第二章 有理数 第2.2节 数轴-2024-2025学年七年级数学上学期培优全攻略（2024苏科新版）

苏科2024新版第二章 有理数 2.2 数轴 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.知道数轴的概念，了解数轴的三要素，会根据实际需要正确地画出一条合适的数轴； 2.会把一个数对应的点正确地画在数轴上，会从数轴上正确地读取一个点表示的数； 3.会利用数轴比较两个有理数的大小； 4.初步了解数轴是数形结合思想的基本工具。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——数轴是哪位大神发明的？1.勒内·笛卡尔（1596年–1650年），1596年3月31日生于法国，1650年2月11日逝世，法国哲学家、数学家、物理学家。他被认为是解析几何之父。 2.数轴、平面直角坐标系的发明小故事： 有一天,笛卡尔生病卧床,但他头脑一直没有休息,在反复思考一个问题：几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,能不能用几何图形来表示方程呢?这里,关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩.他就拼命琢磨.通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来.突然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛,拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”,使笛卡尔思路豁然开朗.他想,可以把蜘蛛看做一个点,它在屋子里可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢?他又想,屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三根数轴,那么空间中任意一点的位置,不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗?反过来,任意给一组三个有顺序的数,例如3、2、1,也可以用空间中的一个点 P来表示它们.同样,用一组数（a,b）可以表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示.于是在蜘蛛的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系. 有一点是可以肯定的,就是笛卡尔是个勤于思考的人.这个有趣的传说,就象瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样,说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中,很可能是受到周围一些事物的启发,触发了灵感. 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：数轴的概念 1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。 2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 3.数轴的画法 （1）第一步：画一条直线（通常画成水平的）； （2）第二步：在这条直线上描上一个点作为原点，用这个点表示0； （3）第三步：在这条直线的右末端画上箭头，用来表示正方向； （4）第四步：根据实际需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 这样，数轴就画好了。 名师点拨 （1）关于正方向：一般规定向右为正方向，这是习惯，当然也可以根据实际需要规定其它方向为正方向． （2）关于单位长度：数轴定义中是“单位长度”，与我们通常说的“长度单位”是不同的，我们通常说的“长度单位”主要有“米”，“厘米”，“分米”，“千米”等，选取“单位长度”意思是是根据需要选取的代表“1”的一个线段． （3）原点的位置、正方向的选取、单位长度的大小可以根据实际需要适当选取． （4）标注数轴上的数据时可以根据实际需要每10个或每100个等标注． 知识点2：数轴上的点与数的对应关系 数轴上的点可以表示一个数，一个数也可以用数轴上的一个点表示。 名师点拨 （1） 一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2） 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可以表示其他数（无理数），比如等． 知识点3：有理数的大小比较 1.可以将有理数a，b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种： 两个数a,b的大小关系 两个点的位置关系 2. （1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 3. 对于有理数 a，b，下列三种关系有且只有一种成立: ,, 4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。 ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， 所以，一定在的右边，即。 同理，我们可以得到如果,那么就有。 5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性： （1）如果,那么就有。 （2）如果,那么就有。 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 数轴的概念 下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 题型2 数轴的画法 下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3 根据数画出数轴上对应的点 若，则实数a在数轴上对应的点的位置是（　　） A．B． C．D． 题型4 数轴上整数的个数问题 一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 题型5 数轴上定长线段覆盖的整数点问题 数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为，若在数轴上随意画一条长为线段，则线段盖住的整点的个数为(    ) A．100 B．99 C．99或100 D．100或101 题型6 数轴上点跳动问题 一只跳虫在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度，……依此规律跳下去，当它跳第30次落下时，落点处表示的数是 ． 题型7 利用数轴比较有理数大小问题 在、0、、1这四个数中，最大的数和最小的数分别是是 、 题型8 数轴综合问题 数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，，，，0，2.5， (1)在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E； (2)比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来； ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ (3)有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由． 题型9 找出几个有理数中最小数或最大数 在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 题型10 找出不在某个范围内的数 不是与之间的数是（    ） A． B． C． D． 题型11 根据有理数的大小关系判断对应点的位置关系 若有理数，在数轴上点M表示数m，点N表示数n，则下列说法正确的是（    ） A．点M在点N的右边 B．点M在点N的左边 C．点M在原点的右边，点N在原点的左边 D．点M和点N都在原点的右边 题型12 数轴上被墨水覆盖问题 小明发现一个被墨水污染的数轴如图所示，则被墨迹盖住部分的整数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型13 根据字母与数的位置关系写数 如图，数轴上的两个点分别表示数和，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．0 题型14 借助数轴比较几个有理数的大小关系 在数轴上表示下列各数：1，0，，2.5，，4并用“”把它们连接起来． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共16小题） 1．下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 2．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．数轴上表示的点在原点的（   ） A．右侧 B．左侧 C．原点上 D．不能确定 4．如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 6．在数轴上，位于和3之间的点表示的有理数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 7．如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有（    ）个． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 9．在有理数2，，，0中，最小的数是（    ） A．2 B． C． D．0 10．下列四个数字，比大的是（    ） A．0 B． C． D． 11．下列各组数中，大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 12．下列各数中，最大的数是（　　） A． B． C．0 D．2 13．大于的整数有（    ） A．5个 B．10个 C．无数个 14．直线上点表示，点表示，则（    ） A．点在点右边 B．点在点左边 C．点与点重合 D．无法确定 15．在有理数，，，中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 16．若规定表示大于x的最小整数，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共16小题） 1．我们把规定了 、 、 的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是 数，原点右边的点表示的数都是 数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等． 2．如图，是数轴的有 个． ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 3．如图，在数轴有A、B两点，点A表示的数是，若，则点B表示的数是 ． 4．在数轴上把5对应的点移动3个单位长度后所得的对应点表示的数是 ． 5．在下面的直线上标出、、1、这四个数及对应的点，其中离0点最远的是 ． 6．在数轴上，若点P表示，则距P点3个单位长的点表示的数是 ． 7．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段，则盖住的整数点的个数共有 个． 8．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 9．比较大小： （选填“>”、“<”或“=”）． 10．银川某天四个时刻的气温分别是，，，，其中气温最低的是 ． 11．在数轴上，大于且小于4的整数是 ． 12．在、0、、1这四个数中，最大的数和最小的数分别是是 、 13．写出一个比大的负分数 ． 14．比小的最大整数是 ． 15．用“”“”“”号填空： ． 16．大于而小于的整数共有 个． 三、解答题（本大题共9小题） 1．请把下面不完整的数轴补充完整，把下列各数：，，，在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 2．操作与探索： (1)如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数． (2)请你自己画出数轴并表示有理数：，3． (3)如图，观察数轴，回答下列问题： ①大于并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上表示到的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？ 3．如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 4．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中． (1)若点C为原点，，则点A，B所对应的数分别为______，______； (2)若点B为原点，，则点A，C所对应的数分别为______，______； (3)若原点O到点C的距离为8，且，求点A所表示的数． 5．把下列数标在数轴上：，并用“”号将各数连起来． 6．已知下列各有理数：，3，，， (1)在数轴上标出这些数表示的点： (2)用“”号把这些数连接起来： ； (3)请将以上各数填到相应的横线上：正有理数： ；负有理数： ． 7．请你把，，，，0按从小到大的顺序在图中串成糖葫芦状．（数写在○内的横线上） 8．画出数轴并回答问题． (1)把下列各数表示在数轴上：； (2)用“<”把（1）中的五个数连接起来． 9．画出数轴，并解答下列问题： (1)在数轴上表示下列各数： ，3，5， ，； (2)利用数轴比较上面各数的大小，并用“”连接． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科2024新版第二章 有理数 2.2 数轴 瞄准学习目标：让你知己知彼，百战不殆 1.知道数轴的概念，了解数轴的三要素，会根据实际需要正确地画出一条合适的数轴； 2.会把一个数对应的点正确地画在数轴上，会从数轴上正确地读取一个点表示的数； 3.会利用数轴比较两个有理数的大小； 4.初步了解数轴是数形结合思想的基本工具。 理清思维导图：让你运筹帷幄，决胜千里 挖掘数学文化：让你了解数学背后的故事 听数学家谈数学——数轴是哪位大神发明的？1.勒内·笛卡尔（1596年–1650年），1596年3月31日生于法国，1650年2月11日逝世，法国哲学家、数学家、物理学家。他被认为是解析几何之父。 2.数轴、平面直角坐标系的发明小故事： 有一天,笛卡尔生病卧床,但他头脑一直没有休息,在反复思考一个问题：几何图形是直观的,而代数方程则比较抽象,能不能用几何图形来表示方程呢?这里,关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩.他就拼命琢磨.通过什么样的办法、才能把“点”和“数”联系起来.突然,他看见屋顶角上的一只蜘蛛,拉着丝垂了下来,一会儿,蜘蛛又顺着丝爬上去,在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”,使笛卡尔思路豁然开朗.他想,可以把蜘蛛看做一个点,它在屋子里可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢?他又想,屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线,如果把地面上的墙角作为起点,把交出来的三条线作为三根数轴,那么空间中任意一点的位置,不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗?反过来,任意给一组三个有顺序的数,例如3、2、1,也可以用空间中的一个点 P来表示它们.同样,用一组数（a,b）可以表示平面上的一个点,平面上的一个点也可以用一组二个有顺序的数来表示.于是在蜘蛛的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系. 有一点是可以肯定的,就是笛卡尔是个勤于思考的人.这个有趣的传说,就象瓦特看到蒸汽冲起开水壶盖发明了蒸汽机一样,说明笛卡尔在创建直角坐标系的过程中,很可能是受到周围一些事物的启发,触发了灵感. 考点详解：让您快速掌握每个考点 知识点1：数轴的概念 1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。 2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。 3.数轴的画法 （1）第一步：画一条直线（通常画成水平的）； （2）第二步：在这条直线上描上一个点作为原点，用这个点表示0； （3）第三步：在这条直线的右末端画上箭头，用来表示正方向； （4）第四步：根据实际需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 这样，数轴就画好了。 名师点拨 （1）关于正方向：一般规定向右为正方向，这是习惯，当然也可以根据实际需要规定其它方向为正方向． （2）关于单位长度：数轴定义中是“单位长度”，与我们通常说的“长度单位”是不同的，我们通常说的“长度单位”主要有“米”，“厘米”，“分米”，“千米”等，选取“单位长度”意思是是根据需要选取的代表“1”的一个线段． （3）原点的位置、正方向的选取、单位长度的大小可以根据实际需要适当选取． （4）标注数轴上的数据时可以根据实际需要每10个或每100个等标注． 知识点2：数轴上的点与数的对应关系 数轴上的点可以表示一个数，一个数也可以用数轴上的一个点表示。 名师点拨 （1） 一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2） 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可以表示其他数（无理数），比如等． 知识点3：有理数的大小比较 1.可以将有理数a，b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种： 两个数a,b的大小关系 两个点的位置关系 2. （1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大； （2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 3. 对于有理数 a，b，下列三种关系有且只有一种成立: ,, 4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。 ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， ，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边， 所以，一定在的右边，即。 同理，我们可以得到如果,那么就有。 5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性： （1）如果,那么就有。 （2）如果,那么就有。 经典例题：为你快速找到，航行灯塔 题型1 数轴的概念 下列说法中正确的是（    ） A．规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非负数 C．数轴上单位长度可以不一致 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】解：A、规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故不符合题意； B、数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数，故不符合题意； C、数轴上单位长度必须一致，故不符合题意； D、任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的点，故符合题意． 故选：D． 题型2 数轴的画法 下面是四名同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．据此对各选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A．数轴上的点应该越向右越大，与位置颠倒，故此选项不符合题意； B．没有原点，故此选项不符合题意； C．没有正方向，故此选项不符合题意； D．数轴画法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 题型3 根据数画出数轴上对应的点 若，则实数a在数轴上对应的点的位置是（　　） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据实数与数轴上的点是一一对应的关系求解即可得． 【详解】解：A、由数轴可知，，则此项不符合题意； B、由数轴可知，，则此项不符合题意； C、由数轴可知，，则此项不符合题意； D、由数轴可知，，则此项符合题意； 故选：D． 题型4 数轴上整数的个数问题 一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（    ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示，熟练掌握数轴上有理数的表示是解题的关键． 根据数轴上有理数的表示可进行求解． 【详解】解：由数轴可知：被墨迹盖住的整数有，，，，，，，，，0，1，2，3共13个； 故选：B． 题型5 数轴上定长线段覆盖的整数点问题 数轴上表示整数的点叫整点，某数轴单位长度为，若在数轴上随意画一条长为线段，则线段盖住的整点的个数为(    ) A．100 B．99 C．99或100 D．100或101 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的实际应用，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点的个数可能正好是个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是个． 【详解】解：依题意得： ①当线段起点在整点时覆盖个数， ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖个数． 故选：D． 题型6 数轴上点跳动问题 一只跳虫在数轴上从原点开始，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度，……依此规律跳下去，当它跳第30次落下时，落点处表示的数是 ． 【答案】 【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”，依据规律计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型7 利用数轴比较有理数大小问题 在、0、、1这四个数中，最大的数和最小的数分别是是 、 【答案】 1 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是，最小的数是 故答案为：1，． 题型8 数轴综合问题 数轴上的点A、B、C、O、D、E分别表示3，，，，0，2.5， (1)在图所示的数轴上画出点A、B、C、O、D、E； (2)比较这六点所表示的数的大小，用“＜”号连接起来； ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ (3)有同学说：“这六个点中，其中有两个点之间的距离恰好与另外两个点之间的距离相等”，你觉得这位同学的说法正确吗？请你作出判断，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，，，0，2.5，3 (3)对．理由见解析 【分析】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案； （3）根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案． 【详解】（1）解：如图； （2）解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得 ， 故答案为：，，，0，2.5，3； （3）解：对． 与之间距离等于2.5与3之间距离都是0.5． 或者与之间距离等于2.5与0之间距离是2.5． 题型9 找出几个有理数中最小数或最大数 在，，，这四个数中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于；②负数都小于；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．根据“负数正数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小”可得答案． 【详解】解：∵， ∴在，，，这四个数中，最小的数是， 故选：． 题型10 找出不在某个范围内的数 不是与之间的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数大小的比较，两个负数，绝对值大的反而小，比较出这几个数的大小即可判断． 【详解】解：由于， 则， 表明不是与之间的数， 故选：C． 题型11 根据有理数的大小关系判断对应点的位置关系 若有理数，在数轴上点M表示数m，点N表示数n，则下列说法正确的是（    ） A．点M在点N的右边 B．点M在点N的左边 C．点M在原点的右边，点N在原点的左边 D．点M和点N都在原点的右边 【答案】A 【分析】本题主要是考查有理数的大小比较，根据数轴上右边的数总比左边的数大，可得出结果．理解数轴上的有理数的大小比较，是解题的关键． 根据数轴上的数从左到右依次增大，进行判断即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上点M表示数m，点N表示数n， ∴点M在点N的右边，故A符合题意；B不符合题意． 无法判断点M，N在原点的左边还是右边，故C、D不符合题意． 故选：A． 题型12 数轴上被墨水覆盖问题 小明发现一个被墨水污染的数轴如图所示，则被墨迹盖住部分的整数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查比较有理数大小，根据数轴上的数右边的比左边的大，求出墨水污染的范围，进而求出整数的个数即可． 【详解】解：由图可知，墨迹盖住部分的范围为（不含端点）， ∴被墨迹盖住部分的整数有，共4个； 故选D． 题型13 根据字母与数的位置关系写数 如图，数轴上的两个点分别表示数和，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据数轴得：， 各选项只有符合． 故选：C． 题型14 借助数轴比较几个有理数的大小关系 在数轴上表示下列各数：1，0，，2.5，，4并用“”把它们连接起来． 【答案】数轴见解析； 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．先在数轴上表示各数，再利用右边的点表示的数比左边的大写出结果即可． 【详解】解：数轴如下： ∴． 培优训练：让你一飞冲天，一鸣惊人 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义，数轴上的点和有理数的对应关系，①考查数轴三要素：原点，正方向，单位长度．②④数轴上的点和有理数的对应关系．③π不是有理数． 【详解】解：数轴三要素：原点，正方向，单位长度，①错误． 每个有理数都能用数轴上一个点表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一个点，②④正确． 不是有理数，且可以在数轴上表示出来，③错误． 故选：B． 2．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的知识，熟练掌握数轴的基本要素是解题关键．规定了原点、正方向和规定长度的直线叫数轴，数轴的三要素缺一不可，据此分析判断即可． 【详解】解：A.没有原点，故此选项错误，不符合题意； B.单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意； C.没有正方向，故此选项错误，不符合题意； D.符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 3．数轴上表示的点在原点的（   ） A．右侧 B．左侧 C．原点上 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的知识，（1）数轴上原点右边的数都大于0，左边的数都小于0；（2）数轴上各点到原点的距离是这个数的绝对值． 根据数轴的特点及距离的定义解答即可． 【详解】解：数轴上表示的点在原点左侧，距原点的距离是4个单位长度． 故选B． 4．如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 先用数轴上的点表示出和n，再根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数，求解即可． 【详解】解：将n，用数轴 上的点表示如图所示， ∴． 故选：D． 5．如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，解题的关键是用数形结合的思想去解题． 先计算出点A、B表示的数，再与比较大小，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，数轴上点C表示的数是2，点A，B到点C的距离均为4个单位长度， ∴点A表示的数为，点，B表示的数为， ∵， ∴数轴上表示的点落在点A左侧， 故选：A． 6．在数轴上，位于和3之间的点表示的有理数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数和数轴的知识，能够掌握有理数所指的数的范围是解题的关键．根据有理数的定义，结合数轴解答即可． 【详解】解：∵有理数包括整数和分数， ∴在和3之间的有理数有无数个，如，0，1，，等等． 故选：D． 7．如图，四个点将数轴上与5两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了等分点和实数与数轴上的点一应，根据题目中的条件，可以把四个点分别求出来，即可判断． 【详解】解：数轴上与5两点间的线段的长度为， 平均每条线段的长度为：， 所以，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， 因此，位置最靠近原点的是点C， 故选：C． 8．小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定墨迹盖住部分的整数共有（    ）个． A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键．根据数轴的单位长度，即可判断墨迹盖住部分的整数． 【详解】解：由图可知，左边盖住的整数数值是； 右边盖住的整数数值是2，3； 墨迹盖住部分的整数共有个． 故选：B． 9．在有理数2，，，0中，最小的数是（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的比较大小，解题的关键是熟练掌握有理数比较大小的方法．正数大于零大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．根据有理数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：， 在有理数2，，，0中，最小的数是． 故选：C． 10．下列四个数字，比大的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的，反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴比大的是0， 故选A． 11．下列各组数中，大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数比较大小，有理数大小比较的法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小．据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C 12．下列各数中，最大的数是（　　） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】 ∴最大的数是2 故选：D． 13．大于的整数有（    ） A．5个 B．10个 C．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正整数和0大于负数，且正整数有无数个即可得到答案． 【详解】解：由于正整数和0都大于负数，而正整数有无数个， ∴大于的整数有无数个， 故选：C． 14．直线上点表示，点表示，则（    ） A．点在点右边 B．点在点左边 C．点与点重合 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是两个负数的大小比较，根据两个负数，绝对值大的反而小可得答案； 【详解】解：∵，，而， ∴， ∴点在点右边， 故选:A. 15．在有理数，，，中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据绝对值大的负数，其值反而小，判断出最大的负数是哪个即可． 【详解】解：， ∴ ∴最大， 故选：B． 16．若规定表示大于x的最小整数，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，符合题意； B、，选项正确，不符合题意； C、，选项正确，不符合题意； D、，选项正确，不符合题意； 故选A． 二、填空题（本大题共8小题） 1．我们把规定了 、 、 的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是 数，原点右边的点表示的数都是 数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等． 【答案】 原点 正方向 单位长度 负 正 【分析】根据数轴的定义即可求解． 【详解】我们把规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是负数，原点右边的点表示的数都是正数． 故答案为：原点，正方向，单位长度，负，正． 2．如图，是数轴的有 个． ①    ②    ③ ④    ⑤    ⑥ 【答案】1 【分析】根据数轴的定义和三要素逐一判断即可． 【详解】解：①不是数轴，没有正方向； ②不是数轴，没有单位长度； ③不是数轴，-1，-2，-3的位置错误； ④不是数轴，没有原点； ⑤不是直线； ⑥是数轴； 所以只有⑥是数轴，有1个． 故答案为：1． 3．如图，在数轴有A、B两点，点A表示的数是，若，则点B表示的数是 ． 【答案】2024 【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解．根据，求出，继而可以求出点B表示的数． 【详解】解：∵，点A表示的数是， ∴， ∵点B在O点右侧， ∴点B表示的数为：， 故答案为：2024． 4．在数轴上把5对应的点移动3个单位长度后所得的对应点表示的数是 ． 【答案】2或8 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键． 分两种情况讨论，表示5的点向右移动3个单位或向左移动3个单位，分别求出移动后的点表示的数即可． 【详解】解：将表示5的点向右移动3个单位得到数8， 将表示5的点向左移动3个单位得到数2， 故答案为：2或8． 5．在下面的直线上标出、、1、这四个数及对应的点，其中离0点最远的是 ． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，在数轴上正确表示是解题关键．在数轴上表示出各点，再找出离0点最远的点即可． 【详解】解：四个数及对应的点如下图： 离0点最远的是， 故答案为：． 6．在数轴上，若点P表示，则距P点3个单位长的点表示的数是 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查数轴上的点表示数． 分两种情况：①若所求的点在点P的左侧，②若所求的点在点P的右侧，分别求解即可． 【详解】解：分两种情况： ①若所求的点在点P的左侧，则表示的数为：， ②若所求的点在点P的右侧，则表示的数为：， ∴距P点3个单位长的点表示的数是或1． 故答案为：或1 7．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长10厘米的线段，则盖住的整数点的个数共有 个． 【答案】11或10 【分析】本题主要考查了数轴的实际应用，学生一时想不出来，可以动手亲自画一画．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为10厘米的线段，则线段盖住的整点的个数可能正好是11个，当线段起点不在整点，那就是10个． 【详解】解：依题意得：①当线段起点在整点时覆盖个数； ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故答案为：11或10． 8．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 【答案】5或11 【分析】本题考查了数轴，根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键．分两种情况：当点A落在B点的左侧时和当点A落在B点的右侧时，可求出点A的对应点所表示的数，再利用中点公式即可求解． 【详解】解：设是点的对应点，由题意可知点是和的中点， 当点在的右侧，， 表示的数为， C表示的数为：；， 当点在的左侧，， 表示的数为， C表示的数为：， 故答案：5或11． 9．比较大小： （选填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数比较大小，根据题意得，，，即可得，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：>． 10．银川某天四个时刻的气温分别是，，，，其中气温最低的是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的大小比较， 正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，根据有理数的大小比较的方法可得答案． 【详解】解：根据题意：，， ∴ ∴， ∴其中气温最低的是， 故答案为：． 11．在数轴上，大于且小于4的整数是 ． 【答案】，0，1，2，3 【分析】本题考查了有理数大小比较，注意零也是整数． 【详解】解：在数轴上，大于且小于4的整数为，0，1，2，3， 故答案为：，0，1，2，3． 12．在、0、、1这四个数中，最大的数和最小的数分别是是 、 【答案】 1 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是，最小的数是 故答案为：1，． 13．写出一个比大的负分数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的大小比较法则即可得出答案． 此题考查了有理数的大小比较，掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】解：根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，如：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 14．比小的最大整数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较，正确理解最大整数定义是解题关键．根据有理数大小比较即可得比小的最大整数是． 【详解】解：比小的最大整数是． 故答案为：． 15．用“”“”“”号填空： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是掌握两个负数大小的比较，绝对值大的其值反而小．根据两个负数，绝对值大的其值反而小即可比较． 【详解】解： ，，而， ． 故答案为：． 16．大于而小于的整数共有 个． 【答案】7 【分析】本题主要考查有理数大小的比较，根据正数负数进行判断即可． 【详解】解：根据有理数比较大小的方法，可得： 大于而小于的整数有：、、、、0、1、2，共7个． 故答案为：7． 三、解答题（本大题共9小题） 1．请把下面不完整的数轴补充完整，把下列各数：，，，在数轴上表示出来，并用“”连接起来． 【答案】数轴见解析，． 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较．先画好数轴，再在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【详解】解∶如图所示∶    ∴． 2．操作与探索： (1)如图，写出数轴上点A，B，C，D表示的数． (2)请你自己画出数轴并表示有理数：，3． (3)如图，观察数轴，回答下列问题： ①大于并且小于3的整数有哪几个？ ②在数轴上表示到的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②，1 【分析】本题考查数轴、有理数，关键是能利用数轴表示各数的大小． （1）根据数轴的知识，准确的读出数轴上的点A、B、C、D表示的数； （2）根据数轴上数的特点，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，准确的画出数值，3在数轴上的位置； （3）①根据数轴的知识，从数轴上找到大于并且小于3的整数；②到表示的点的距离等于2个单位长度的点可能在的左边也可能在的右边，从而找到这些点表示的数． 【详解】（1）解：A、B、C、D表示的数分别是； （2）解：如图所示： （3）解：①由数轴得，大于并且小于3的整数有5个：； ②在数轴上到表示到的点的距离等于2个单位长度的点表示的数是；． 3．如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 【答案】(1) (2) (3)见解析，三种 【分析】本题考查了数轴，牢记数轴上点的移动规律：向左移动减，向右移动加是解题关键． （1）根据向右移动加，求出点A表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向左移动减，求出点B、C表示的数，然后作出判断即可； （3）根据要使三个点表示的数相同，由向左移动减，向右移动加，在三个点中任取两点，使得三点中的两个点到另外一点，由此写出所有移动的方法即可． 【详解】（1）点A向右移动4个单位长度后，表示的数是0， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （2）点B向左移动2个单位长度后，表示的数是，C点向左移动8个单位后，表示的数是， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最大，是； （3）有三种移动方法： ①点A向右移动6个单位长度，点B向右移动3个单位长度； ②点A向右移动3个单位长度，点C向左移动3个单位长度； ③点B向左移动3个单位长度，点C向左移动6个单位长度． 4．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中． (1)若点C为原点，，则点A，B所对应的数分别为______，______； (2)若点B为原点，，则点A，C所对应的数分别为______，______； (3)若原点O到点C的距离为8，且，求点A所表示的数． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】本题考查了数轴，线段的和差，解决本题的关键是掌握数轴的概念． （1）根据数轴上的点对应的数即可求解； （2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解； （3）根据原点在点的距离确定点对应的数，分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵点为原点，， ∴所对应的数为， ∵， ∴， ∴所对应的数为． （2）解：∵点B为原点，，， ∴，， ∴所对应的数为，所对应的数为． （3）解：∵原点O到点C的距离为8， ∴所对应的数为， ∵， ∴， 当所对应的数为时， ∵，， ∴， ∴点所对应的数为， 当所对应的数为时， ∵，， ∴， ∴点所对应的数为． 5．把下列数标在数轴上：，并用“”号将各数连起来． 【答案】见解析， 【分析】本题考查数轴、有理数大小比较： 先在数轴上表示出各数，再根据数轴上右边的数总比左边的数大，可得答案． 【详解】解：如图所示： 从大到小的顺序为：． 6．已知下列各有理数：，3，，， (1)在数轴上标出这些数表示的点：    (2)用“”号把这些数连接起来： ； (3)请将以上各数填到相应的横线上：正有理数： ；负有理数： ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，；，， 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较等知识点，能正确在数轴上表示出各个数是解此题的关键． （1）把各数在数轴上表示出来即可； （2）按各数由小到大用“<”连接起来即可； （3）根据有理数的分类进行求解即可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示各点如下：    （2）解：用“”号把这些数连接起来：， （3）解：正有理数有：，；负有理数有：，， 7．请你把，，，，0按从小到大的顺序在图中串成糖葫芦状．（数写在○内的横线上）    【答案】；；0；； 【分析】根据比较有理数大小的方法，先比较5个数的大小，然后再填在横线上即可． 【详解】解：∵， ∴数写在○内的横线上，如图所示：    8．画出数轴并回答问题． (1)把下列各数表示在数轴上：； (2)用“<”把（1）中的五个数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据数轴的定义在数轴上表示出各数即可； （2）根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大可得答案． 【详解】（1）解：数轴如下： （2）解：由（1）可得，． 9．画出数轴，并解答下列问题： (1)在数轴上表示下列各数： ，3，5， ，； (2)利用数轴比较上面各数的大小，并用“”连接． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）画出数轴，在数轴上表示各数即可； （2）根据数轴，数轴从左往右越来越大，排序即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）按照大小排序如下：． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$