第1章 第3节 等式性质与不等式性质(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第三节　等式性质与不等式性质 【课程标准】　1.梳理等式的性质,理解不等式的概念;2.会比较两个数(式)的大小;3.理解不等式的性质,掌握不等式性质的简单应用。 主干知识整合 　　　　　 【基础梳理】 1.两个实数比较大小的方法 作差法(a,b∈R)。 2.等式的性质 性质1　对称性:如果a=b,那么b=a; 性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么a=c; 性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc; 性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么=。 3.不等式的性质 性质1　对称性:a>b⇔b<a; 性质2　传递性:a>b,b>c⇒a>c; 性质3　可加性:a>b⇔a+c>b+c; 性质4　可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc; 性质5　同向可加性:a>b,c>d⇒a+c>b+d; 性质6　同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd; 性质7　同正可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)。 【知识延伸】 不等式性质的拓展结论: (1)若ab>0,且a>b⇔<。 (2)若a>b>0,m>0⇒<; 若b>a>0,m>0⇒>。 【小题自测】 1.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则有(A) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 解析　因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0,所以M>N。故选A。 2.如果ac>bc,那么下列不等式中,一定成立的是(D) A.ac2>bc2 B.a>b C.a+c>b+c D.> 解析　若c<0,则a<b,所以ac2<bc2,a+c<b+c,A,B,C均错;因为ac>bc,又c2>0,则>,即>,故D正确。 3.如果x+y<0,且y>0,那么下列不等式成立的是(D) A.y2>x2>-xy B.x2>y2>-xy C.x2<-xy<y2 D.x2>-xy>y2 解析　因为x+y<0,y>0,所以x<-y<0<y。在不等式x<-y两边同时乘以x,得x2>-xy。在不等式x<-y两边同时乘以y,得xy<-y2,则-xy>y2。所以x2>-xy>y2。故选D。 4.已知M=x2-3x,N=-3x2+x-3,则M,N的大小关系是 M>N 。  解析　M-N=(x2-3x)-(-3x2+x-3)=4x2-4x+3=(2x-1)2+2>0,所以M>N。 5.已知-1<a<2,-3<b<5,则a+2b的取值范围是 (-7,12) 。  解析　因为-3<b<5,所以-6<2b<10,又-1<a<2,所以-7<a+2b<12。 关键能力突破 　　　　　 类型一　数(式)的大小比较 【例1】　(1)已知p∈R,M=(2p+1)(p-3),N=(p-6)(p+3)+10,则M,N的大小关系为(B) A.M<N B.M>N C.M≤N D.M≥N 解析　因为M-N=(2p+1)(p-3)-[(p-6)(p+3)+10]=p2-2p+5=(p-1)2+4>0,所以M>N。故选B。 (2)若a>b>1,P=aeb,Q=bea,则P,Q的大小关系是(C) A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.不能确定 解析　P,Q作商可得==,令f(x)=,则f'(x)=,当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)=在(1,+∞)上单调递增,因为a>b>1,所以<,又>0,>0,所以=<1,所以P<Q。故选C。 比较大小的常用方法 1.作差法:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)得出结论。 2.作商法:(1)作商;(2)变形;(3)判断商与1的大小关系;(4)得出结论。 3.构造函数,利用函数的单调性比较大小。 【变式训练】　(1)已知a,b为不相等的实数,记M=a2-ab,N=ab-b2,则M与N的大小关系为(A) A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定 解析　因为M-N=(a2-ab)-(ab-b2)=(a-b)2,又a≠b,所以(a-b)2>0,即M>N。故选A。 (2)若a=,b=,则a与b的大小关系是 a>b 。  解析　(作商法)因为a=>0,b=>0,所以=×===log89>1,所以a>b。 类型二　不等式的性质 【例2】　(1)已知a>b>c>0,下列结论正确的是(D) A.2a<b+c B.a(b-c)>b(a-c) C.> D.(a-c)3>(b-c)3 解析　因为a>b>c>0,所以2a>b+c,故A错误;取a=3>b=2>c=1>0,则a(b-c)=3<b(a-c)=4,故B错误;由a>b>c>0可知,a-c>b-c>0,所以<,(a-c)3>(b-c)3,故C错误,D正确。故选D。 (2)(多选题)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论正确的是(BCD) A.ad>bc B.+<0 C.a-c>b-d D.a(d-c)>b(d-c) 解析　因为a>0>b,c<d<0,所以ad<0,bc>0,所以ad<bc,故A错误;因为0>b>-a,所以a>-b>0,因为c<d<0,所以-c>-d>0,所以a(-c)>(-b)(-d),所以ac+bd<0,cd>0,所以=+<0,故B正确;因为c<d,所以-c>-d,因为a>b,所以a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d,故C正确;因为a>0>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d-c),故D正确。故选BCD。 解决此类题目常用的3种方法 1.直接利用不等式的性质逐个验证。 2.利用特殊值法排除错误答案,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件。 3.利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断。 【变式训练】　(1)若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列说法正确的是(D) A.ac2<bc2 B.< C.> D.a2>ab>b2 解析　当c=0时,A不成立;-=>0,即>,B错误;-==<0,即<,C错误;由a<b<0,得a2>ab>b2,D正确。故选D。 (2)(多选题)若<<0,则(ACD) A.|a|<|b| B.ac<bc C.>0 D.0<<1 解析　由<<0,得c≠0。当c>0时,由<<0,得<<0,即b<a<0,可得0<<1;当c<0时,由<<0,得>>0,即b>a>0,所以0<<1,故A,D正确;由<<0,得-=<0,且a与b同号,即ab>0,所以c与b-a异号,即c与a-b同号,故C正确;由ac<bc,得(a-b)c<0,故B错误。故选ACD。 类型三　不等式性质的应用 【例3】　(1)已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是 (-4,2) ,3x+2y的取值范围是 (1,18) 。  解析　因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2。由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18。 (2)已知3<a<8,4<b<9,则的取值范围是  。  解析　因为4<b<9,所以<<,又3<a<8,所以×3<<×8,即<<2。 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围。解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围。 【变式训练】　(1)已知0<β<α<,则α-β的取值范围是  。  解析　因为0<β<,所以-<-β<0,又0<α<,所以-<α-β<,又β<α,所以α-β>0,即0<α-β<。 (2)已知a>b>c,2a+b+c=0,则的取值范围是 (-3,-1) 。  解析　因为a>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-2a-c,又因为a>b>c,所以将b=-2a-c代入b<a中,得-2a-c<a,即3a>-c,解得>-3,将b=-2a-c代入b>c中,得-2a-c>c,即a<-c,得<-1,所以-3<<-1。 学科网（北京）股份有限公司 $$