第1章 第1节 集合(教用Word)-【赢在微点·顶层设计】2025年高中数学高考一轮总复习

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集合 【课程标准】　1.了解集合的含义,元素与集合的属于关系,能用列举法或描述法表示集合;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,了解全集与空集的含义;3.理解并会求并集、交集、补集,能用Venn图表示集合的关系与运算。 主干知识整合 　　　　　 【基础梳理】 1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性。 (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或∉表示。 (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法。 (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N+ Z Q R 　　[微点清]　(1)集合的元素满足互异性;(2)N为自然数集(即非负整数集),包含0,而N*(N+)表示正整数集,不包含0。 2.集合间的基本关系 　表示 关系　 自然语言 符号语言 图形语言 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B(或B⊇A) 或 真子集 集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A A⫋B(或B⫌A) 集合 相等 集合A,B中元素相同 A=B [微点清]　(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,应时刻关注对空集的讨论;(2)任何集合都是自身的子集,即A⊆A;(3)⌀是指不含任何元素的集合,{⌀}是指以⌀为元素的集合。 3.集合的基本运算 　类别 表示　 并集 交集 补集 图形 语言 符号 语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B} A∩B={x|x∈A,且x∈B} ∁UA={x|x∈U,且x∉A} [微点清]　集合的基本运算有以下性质: (1)A∪⌀=A,A∪A=A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B)。 (2)A∩⌀=⌀,A∩A=A,A∩B⊆A,A∩B⊆B。 (3)A∩B=A∪B⇔A=B。 (4)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)=⌀。 (5)A∩(∁UA)=⌀,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A,(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)。 【知识延伸】 1.Venn图的应用 如图所示,用集合A,B表示图中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B,A∩(∁UB),B∩(∁UA),∁U(A∪B)。 2.集合的子集个数 若有限集合A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1,非空真子集的个数为2n-2。 3.容斥原理 用card(A)表示有限集合A中元素的个数。对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)。 【小题自测】 1.已知集合A={x|x2<2,x∈Z},则A的真子集的个数为(D) A.3 B.4 C.6 D.7 解析　因为A={x|x2<2,x∈Z}={-1,0,1},所以其真子集的个数为23-1=7。故选D。 2.(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(C) A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 解析　因为N={x|x2-x-6≥0}=(-∞,-2]∪[3,+∞),而M={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={-2}。故选C。 3.(多选题)已知集合P={x|x2=4},N为自然数集,则(AB) A.2∈P B.P={-2,2} C.{⌀}⊆P D.P⫋N 解析　P={x|x2=4}={-2,2},故2∈P,故A,B正确。⌀不是P中的元素,故C错误。因为-2∉N,故D错误。故选AB。 4.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为 - 。  解析　当m+2=3时,m=1,此时,m+2=2m2+m=3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当2m2+m=3时,解得m=-(m=1舍去)满足题意。 5.(教材改编)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B⊆A,则实数a的取值范围是 [2,+∞) 。  解析　由图可知a≥2。 关键能力突破 类型一　集合的概念 自练自悟 1.已知集合A=,则集合A中的元素个数为(C) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　因为x∈Z,且∈Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4。故选C。 2.设集合A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|y=x2},则集合A∩B的元素个数为(C) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　如图,函数y=x与y=x2的图象有两个交点,故集合A∩B有两个元素。故选C。 3.(多选题)下列结论中正确的有(ACD) A.{x|x+y=1}={y|x+y=1} B.{(x,y)|x+y=2}={x|x+y=2} C.{x|x>2}={y|y>2} D.{1,2}={2,1} 解析　x+y=1中,x的取值范围为R,所以{x|x+y=1}=R,同理{y|x+y=1}=R,所以A正确;{(x,y)|x+y=2}表示直线x+y=2上点的集合,而{x|x+y=2}=R,所以B错误;集合{x|x>2},{y|y>2}都表示大于2的实数构成的集合,所以C正确;由于集合中的元素具有无序性,所以{1,2}={2,1},所以D正确。故选ACD。 4.已知集合A={12,a2+4a,a-2},且-3∈A,则a= -3 。  解析　因为-3∈A,所以-3=a2+4a或-3=a-2。若-3=a2+4a,解得a=-1或a=-3。当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,集合A={12,-3,-5},满足题意,故a=-3成立。若-3=a-2,解得a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去。综上所述,a=-3。 与集合中元素有关问题的求解步骤 (1)确定集合的元素是什么,集合是数集还是点集; (2)看这些元素满足什么限制条件; (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性。 类型二　集合间的基本关系 【例1】　(1)已知集合A={x|y=ln(x-2)},B={x|x≥-3},则下列结论正确的是(C) A.A=B B.A∩B=⌀ C.A⫋B D.B⊆A 解析　由题设,可得A={x|x>2},又B={x|x≥-3},所以A是B的真子集,故选C。 (2)(2024·南京市、盐城市模拟)设集合M=,N=,则(B) A.M⫋N B.N⫋M C.M=N D.M∩N=⌀ 解析　因为0∈M,0∉N,所以A,C不正确;因为∈M,∈N,所以D不正确。故选B。 (3)设集合A={x|-1≤x+1≤2},B={x|m-1≤x≤2m+1},当x∈Z时,集合A的真子集有 15 个;当B⊆A时,实数m的取值范围是 (-∞,-2)∪[-1,0] 。  解析　A={x|-2≤x≤1},若x∈Z,则A={-2,-1,0,1},故集合A的真子集个数为24-1=15。由B⊆A,得①若B=⌀,则2m+1<m-1,即m<-2,②若B≠⌀,则解得-1≤m≤0。综上,实数m的取值范围是(-∞,-2)∪[-1,0]。 判断两集合关系的常用方法 1.化简集合法:用描述法表示的集合,若代表元素的表达式比较复杂,往往需化简表达式,再寻求两个集合的关系。 2.数形结合法:利用数轴或Venn图直观判断。 易错提醒　当B为A的子集时,易漏掉B=⌀的情况而致误。 【变式训练】　(1)(多选题)已知非空集合M满足:①M⊆{-2,-1,1,2,3,4},②若x∈M,则x2∈M。则集合M可能是(AC) A.{-1,1} B.{-1,1,2,4} C.{1} D.{1,-2,2} 解析　由题意可知3∉M且4∉M,又-2或2与4同时出现,所以-2∉M且2∉M,所以满足条件的非空集合M有{-1,1},{1}。故选AC。 (2)函数f(x)=的定义域为A,集合B={x|-a≤x≤4-a},若B⊆A,则实数a的取值范围是 (-∞,-3]∪[5,+∞) 。  解析　由x2-2x-3≥0,得x≥3或x≤-1,即A={x|x≥3,或x≤-1}。因为B⊆A,显然B≠⌀,所以4-a≤-1或-a≥3,解得a≥5或a≤-3,故实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[5,+∞)。 类型三　集合的运算 微专题 角度❶:集合的基本运算 【例2】　(1)(2023·天津卷)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},则A∪(∁UB)=(A) A.{1,3,5} B.{1,3} C.{1,2,4} D.{1,2,4,5} 解析　因为U={1,2,3,4,5},B={1,2,4},所以∁UB={3,5}。又A={1,3},所以A∪(∁UB)={1,3}∪{3,5}={1,3,5}。故选A。 (2)(2023·全国乙卷)设集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},则{x|x≥2}=(A) A.∁U(M∪N) B.N∪(∁UM) C.∁U(M∩N) D.M∪(∁UN) 解析　由题意可得M∪N={x|x<2},则∁U(M∪N)={x|x≥2},选项A正确;∁UM={x|x≥1},则N∪(∁UM)={x|x>-1},选项B错误;M∩N={x|-1<x<1},则∁U(M∩N)={x|x≤-1,或x≥1},选项C错误;∁UN={x|x≤-1,或x≥2},则M∪(∁UN)={x|x<1,或x≥2},选项D错误。故选A。 集合运算的常用方法 1.若集合中的元素是离散的,则常用Venn图求解。 2.若集合中的元素是连续的实数,则用数轴求解,此时要注意端点的取舍。 角度❷:利用集合的运算求参数 【例3】　(2024·盐城模拟)已知集合A=,若A∩N*=⌀,则实数a的取值范围是(D) A.{1} B.(-∞,1) C.[1,2] D.(-∞,2] 解析　由题意,得A={x|(x-1)(x-a)<0},当a>1时,A={x|1<x<a},因为A∩N*=⌀,所以1<a≤2;当a<1时,A={x|a<x<1},因为A∩N*=⌀,所以a<1;当a=1时,A=⌀,满足题意。综上所述,实数a的取值范围为(-∞,2]。故选D。 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 1.与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到。 2.若集合中的元素能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解。 角度❸:集合的新定义问题 【例4】　(2024·高三名校模拟)对于非空集合A={a1,a2,a3,…,an}(ai≥0,i=1,2,3,…,n),其所有元素的几何平均数记为E(A),即E(A)=。若非空数集B满足下列两个条件:①B⫋A;②E(B)=E(A),则称B为A的一个“保均值真子集”,则集合A={1,2,4,8,16}的“保均值真子集”的个数为(C) A.2 B.4 C.6 D.8 解析　因为集合A={1,2,4,8,16},则E(A)==4,所以集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有:{4},{1,16},{2,8},{1,4,16},{2,4,8},{1,2,8,16},共6个。故选C。 解决集合新定义问题的关键 解决新定义问题时,一定要读懂新定义的本质含义,紧扣题目所给定义,结合题目所给定义和要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆。 【题组对点练】　 题号 1 2 3 4 角度 ❶ ❶ ❷ ❸ 1.(2024·武汉市质检)若集合A={x∈N*|x是4与10的公倍数},B={x∈R|x2≤1 000},则A∩B=(C) A.⌀ B.{-20,20} C.{20} D.{20,30} 解析　因为A={x∈N*|x是4与10的公倍数}={x∈N*|x=20k,k∈N*}={20,40,60,…},B={x∈R|x2≤1 000},202=400≤1 000,402=1 600>1 000,所以A∩B={20}。故选C。 2.(2023·苏北四市调研)若非空且互不相等的集合M,N,P满足:M∩N=M,N∪P=P,则M∪P=(C) A.M B.N C.P D.⌀ 解析　因为M∩N=M,所以M⊆N,因为N∪P=P,所以N⊆P,所以M⊆P,所以M∪P=P。故选C。 3.(2024·九省适应性考试)已知集合A={-2,0,2,4},B={x||x-3|≤m},若A∩B=A,则m的最小值为 5 。  解析　若A∩B=A,则A⊆B,因为B={x|3-m≤x≤3+m},所以所以m≥5,所以mmin=5。 4.设有限集合A={a1,a2,…,an},则ai叫做集合A的和,记作SA。若集合P={x|x=2n-1,n∈N*,n≤4},集合P的含有3个元素的全体子集分别为P1,P2,…,Pk,则= 48 。  解析　由题意知集合P={1,3,5,7},其三元素子集为{1,3,5},{1,3,7},{1,5,7},{3,5,7},故=9+11+13+15=48。 容斥原理 教材人教A版必修第一册第15页“阅读与思考”介绍了容斥原理的相关内容,目的是确定有关集合的元素个数问题。 容斥原理:在计数时,先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。 (1)二元容斥原理 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) (2)三元容斥原理 card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)。 【典例】　“生命在于运动”,在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中,某学校会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若会至少其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为　　　　。  【解析】　设A={x|x是会打乒乓球的教师},B={x|x是会打羽毛球的教师},C={x|x是会打篮球的教师},根据题意得到card(A)=30,card(B)=60,card(C)=20,card(A∪B∪C)=80,card(A∩B∩C)=5,由三元容斥原理card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C),得card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)=35,而card(A∩B)+card(B∩C)+card(C∩A)中把A∩B∩C的区域计算了3次,于是要减掉这3次,才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数。因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35-3×5=20。 【答案】　20 【训练】　某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数占该校学生总人数的比例是(C) A.62% B.56% C.46% D.42% 解析　设该中学的学生总人数为m,喜欢足球的学生组成集合A,喜欢游泳的学生组成集合B,则card(A)=60%m,card(B)=82%m,card(A∪B)=96%m,所以card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B)=46%m。故选C。 学科网（北京）股份有限公司 $$