第1章 第4节 基本不等式(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第四节　基本不等式 【课程标准】　1.了解基本不等式的证明过程;2.掌握基本不等式≤(a>0,b>0),会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。 主干知识整合 　　　　　 【基础梳理】 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0。 (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立。 (3)其中,叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数。 [微点清]　在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立。 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)。 (2)+≥2(ab>0)。 (3)ab≤(a,b∈R)。 (4)≥(a,b∈R)。 以上不等式等号成立的条件均为a=b。 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2。 (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2。 [微点清]　①利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”。 ②利用基本不等式求最值简记:积定和最小,和定积最大。 【知识延伸】 1.ab≤≤。要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式。 2.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式。若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致。 【小题自测】 1.函数f(x)=(x>0)的最小值是(B) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　f(x)==x++1≥2+1=3,当且仅当x=1时,等号成立,故f(x)的最小值为3。故选B。 2.函数y=x(3-x)的最大值为(B) A.3 B. C. D. 解析　y=x(3-x)≤=,当且仅当x=3-x,即x=时,等号成立。故选B。 3.设a>0,则9a+的最小值为(C) A.4 B.5 C.6 D.7 解析　因为a>0,所以9a+≥2=6,当且仅当9a=,即a=时,等号成立,所以9a+的最小值为6。故选C。 4.当x≥2时,x+的最小值为 3 。  解析　设x+2=t,则x+=t+-2。又由x≥2,得t≥4,而函数y=t+-2在[4,+∞)上单调递增,因此当t=4时,t+-2即x+取得最小值,最小值为4+-2=3。 5.用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园,则这个矩形菜园的面积最大为 81 m2 。  解析　设矩形菜园的长和宽分别为x m,y m,则x>0,y>0,由题意有2(x+y)=36,所以x+y=18,所以矩形菜园的面积S=xy≤==81(m2),当且仅当x=y=9时取等号,所以当矩形菜园的长和宽都为9 m时,矩形菜园的面积最大,为81 m2。 关键能力突破 　　　　　 类型一　基本不等式求最值 微专题 角度❶:配凑法求最值 【例1】　(1)(2024·湖北武汉模拟)当x>1时,x+的最小值为 5 。  解析　因为x>1,所以x-1>0,由基本不等式,得x+=(x-1)++1≥2+1=5,当且仅当x=3时,等号成立。因此,x+的最小值为5。 (2)已知0<x<,则x的最大值为  。  解析　因为0<x<,所以1-2x2>0,x=·x≤·=,当且仅当2x2=1-2x2,即x=时等号成立。 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,先配凑出积、和为常数的形式,再利用基本不等式求解。 角度❷:常值代换法求最值 【例2】　已知两个正数x,y满足x+2y=8xy,则4x+2y的最小值为(C) A. B.2 C. D. 解析　将x+2y=8xy两边同时除以xy,得+=8,则4x+2y=(4x+2y)=≥=,当且仅当=,即y=x=时取等号。故4x+2y的最小值为。故选C。 常值代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求最值。应用此种方法求解最值时,应把 “1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商。 角度❸:消元法求最值 【例3】　已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为 6 。  解析　由x+3y+xy=9,得x=,所以x+3y=+3y====3(1+y)+-6≥2-6=12-6=6。当且仅当3(1+y)=,即y=1时取等号。所以x+3y的最小值为6。 消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常是考虑利用已知条件消去部分变量后,对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之转化为能使用均值不等式的形式,最后利用基本不等式求最值。 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 角度 ❶ ❷ ❷ ❸ 1.若x<,则f(x)=3x+1+有(C) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 解析　因为x<,所以3x-2<0,f(x)=3x-2++3=-+3≤-2+3=-3。当且仅当2-3x=,即x=-时取“=”。故选C。 2.已知正实数a,b满足a+b=2,则+的最小值是(B) A. B. C.5 D.9 解析　+=(a+b)=≥×(4+5)=,当且仅当=时,等号成立。故选B。 3.已知0<x<1,则+的最小值是 9 。  解析　由0<x<1,得1-x>0。+=[x+(1-x)]=5++≥5+2=9,当且仅当=即x=时取等号,所以+的最小值是9。 4.设a>0,b>0,且5ab+b2=1,则a+b的最小值为  。  解析　因为5ab+b2=1,所以a==-,所以a+b=-+b=+≥2=,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以a+b的最小值为。 类型二　基本不等式的实际应用 【例4】　(2023·广东茂名五校联考)《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一,其中记载:“今有邑,东西七里,南北九里,各中开门。出东门十五里有木,问出南门几何步而见木?”若一小城,如图中长方形所示,出东门1 200步有树,出南门750步能见到此树(注:1里=300步),则该小城的周长最小值为 8 里。  解析　设GF=x步,EF=y步,由△BEF∽△FGA得=,即=,所以y=,故该小城的周长为2(2x+2y)=4≥2 400(步)=8(里),当且仅当x=,即x=300时取等号,所以该小城的周长最小值为8里。 利用基本不等式解决实际问题的策略 1.根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值。 2.解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围。 3.在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解。 【变式训练】　(2024·广东名校联考)在中国,最早发现勾股定理的人是西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题。如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形的周长取得最大值时,其面积为(C) A. B.1 C.2 D.6 解析　记该直角三角形的斜边长为c=2,直角边长分别为a,b,则a2+b2=8,因为a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥(a+b)2,即(a+b)2≤16,当且仅当a=b=2时等号成立,因为a>0,b>0,所以a+b≤4,所以该直角三角形的周长为a+b+c≤4+c=4+2,故当这个直角三角形的周长取得最大值时,其面积为×2×2=2。故选C。 基本不等式链 【源于教材】　(人教A版必修第一册第58页第10题)购买同一种物品,可以用两种不同的策略,第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定。哪种购物方式比较经济? 【提示】　本题的结果是当两次购买同一种商品时,按第二种策略购物比较经济,理论依据源于≥(a>0,b>0)。 【推广结论】　基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时等号成立。以上不等式中,,,,分别称为正实数a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数。利用这个基本不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值类问题的求解更加简便。 一、利用基本不等式链求最值 【典例1】　(多选题)设正实数a,b满足a+b=1,则(ACD) A.有最大值 B.+有最小值3 C.a2+b2有最小值 D.+有最大值 解析　对于A,由基本不等式可得≤=,当且仅当a=b=时取“=”,A正确;对于B,由≤==,得+≥,当且仅当a+2b=2a+b,即a=b=时等号成立,B错误;对于C,由≥=,得a2+b2≥,当且仅当a=b=时等号成立,C正确;对于D,由≤=,得+≤,当且仅当a=b=时等号成立,D正确。故选ACD。 二、利用基本不等式链证明不等式 【典例2】　已知a,b,c都是非负实数,求证:++≥(a+b+c)。 证明　由≥,得≥(a+b),同理得≥(b+c),≥(c+a),相加可得++≥(a+b)+(b+c)+(c+a)=(a+b+c),当且仅当a=b=c时等号成立。 思考题　(1)当-<x<时,函数y=+的最大值为 2 。  解析　由≤,得a+b≤2,则y=+≤2=2,当且仅当=,即x=时等号成立。 (2)已知x,y均为正实数,且+=,则x+y的最小值为 20 。  解析　=-2≥-2=-2=10,当且仅当x=y=10时取等号,所以x+y的最小值为20。 学科网（北京）股份有限公司 $$