;当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);当a<0时,不等式的解集为∪。 类型二　三个“二次”的关系 【例2】　(1)不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a>0的解集为(A) A. B. C.{x|-2<x<1} D.{x|x<-2,或x>1} 解析　不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},所以-1,2是方程ax2+bx+2=0的两个实数根,且a<0,则故不等式2x2+bx+a>0,即2x2+x-1>0,解得x<-1或x>,所以不等式2x2+bx+a>0的解集为。故选A。 (2)已知函数f(x)=x2-4ax+a2(a>0)的两个零点分别为x1,x2,则x1+x2+的最小值为(C) A.8 B.6 C.4 D.2 解析　由题意,得x1+x2=4a,x1x2=a2,故x1+x2+=4a+≥2=4,当且仅当a=时取“=”。故选C。 1.一定要牢记二次函数的基本性质。 2.含参的问题注意利用根与系数的关系找关系进行代换。 【变式训练】　(1)(2023·辽源检测)不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a-b=(C) A.-4 B.14 C.-10 D.10 解析　因为ax2+bx+2>0的解集是,所以-,是方程ax2+bx+2=0的根,所以a<0且所以a-b=-10。故选C。 (2)关于x的方程x2-(a+1)x+a=0的两个不等实数根x1,x2都在(0,2)之内,则实数a的取值范围为(D) A.(0,2) B.(0,1) C.(1,2) D.(0,1)∪(1,2) 解析　因为方程x2-(a+1)x+a=0的两个不等实数根x1,x2都在(0,2)之内,所以函数f(x)=x2-(a+1)x+a在(0,2)内有两个零点,所以解得0<a<2且a≠1。故选D。 类型三　一元二次不等式恒(能)成立问题 微专题 角度❶:不等式恒成立 【例3】　(1)若不等式(a-2)x2+4(a-2)x+3>0的解集为R,则实数a的取值范围是  。  解析　当a-2=0,即a=2时,不等式为3>0恒成立,故a=2符合题意;当a-2≠0,即a≠2时,不等式(a-2)x2+4(a-2)x+3>0的解集为R,则解得2<a<。综上可得,实数a的取值范围是。 (2)已知函数f(x)=mx2-mx-1。若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,则实数m的取值范围为  。  解析　f(x)<-m+5在x∈[1,3]上恒成立,即m(x2-x+1)-6<0在x∈[1,3]上恒成立。因为x2-x+1=+>0,又因为m(x2-x+1)-6<0在x∈[1,3]上恒成立,所以m<在x∈[1,3]上恒成立。令y=,因为函数y==在[1,3]上的最小值为,所以只需m<即可。所以m的取值范围是。 恒成立问题求参数范围的解题策略 1.弄清楚自变量、参数,一般情况下,求谁的范围,谁就是参数。 2.一元二次不等式在R上恒成立,可用判别式Δ,一元二次不等式在给定区间上恒成立,不能用判别式Δ,一般分离参数求最值或分类讨论。 角度❷:不等式能成立问题 【例4】　(1)(2024·陕西宝鸡质检)若存在实数x,使得mx2-(m-2)x+m<0成立,则实数m的取值范围为(C) A.(-∞,2) B.(-∞,0]∪ C. D.(-∞,1) 解析　①当m=0时,不等式化为2x<0,解得x<0,符合题意;②当m>0时,y=mx2-(m-2)x+m的图象开口向上,则Δ=(m-2)2-4m2=-3m2-4m+4>0,解得0<m<;③当m<0时,y=mx2-(m-2)x+m的图象开口向下,则必存在实数x,使得mx2-(m-2)x+m<0成立。综上所述,实数m的取值范围为。故选C。 (2)(2023·广东揭阳二中模拟)若关于x的不等式x2-4x-a>0在区间(1,5)内有解,则实数a的取值范围是(A) A.(-∞,5) B.(5,+∞) C.(-4,+∞) D.(-∞,-4) 解析　解法一:不等式x2-4x-a>0在区间(1,5)内有解,即a<x2-4x在(1,5)内有解。设f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,x∈(1,5),则f(x)<f(5)=5,故a<5。故选A。 解法二:设f(x)=x2-4x-a=(x-2)2-a-4,其图象的对称轴方程为x=2,若不等式x2-4x-a>0在区间(1,5)内有解,则需满足Δ=16+4a≤0或解得a≤-4或-4<a<5,即a<5。故选A。 不等式有解求参数范围 方法1:分离参数转化为函数最值问题。 方法2:数形结合转化为一元二次方程根的分布问题。 【题组对点练】　 题号 1 2 3 角度 ❶ ❶ ❷ 1.若不等式(a-1)x2+(a-1)x+a>0对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(C) A.∪(1,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) D. 解析　当a=1时,不等式化为1>0,恒成立,符合题意;当a≠1时,由题得a-1>0且Δ=(a-1)2-4(a-1)a<0,所以a>1。综上,a≥1。故选C。 2.已知f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3)。若对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是(D) A.(-∞,2] B.(-∞,4] C.[2,+∞) D.[4,+∞) 解析　由题知-1,3是方程-2x2+bx+c=0的两根,得所以f(x)=-2x2+4x+6。因为对任意的x∈[-1,0],f(x)+m≥4恒成立,所以对任意的x∈[-1,0],m≥2x2-4x-2恒成立,因为y=2x2-4x-2在[-1,0]上的最大值为4,所以m≥4。故选D。 3.(2024·北京第五中学高三开学考试)设a∈R,若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解,则(C) A.a≤2 B.a≥2 C.a≤ D.a≥ 解析　由x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解,得≥a在1≤x≤2上有解,则a≤,由于=x+,而x+在1≤x≤2上单调递增,故当x=2时,x+,故a≤。故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $$