第1章 第2节 常用逻辑用语(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第二节　常用逻辑用语 【课程标准】　1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义,理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系;2.理解全称量词与存在量词的意义;3.能正确使用存在量词(全称量词)对全称量词命题(存在量词命题)进行否定。 主干知识整合 【基础梳理】 1.充分条件与必要条件 (1)命题的概念:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题。 (2)充分条件与必要条件 ①若p⇒q且qp,则p是q的充分不必要条件。 ②若q⇒p且pq,则p是q的必要不充分条件。 ③若p⇒q且q⇒p,则p是q的充要条件。 ④若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件。 [微点清]　若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)}。注意区分p是q的充分不必要条件与p的充分不必要条件是q两者的不同。若A⫋B,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件。若B⫋A,则p是q的必要不充分条件,q是p的充分不必要条件。若A=B,则p是q的充要条件。 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词与存在量词 全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示。 存在量词:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示。 [微点清]　全称量词是“全部”的含义,不能有例外;存在量词是“部分”的含义,不能是“全部”。 (2)全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x,p(x)成立 存在M中的元素x,p(x)成立 简记 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定 ∃x∈M,􀱑p(x) ∀x∈M,􀱑p(x) 【知识延伸】 1.若p是q的充分不必要条件,则q是p的必要不充分条件。 2.p是q的充分不必要条件,等价于􀱑q是􀱑p的充分不必要条件。 3.命题p和􀱑p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假。 【小题自测】 1.已知p:x(x-1)=0,q:x=1,则p是q的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　x(x-1)=0⇒x=0或x=1,因此由p:x(x-1)=0不一定能推出q:x=1,但是由q:x=1一定能推出p:x(x-1)=0,所以p是q的必要不充分条件。故选B。 2.命题“∀x∈R,ex-1≥x”的否定是(C) A.∃x∈R,ex-1≥x B.∀x∈R,ex-1≤x C.∃x∈R,ex-1<x D.∀x∈R,ex-1<x 解析　由题意得命题“∀x∈R,ex-1≥x”的否定是“∃x∈R,ex-1<x”。故选C。 3.(教材改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”,但反之不成立。故选A。 4.(教材改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是 任意一个偶数都不是素数 。  5.使-2<x<2成立的一个充分条件是 0<x<2(答案不唯一) 。(答案不唯一,写出一个即可)  解析　只要是{x|-2<x<2}的一个子集都是使-2<x<2成立的充分条件,如-2<x<2,或0<x<2等。 关键能力突破 　　　　　 类型一　充分条件、必要条件的判定 【例1】　(1)(2024·广州市调研)已知p:(x+2)(x-3)<0,q:|x-1|<2,则p是q的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由题意知p:-2<x<3,q:-1<x<3。因为(-1,3)⫋(-2,3),所以p是q的必要不充分条件。故选B。 (2)(2023·全国甲卷)“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当sin2α+sin2β=1时,例如α=,β=0,此时sin α+cos β≠0,即sin2α+sin2β=1推不出sin α+cos β=0;当sin α+cos β=0时,sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,即sin α+cos β=0能推出sin2α+sin2β=1。综上可知,“sin2α+sin2β=1”是“sin α+cos β=0”的必要不充分条件。故选B。 充分、必要条件的两种判定方法 1.定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题。 2.集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题。 【变式训练】　(1)(2023·天津卷)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　由a2=b2得|a|=|b|,即a=b或a=-b;由a2+b2=2ab得a2+b2-2ab=(a-b)2=0,即a=b。因为a2=b2不能推断a2+b2=2ab,但a2+b2=2ab能推断a2=b2,所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件。故选B。 (2)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则“a1<0且0<q<1”是“对于任意n∈N*都有an+1>an”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为an+1=anq,所以“a1<0且0<q<1”⇒“对于任意n∈N*都有an+1>an”;“对于任意n∈N*都有an+1>an”推不出“a1<0且0<q<1”,如an=2n,满足an+1>an,n∈N*,但a1=2,q=2,所以“a1<0且0<q<1”是“对于任意n∈N*都有an+1>an”的充分不必要条件。故选A。 类型二　充分条件与必要条件的应用 【例2】　(1)(2023·苏北四市调研)设p:4x-3<1,q:x-(2a+1)<0。若p是q的充分不必要条件,则(A) A.a>0 B.a>1 C.a≥0 D.a≥1 解析　p:x<1,q:x<2a+1。依题意得2a+1>1,解得a>0。故选A。 (2)(2024·济南市学情检测)“x>y”的一个充分条件可以是(D) A.2x-y> B.x2>y2 C.>1 D.xt2>yt2 解析　因为由xt2>yt2可得x>y,所以xt2>yt2是x>y的充分条件,所以选项D符合题意。由2x-y>=2-1,得x-y>-1,当x=1,y=时成立,但x<y,所以由2x-y>不能推出x>y。由x2>y2可得|x|>|y|,不一定能推出x>y,例如当x=-3,y=2时,x2>y2成立,但x>y不成立。若>1,当y<0时,可得x<y。因此,选项A,B,C均不符合题意。故选D。 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数的求解问题上,解题时通常把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解。解题过程中要注意检验区间的端点值。 【变式训练】　(1)“a·b=|a||b|”是“a与b共线”的(A) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|,所以cos<a,b>=1,又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=0,所以a与b共线。当a与b共线时,<a,b>=0或<a,b>=π,所以a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|或a·b=|a||b|cos<a,b>=-|a||b|,所以“a·b=|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件。故选A。 (2)已知集合A=,x∈A的一个必要条件是x≥a,则实数a的取值范围为(C) A.(-∞,0) B.[2,+∞) C.(-∞,-1] D.[-1,+∞) 解析　解不等式≤0,即得-1<x≤2,故A={x|-1<x≤2}。因为x∈A的一个必要条件是x≥a,所以A={x|-1<x≤2}⊆{x|x≥a},所以a≤-1。故选C。 类型三　全称量词与存在量词 微专题 角度❶:含有量词的命题的否定 【例3】　(1)已知命题p:∃n∈N,n2≥2n+5,则p的否定为(C) A.∀n∈N,n2≥2n+5 B.∃n∈N,n2≤2n+5 C.∀n∈N,n2<2n+5 D.∃n∈N,n2=2n+5 解析　由存在量词命题的否定可知,p的否定为∀n∈N,n2<2n+5。故选C。 (2)命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是(C) A.所有奇函数的图象都不关于原点对称 B.所有非奇函数的图象都关于原点对称 C.存在一个奇函数的图象不关于原点对称 D.存在一个奇函数的图象关于原点对称 解析　全称量词命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是存在量词命题,所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”。故选C。 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.改写量词:确定命题所含量词的类型,若命题中无量词,则要结合命题的含义加上量词,再对量词进行改写。 2.否定结论:对原命题的结论进行否定。 角度❷:由命题的真假求参数的取值范围 【例4】　(1)命题“∀x∈(1,2),log2x-a<0”为真命题的一个充分不必要条件是(B) A.a≥0 B.a≥2 C.a≥1 D.a≤4 解析　由题意得,当x∈(1,2)时,a>log2x恒成立,则a≥1,结合选项,命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥2。故选B。 (2)若命题“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”是假命题,则实数a的取值范围是 (-2,1) 。  解析　因为命题“∃x∈R,x2+2ax+2-a=0”是假命题,所以“∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0”为真命题,所以Δ=4a2-4(2-a)<0,即a2+a-2<0,所以-2<a<1。 根据全称、存在量词命题的真假求参数的方法 1.巧用三个转化 (1)全称量词命题可转化为恒成立问题; (2)存在量词命题可转化为存在性问题; (3)全称量词命题、存在量词命题为假命题可转化为它的否定为真命题。 2.准确计算 通过解方程(组)或不等式(组)求出参数的值或取值范围。 【题组对点练】　 题号 1 2 角度 ❶ ❷ 1.(2024·大连市双基测试)已知命题p:∃x∈R,x2-x+1<0,则􀱑p是(B) A.∃x∈R,x2-x+1≥0 B.∀x∈R,x2-x+1≥0 C.∀x∈R,x2-x+1<0 D.∀x∈R,x2-x+1>0 解析　由存在量词命题的否定为全称量词命题,知命题p:∃x∈R,x2-x+1<0的否定􀱑p:∀x∈R,x2-x+1≥0。故选B。 2.若“∃x∈[1,2],2x2-λx+1<0”是假命题,则实数λ的取值范围是(C) A.(-∞,2] B. C.(-∞,3] D. 解析　若“∃x∈[1,2],2x2-λx+1<0”是假命题,则“∀x∈[1,2],2x2-λx+1≥0”是真命题,即∀x∈[1,2],λ≤2x+。令f(x)=2x+,x∈[1,2],则f'(x)=2-=>0,则f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=3,则λ≤3。故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $$