13.1 命题与证明（11大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（冀教版）

第十三章 全等三角形 13.1 命题与证明（11大题型提分练） 知识点01：定义与命题 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 知识点02：证明 证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。 题型一 判断是否是命题 1．（23-24八年级下·广东湛江·期中）下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列语句是命题的是(   ) A．画出两个相等的线段 B．所有的同位角都相等吗 C．延长线段到，使得 D．邻补角互补 3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）“你喜欢数学吗？”这句话 命题．（填“是”或者“不是”） 4．（23-24八年级上·浙江·期中）下面语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；以上语句不是命题的是 . 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ (1)将27开立方． (2)任意三角形的三条中线相交于一点吗？ (3)锐角小于直角． (4)（a为实数）． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）阅读下面这段叙述：地壳中存在三种不同的应力——剪切力、张力和压力．亿万年来，剪切力、张力和压力一直在改变着岩石的形状和体积，在地壳应力的作用下，有些岩石碎裂了，有些则像被太阳暴晒后变软的沥青一样，慢慢弯曲． 要读懂这段叙述，你认为哪些名称和术语需给出定义？ 题型二 判断命题真假 1．（23-24八年级上·广东佛山·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（22-23八年级上·重庆巴南·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）命题“如果，那么”，则它的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 4．（23-24八年级上·安徽黄山·期末）下列三个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③两直线平行，同位角相等．其中是假命题的有 ．（填序号） 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)一个锐角与一个钝角的和是； (2)若，则或； (3)若，则； (4)有公共顶点且相等的角是对顶角； (5)倒数等于它本身的数是1． 6．（23-24八年级上·福建漳州·期中）（1）如图，“若，则”该命题是______（填“真命题”或“假命题”）．    （2）若上述命题为真命题，请说明理由；若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由． 题型三 举例说明假（真）命题 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列能说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（　　） A．8 B．7 C．6 D．4 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知命题“关于x的方程必有解”，能说明这个命题是假命题的一个反例是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·浙江温州·期中）证明“若，则”是假命题的反例可以是 ．（写一个即可） 4．（2023八年级上·全国·专题练习）举例说明命题“如果，那么”的逆命题为假命题 ． 5．（123-24八年级上·浙江·课后作业）观察如图所示的图形的特征，请命名并做出定义． 6．（2023·浙江杭州·一模）锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，点E在边AB上． ①如果DE∥BC，那么DE＝BC ②如果DE＝BC，那么DE∥BC． 判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．    题型四 写出命题的题设与结论 1．（2023八年级上·全国·专题练习）命题“等角的余角相等”中的余角是（　　） A．结论的一部分 B．题设的一部分 C．既不属于结论也不属于题设 D．同属于题设和结论部分 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（    ） A．如果两个角互余，那么这两个角相等 B．如果两个角相等．那么这两个角互为余角 C．如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等 D．如果两个角互余，那么这两个角的余角相等 3．（23-24八年级上·北京·期末）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 ． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”的题设是 ，结论是 ． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)等角的补角相等； (2)若，，则． 6．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题． 题型五 根据给出的论断组命题并证明 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·期末）下列几个命题中正确的个数为（    ） ①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6）； ②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们的平均分为95，众数为92； ③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定； ④某部门15名员工个人年创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错. 个人年创利润/万元 10 8 5 3 员工人数 1 3 4 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知，，．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是 ．（填序号） 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举一反例． 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①． （1）在构成的三个命题中，真命题有________个； （2）请选择其中一个真命题加以证明． 题型六 写出命题的逆命题 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列定理中，没有逆定理的是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同旁内角互补 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．无理数是无限小数 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 5．（2023八年级上·全国·专题练习）写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (1)内错角相等． (2)若两个角相加等于180°，则这两个角互为邻补角． 6．（23-24八年级上·广西百色·期中）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)若，则； (3)末位数字是0的数一定能被5整除． 题型七 定理与证明 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A．a＝1 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞0 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）定理1：同角（等角）的补角 ；定理2：同角（等角）的余角 ；定理3：三角形的任意两边之和 第三边；定理4：对顶角 ． 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 题型八 互逆定理 1．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 2．（22-23八年级上·吉林长春·期中）下列说法，正确的是（　　） A．每个定理都有逆定理 B．真命题的逆命题都是真命题 C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题都是假命题 3．（23-24八年级上·浙江·期末）请写出一个存在逆定理的定理： ． 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 题型九 举反例 1．（23-24八年级上·河南新乡·期中）下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）能举反例说明命题“若，则”是假命题的例子是 ． 4．（23-24八年级上·江苏南京·期末）命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是 ， 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）判断下列命题的真假，并给出证明 （1）两个锐角的和是钝角； （2）若a＞b，则a2＞b2； 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例． (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行； (2)如果，那么． 题型十 以代数为背景的推理与论证 1．（22-23八年级上·湖南长沙·阶段练习）卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·北京海淀·模拟预测）为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）用一个平底锅烙饼（每次只能放两张饼），烙热一张饼2分钟（正反面各需一分钟），问烙热3张饼至少需 分钟． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（9）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，小奕同学第三轮的得分为 分． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 a a 27 小地 a b c 11 小奕 c b 10 5．（23-24八年级·全国·课后作业）由幂的乘方的性质得，类比这个等式，能得到也成立吗？ 6．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜． 温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】 （1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？ （2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？ （3）你可能得到的最高分是多少？ 题型十一 逻辑推理与论证 1．（23-24八年级下·江苏扬州·课后作业）在一次1500米的跑步比赛中，有如下的判断：甲说，“丙第一，我第三”；乙说，“我第一，丁第四”；丙说，“丁第二，我第三”．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2024七年级·全国·竞赛）某公寓有5层共8套房子，每层有一套或两套房子．住户住在不同的房子里．已知：（1）第一层和第三层各只有一套房子；（2）和不住在同一层，且住在的上一层；（3）住在的上一层；（4）和都住在只有一套房子的楼层里；（5）和不住在同一层；（6）和住在同一层．那么住在第四层的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2023八年级上·全国·专题练习）A、B、C、D、E五名学生猜测自己的数学成绩：A说：如果我得优，那么B也得优；B说：如果我得优，那么C也得优；C说：如果我得优，那么D也得优；D说：如果我得优，那么E也得优．大家说的都没有错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是 ． 4．（2023八年级上·江苏·专题练习）有一种“抢”的游戏，规则是：甲先说“”或“，”，当甲先说“”时，乙接着说“”或“，”；当甲先说“，”时，乙接着说“”或“，”，然后甲再接着按次序往下说一个或两个数，这样两个人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但不可以连说三个数，谁先抢到，谁就获胜．那么采取适当策略，其结果是 胜．（填“甲”或“乙”） 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）甲、乙、丙三人中一个是教师，一个是护士．一个是工人．现在只知道丙比工人年龄大，甲和护士不同岁，护士比乙年龄小．请你猜猜他们当中谁是教师，并说明理由． 6．（23-24八年级上·山东滨州·阶段练习）一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”请判断李四是老实人还是骗子？ 1．（22-23八年级上·浙江丽水·阶段练习）下列各数中可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C．   D． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）下列命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．同旁内角互补 C．两个锐角的和是钝角 D．如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行 3．（23-24八年级上·河南开封·期中）下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 4．（23-24八年级上·湖南衡阳·开学考试）甲、乙、丙、丁在比身高，甲说：“我最高。”乙说：“我不最矮。”丙说：“我没有甲高，但还有人比我矮。”丁说：“我最矮。”实际测量表明只有一人说错了，身高从高到低排第三位的是（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 6．（22-23八年级上·安徽安庆·阶段练习）命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 7．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是 ，结论是 ，这是一个 命题（填“真”或“假”）． 8．（23-24八年级·全国·假期作业）说明命题“若x<2，则>”是假命题的一个反例，则实数x的取值可以是 ． 9．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）在初一年级即将进行的冬之韵活动中，各种活动精彩纷呈，同学们积极参与.其中小升、小楠、小霞、小焱四位同学参加了①朗诵、②舞蹈、③表演、④演奏这四个项目，每人只能参加一个项目且四人参加的项目互不相同，已知小升参加了舞蹈、表演中的一个，小楠参加了朗诵、舞蹈中的一个，小霞参加了朗诵、表演中的一个，参加舞蹈的是小升或小焱中的其中一个，请你依次写出小升、小楠、小霞、小焱分别参加的项目名称所对应的数字编号为 10．（23-24八年级·全国·课后作业）字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 11．（23-24七年级·全国·单元测试）已知，求证：. 12．（23-24八年级·全国·假期作业）举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列语句，完成后面的题目． ①同类项的数字系数必相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③抗震救灾；④两直线平行，同旁内角互补；⑤两点之间的线段是这两点之间的距离；⑥今晚你去看电影吗？ （1）其中属于命题的是________，不属于命题的是________（填序号）； （2）其中属于真命题的是________（填序号）； （3）对于每个假命题，你是怎样判断的？ 14．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 15．（2023八年级上·江苏·专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 全等三角形 13.1 命题与证明（11大题型提分练） 知识点01：定义与命题 1.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。 2.命题：定义：判断某一件事情的句子 结构：由条件和结论两部分组成。 句式改写：如果……那么…… 分类：真命题 通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的 假命题 通过举反例(具备命题的条件但不具备命题的结论的实例) 3.互逆命题 原命题、逆命题 互逆定理 原定理、逆定理 每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题不一定是真命题。 知识点02：证明 证明：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理(包括推论)、一步一步推得结论成立的推理过程。 证明几何命题的格式：(1)按题意画出图形(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，在求证中写出结论(3)在证明中写出推理过程。 在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画成虚线。 题型一 判断是否是命题 1．（23-24八年级下·广东湛江·期中）下列语句是命题的是（    ） A．两直线被第三条直线所截 B．过直线外一点作这条直线的垂线 C．百家争鸣思想活跃 D．内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的概念，根据命题是能具有判定的语句，由题设和结论组成进行判定即可，掌握命题的概念是解题的关键． 【详解】解：A、两直线被第三条直线所截是陈述句，不是命题，不符合题意； B、过直线外一点作这条直线的垂线是陈述句，不是命题，不符合题意； C、百家争鸣思想活跃是陈述句，不是命题，不符合题意； D、内错角相等，题设是内错角，结论是相等，是命题，符合题意； 故选： D． 2．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列语句是命题的是(   ) A．画出两个相等的线段 B．所有的同位角都相等吗 C．延长线段到，使得 D．邻补角互补 【答案】D 【解析】根据命题的概念可得答案. 3．（23-24八年级上·河南郑州·期末）“你喜欢数学吗？”这句话 命题．（填“是”或者“不是”） 【答案】不是 【分析】根据命题的定义判断即可 【详解】命题是可以判断真假的陈述句，所以这句话不是命题 故答案为：不是 【点睛】本题考查命题的概念，把握命题概念的要点是关键 4．（23-24八年级上·浙江·期中）下面语句：①植物生长都需要水；②负数大于正数；③零既不是正数，也不是负数；④画直角三角形；以上语句不是命题的是 . 【答案】④ 【分析】根据命题的定义，注意进行判断，即可. 【详解】①植物生长都需要水,是命题； ②负数大于正数，是命题； ③零既不是正数，也不是负数，是命题； ④画直角三角形，不是命题； 故选④ 【点睛】本题主要考查命题的定义，理解命题是判断一件事情正确与否的句子，是解题的关键. 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ (1)将27开立方． (2)任意三角形的三条中线相交于一点吗？ (3)锐角小于直角． (4)（a为实数）． 【答案】(1)不是命题 (2)不是命题 (3)是命题 (4)是命题 【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可． 【详解】（1）解：将27开立方不是命题； （2）解：任意三角形的三条中线相交于一点吗？不是命题； （3）解：锐角小于直角是命题； （4）解：（a为实数）是命题． 【点睛】本题主要考查了命题的定义， 一般地，在数学中把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）阅读下面这段叙述：地壳中存在三种不同的应力——剪切力、张力和压力．亿万年来，剪切力、张力和压力一直在改变着岩石的形状和体积，在地壳应力的作用下，有些岩石碎裂了，有些则像被太阳暴晒后变软的沥青一样，慢慢弯曲． 要读懂这段叙述，你认为哪些名称和术语需给出定义？ 【答案】应力，剪切力、张力和压力 【分析】根据题意进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，应力，剪切力、张力和压力需要被定义． 【点睛】本题主要考查了命题与定义，正确理解题意是解题的关键． 题型二 判断命题真假 1．（23-24八年级上·广东佛山·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了真假命题，平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质一一判断即可. 【详解】解：．若，根据两直线平行，同位角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意； ．若，根据两直线平行，内错角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意； ．若，根据同位角相等，两直线平行，则，根据两直线平行，同位角相等，则，是真命题，故本选项不符合题意； ．若，根据内错角相等，两直线平行，则，无法推出, 是假命题, 故本选项符合题意； 故选：D． 2．（22-23八年级上·重庆巴南·期末）下列命题为假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 C．垂线段最短 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】根据对顶角相等、行线的性质、垂线段最短、平行公理判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，不符合题意． B、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项是假命题，符合题意． C.垂线段最短，是真命题，不符合题意． D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 3．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）命题“如果，那么”，则它的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】先写出该命题的逆命题，再进行真假判断即可得到答案． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题为：“如果，那么”， 由于如果，那么， 故此命题为假命题， 故答案为：假． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，先写出该命题的逆命题是解题的关键． 4．（23-24八年级上·安徽黄山·期末）下列三个命题：①对顶角相等；②同旁内角互补；③两直线平行，同位角相等．其中是假命题的有 ．（填序号） 【答案】② 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①对顶角相等，是真命题； ②两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； ③两直线平行，同位角相等，是真命题； 故答案为：②． 【点睛】本题考查命题的判断，对顶角的性质，平行线的性质，熟记各类定理是解题的关键. 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)一个锐角与一个钝角的和是； (2)若，则或； (3)若，则； (4)有公共顶点且相等的角是对顶角； (5)倒数等于它本身的数是1． 【答案】(1)假命题，理由见解析 (2)真命题 (3)假命题，理由见解析 (4)假命题，理由见解析 (5)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据锐角和钝角的概念判断； （2）根据有理数的乘法法则判断； （3）根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可； （4）根据对顶角的概念判断； （5）根据倒数的概念判断． 【详解】（1）一个锐角与一个钝角的和是，是假命题，例如：的角是锐角，的角是钝角，，不是； （2）若，则或，是真命题； （3）若，则则是假命题，例如：，而； （4）有公共顶点且相等的角是对顶角，是假命题，90°的角和它的邻补角有公共顶点且相等，但不是对顶角； （5）倒数等于它本身的数是1，是假命题，例如的倒数等于它本身的数是﹣1． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6．（23-24八年级上·福建漳州·期中）（1）如图，“若，则”该命题是______（填“真命题”或“假命题”）．    （2）若上述命题为真命题，请说明理由；若上述命题为假命题，请你再添加一条件，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】（1）假命题；（2）添加（答案不唯一）；证明见解析． 【分析】（1）本问考查真假命题的判定以及平行线的判定，利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）本问考查了平行线的性质和判定，正确利用平行线的判定方法求出即可． 【详解】解：（1）假命题； 由图形可知，既不是同位角也不是内错角，即使也不能得到，故该命题为假命题； 故答案为：假命题 （2）添加（答案不唯一）； ∵ ∴. 又∵ ∴， 即 ∴． 题型三 举例说明假（真）命题 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列能说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（　　） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了举例说明命题是假命题；观察是偶数，但不是4倍数的是6，即可得到答案． 【详解】解：观察各选项，6是偶数，但不是4的倍数， ∴能说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是6； 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）已知命题“关于x的方程必有解”，能说明这个命题是假命题的一个反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以举出反例，难度不大． 根据“一次方程无解的唯一可能是一次项系数为0”求解即可． 【详解】∵一次方程无解的唯一可能是一次项系数为0， ∴能说明命题“关于的方程必有解”是假命题的一个反例是． 故选：D． 3．（22-23八年级上·浙江温州·期中）证明“若，则”是假命题的反例可以是 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一）（a取小于的一个数即可） 【分析】根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：， ∵，但是， ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 4．（2023八年级上·全国·专题练习）举例说明命题“如果，那么”的逆命题为假命题 ． 【答案】如果，而（举例不唯一） 【分析】首先要写出原命题的逆命题，然后通过实例说明逆命题不成立即可． 【详解】解：如果，那么的逆命题是：如果，那么． 如果，而． 故如果，那么为假命题． 故答案为：如果，而（举例不唯一）． 【点睛】本题考查逆命题的相关知识，关键是能够写出原命题的逆命题． 5．（123-24八年级上·浙江·课后作业）观察如图所示的图形的特征，请命名并做出定义． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）根据图形可以判断是平行线,写出平行线定义即可,（2）根据图形可以判断是直角三角形,写出直角三角形定义即可. 【详解】解：(1)平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线； (2)直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 【点睛】本题考查了下定义,属于简单题,熟悉课本中的定义是解题关键. 6．（2023·浙江杭州·一模）锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，点E在边AB上． ①如果DE∥BC，那么DE＝BC ②如果DE＝BC，那么DE∥BC． 判断上述两个命题是否成立，若成立，请说明理由；若不成立，请举出反例．    【答案】成立，理由见解析 【分析】根据中位线定理和命题进行判断即可． 【详解】①∵锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，DE∥BC， ∴AE＝EB， 即DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC 故①正确； ②∵锐角三角形ABC中，AC＞BC，点D是边AC的中点，DE＝BC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC． 故②正确． 【点睛】此题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 题型四 写出命题的题设与结论 1．（2023八年级上·全国·专题练习）命题“等角的余角相等”中的余角是（　　） A．结论的一部分 B．题设的一部分 C．既不属于结论也不属于题设 D．同属于题设和结论部分 【答案】B 【分析】根据命题题设与结论的定义：题设是已知事项，结论是已知事项推出的事项，进行逐一判断即可． 【详解】解：“等角的余角相等”中题设是：两个等角的余角，结论是：相等， 故选B． 【点睛】本题主要考查了命题的题设与结论，熟知定义是解题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式，正确的是（    ） A．如果两个角互余，那么这两个角相等 B．如果两个角相等．那么这两个角互为余角 C．如果两个角相等，那么这两个角的余角也相等 D．如果两个角互余，那么这两个角的余角相等 【答案】C 【分析】根据任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，从而得出答案． 【详解】解：命题“等角的余角相等”的题设是“两个角相等”，结论是“这两个角的余角相等”． 故命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…”的形式是：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等． 故选择：C. 【点睛】此题考查了命题与定理，解答此题的关键是找出原命题的题设和结论，此题比较简单． 3．（23-24八年级上·北京·期末）将命题“同角的余角相等”，改写成“如果…，那么…”的形式 ． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可求解． 【详解】解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”的题设是 ，结论是 ． 【答案】 两条平行线被第三条直线所截 同位角相等 【分析】此题主要考查了命题与定理，命题有题设和结论两部分组成，命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 由命题的题设和结论的定义进行解答． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两条直线被第三条直线所截”，由已知事项推出的事项是“同位角相等”， 所以“两条直线被第三条直线所截”是命题的题设部分，“同位角相等”是命题的结论部分， 故答案为：两条直线被第三条直线所截；同位角相等． 5．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列命题的条件是什么？结论是什么？ (1)等角的补角相等； (2)若，，则． 【答案】(1)条件：两个角是一对等角的补角，结论：这两个角相等 (2)条件：，，结论： 【分析】本题主要考查了命题的基本性质，每个命题都有条件和结论，通过条件而得出结论，即为真命题，反之，即为假命题． 根据命题的基本性质，从题目中得出条件和结论分别是什么． 【详解】（1）原命题改写为：如果两个角是一对等角的补角，那么这两个角相等． 条件：两个角是一对等角的补角． 结论：这两个角相等． （2）条件：，． 结论：． 6．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题． 【答案】(1)见解析； (2)假命题． 【分析】（）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答； （）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可； 【详解】（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；是假命题， 反例：，但，假命题． 题型五 根据给出的论断组命题并证明 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质，分析判断即可得到答案. 【详解】解：A、直角三角形两个锐角度数不明确，不能比较大小，故本项错误； B、由两边和大于第三边，得到，本项正确； C、由，则，本项正确； D、由勾股定理可知，，本项正确； 故选择：A. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质. 2．（23-24八年级上·全国·期末）下列几个命题中正确的个数为（    ） ①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件（骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6）； ②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们的平均分为95，众数为92； ③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定； ④某部门15名员工个人年创利润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错. 个人年创利润/万元 10 8 5 3 员工人数 1 3 4 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】分别根据中位数、众数、平均数、方差等公式以及性质分别计算分析得出即可． 【详解】①“掷一枚均匀骰子,朝上点数为负”为不可能事件(骰子上各面点数依次为1,2,3,4,5,6)，故此选项错误； ②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们平均分为95，众数为92，故此选项正确； ③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中甲较乙更稳定，故此选项错误； ④根据某部门15名员工个人年创利润数据，第7个与第8个数据平均数是中位数， 故“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”，故此选项错误， 故正确的有1个. 故选；A. 【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握各性质定理. 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知，，．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据SSS证明△ABD△FEC，由全等三角形性质，对选项进行分析判断即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴BD=EC， ∵，， ∴△ABD△FEC（SSS）， ∴∠A=∠F，∠B=∠E，∠ADB=∠FCE， ∴，， 所以①②③都正确， 故答案为①②③. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质. 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举一反例． 【答案】真命题，见解析. 【分析】根据角平分线定义，得到，然后利用AAS证明，然后即可得到. 【详解】解：真命题． 已知，如图，点在的平分线上，且于点，于点． 求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． 又∵，（已知）， ∴（垂直的定义）． 在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法. 6．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，相交于点，连接，①，②，③．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①． （1）在构成的三个命题中，真命题有________个； （2）请选择其中一个真命题加以证明． 【答案】（1）2；（2）选择①②③，见解析. 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS，ASA即可判断； （2）选择①②③，根据全等三角形的判定定理AAS，得到，然后即可得到. 【详解】解：（1）①②③，满足全等三角形判定定理AAS，是真命题； ①③②，满足全等三角形判定定理ASA，是真命题； ②③①，是SSA，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题； 故答案为2； （2）选择①②③． 证明：在和中， ∴． ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键. 题型六 写出命题的逆命题 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列定理中，没有逆定理的是（ ） A．两直线平行，同位角相等 B．对顶角相等 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同旁内角互补 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A项，两直线平行，同位角相等的逆命题是：同位角相等，两直线平行，是真命题，即A项有逆定理； B项，对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角，是假命题，即B项没有逆定理； C项，全等三角形的对应边相等的逆命题是：对应边相等的两个三角形是全等三角形，是真命题，即C项有逆定理． D项，两直线平行，同旁内角互补的逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，即D项有逆定理． 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．无理数是无限小数 C．全等三角形的对应角相等 D．若，则 【答案】D 【分析】先写出逆命题，再根据无理数的定义，全等三角形的性质于判定，乘方的意义，平方差公式判断正误即可． 本题考查了命题的真假，逆命题，无理数的定义，全等三角形的性质于判定，乘方的意义，平方差公式，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题． 【详解】解：A．若，则是若，则，故错误，故逆命题是假命题； B．无理数是无限小数的逆命题是无限小数是无理数，故错误，故逆命题是假命题； C．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，故错误，故逆命题是假命题； D．若，则的逆命题是若，则，正确，故逆命题是真命题； 故选：D． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查了逆命题，根据题意进行解答即可得． 【详解】解：如果，那么的逆命题是如果，那么， 故答案为：如果，那么． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查了命题的逆命题，掌握逆命题的定义是解题的关键． 根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换即可．互逆命题的定义：如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题，如把其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题． 【详解】“如果，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 5．（2023八年级上·全国·专题练习）写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假． (1)内错角相等． (2)若两个角相加等于180°，则这两个角互为邻补角． 【答案】(1)内错角相等的逆命题是相等的角是内错角，逆命题是假命题，原命题是假命题 (2)若两个角相加等于180°，则这两个角互为邻补角的逆命题是若两个角互为邻补角，则两个角相加等于180°，逆命题是真命题，原命题是假命题 【分析】（1）先根据逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可； （2）先根据逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】（1）解：内错角相等的逆命题是相等的角是内错角，逆命题是假命题，原命题是假命题； （2）解：若两个角相加等于180°，则这两个角互为邻补角的逆命题是若两个角互为邻补角，则两个角相加等于180°，逆命题是真命题，原命题是假命题． 【点睛】本题考查原命题、逆命题、互逆命题、命题、真命题、假命题等知识，解题的关键是学会判断命题的真假，属于中考常考题型． 6．（23-24八年级上·广西百色·期中）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)同位角相等，两直线平行； (2)若，则； (3)末位数字是0的数一定能被5整除． 【答案】(1)两直线平行，同位角相等，是真命题 (2)若，则，是假命题 (3)能被5整除的数末位数字一定是0，是假命题 【分析】此题考查命题的逆命题，真假命题的定义， （1）写出逆命题，判定真假命题； （2）写出逆命题，判定真假命题； （3）写出逆命题，判定真假命题； 正确掌握逆命题的定义及真假命题的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：逆命题为：两直线平行，同位角相等． 是真命题； （2）逆命题为：若，则． 是假命题； （3）逆命题为：能被5整除的数末位数字一定是0． 是假命题． 题型七 定理与证明 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）假设命题“a≤0”不成立，那么a与0的大小关系只能是（   ） A．a＝1 B．a≠0 C．a≥0 D．a＞0 【答案】D 【分析】由于a≤0的反面为a＞0，则假设命题“a≤0”不成立，则有a＞0． 【详解】解：假设命题“a≤0”不成立，则a＞0． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（    ） A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理 C．所有的命题都是定理 D．假命题的逆命题是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义解答本题．熟练掌握命题与定理的知识是解决此类问题的关键． 【详解】解：A. 每个命题都有逆命题，说法正确； B. 每个定理不一定有逆定理，说法错误； C. 假命题不是定理，说法错误； D. 假命题的逆命题可能是真命题，说法错误； 故选A． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）定理1：同角（等角）的补角 ；定理2：同角（等角）的余角 ；定理3：三角形的任意两边之和 第三边；定理4：对顶角 ． 【答案】 相等 ， 相等 ， 大于 ， 相等 【分析】根据余补角性质定理，三角形的三边关系，对顶角定理，即可得到答案. 【详解】解：定理1：同角（等角）的补角相等； 定理2：同角（等角）的余角相等； 定理3：三角形的任意两边之和大于第三边； 定理4：对顶角相等； 故答案为相等；相等；大于；相等； 【点睛】本题考查了余补角性质定理，三角形的三边关系，对顶角定理，解题的关键是熟练掌握课本的性质定理. 5．（22-23八年级上·全国·课后作业）写出四个数学名词的定义． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】结合所学的数学知识，写出4个数学名词概念即可． 【详解】（1）二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程； （2）因式分解：把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解； （3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程； （4）点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 【点睛】本题考查对数学名词的概念，解题的关键是熟记其定义． 6．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠2＝∠3， ∴CD∥EF， ∴AB∥EF， ∴∠B＋∠F＝180°； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 题型八 互逆定理 1．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（22-23八年级上·吉林长春·期中）下列说法，正确的是（　　） A．每个定理都有逆定理 B．真命题的逆命题都是真命题 C．每个命题都有逆命题 D．假命题的逆命题都是假命题 【答案】C 【分析】利用逆定理、逆命题的定义分别判断后即可确定正确的选项 【详解】解：A、不是每个定理都有逆定理，故本选项错误； B、真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故本选项错误； C、每个命题都有逆命题，正确，故本选项正确； D、假命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题的相关概念及定理，熟练掌握和运用命题、逆命题及逆定理的相关概念是解决本题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江·期末）请写出一个存在逆定理的定理： ． 【答案】两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【分析】写出任意一个存在逆定理的定理即可． 【详解】“两直线平行，同位角相等”的逆定理为“同位角相等，两直线平行” 故答案为：两直线平行，同位角相等（答案不唯一） 【点睛】本题考查逆定理，熟记各种定理是解题的关键． 4．（22-23八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的 ．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的 ． 【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理 【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可． 【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理． 故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理． 【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 【答案】“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”．原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题；如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，进行求解即可． 【详解】解：“相等的角是内错角”这个命题的逆命题是：“内错角相等”．原命题：相等的角不一定是内错角，是假命题；内错角也不一定是相等的，也是假命题；原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【点睛】本题主要考查了逆命题与互逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 6．（22-23八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 题型九 举反例 1．（23-24八年级上·河南新乡·期中）下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵当，时，，但是， ∴，但是， ∴，是假命题的反例． 其他选项不能说明； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题，有理数的乘方，解题关键是掌握满足条件，但不能得到结论的例子即是反例．据此判断，即可得到答案． 【详解】解：当，时，，但， 可以用来说明命题“若，则”是假命题， 反例为， 故选：D． 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·开学考试）能举反例说明命题“若，则”是假命题的例子是 ． 【答案】 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，要使得成立，则，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：由题意，，，则， 当时，满足，但不满足， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·江苏南京·期末）命题“若，则”，能说明它是假命题的反例是 ， 【答案】 （答案不唯一） 0（答案不唯一） 【分析】本题考查了举反例：符合命题条件，不符合命题结论的例子；根据题意，取a与b的值，满足，但不满足的反例即可． 【详解】解：取，则，但； 故答案为：．（答案不唯一） 5．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）判断下列命题的真假，并给出证明 （1）两个锐角的和是钝角； （2）若a＞b，则a2＞b2； 【答案】（1）两个锐角的和是钝角，是假命题，证明详见解析；（2）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，证明详见解析 【分析】（1）根据锐角和钝角的概念，举一个反例即可； （2）根据有理数的乘方法则举一个反例证明即可． 【详解】解：（1）两个锐角的和是钝角，是假命题， 例如，一个锐角是30°，另一个锐角是40°， 则这两个锐角的和是70°，70°不是钝角， ∴两个锐角的和是钝角，是假命题； （2）若a＞b，则a2＞b2，是假命题， 例如：a＝﹣1，b＝﹣2， a2＝1，b2＝4， 则a2＜b2， ∴a＞b，则a2＞b2，是假命题． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 6．（24-25八年级上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例． (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行； (2)如果，那么． 【答案】(1)是真命题 (2)是假命题，反例见解析 【分析】本题考查了平行公理推论，绝对值的性质，判断命题的真假，举反例． （1）根据平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行即可求解； （2）根据绝对值的定义即可求解． 【详解】（1）解：是真命题． 理由：根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得“平行于同一条直线的两条直线互相平行”是真命题． （2）解：是假命题． 理由：当，时，，， 满足，但是， 故“如果，那么”是假命题． 题型十 以代数为背景的推理与论证 1．（22-23八年级上·湖南长沙·阶段练习）卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意可得小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，再由表格可得日本队，西班牙队，德国队的胜负情况，即可求解． 【详解】解：根据题意得：小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场， ∵日本队得6分， ∴日本队胜2场，负1场， ∵西班牙队得4分， ∴西班牙队胜1场，平1场，负1场， ∵德国队得4分， ∴德国队胜1场，平1场，负1场， ∴哥斯达黎加队可以是胜1场，负2场，也可以是平2场，负1场， ∵本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平， ∴斯达黎加队胜1场，负2场， ∴哥斯达黎加的积分是3分． 故选：D 【点睛】本题主要考查了逻辑推理，明确题意，准确得到日本队，西班牙队，德国队的胜负情况是解题的关键． 2．（2023·北京海淀·模拟预测）为了预防新型冠状病毒的感染，人员之间需要保持一米以上的安全距离，某公司会议室共有四行四列桌椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列不能有连续三人就座．例如图中第一列所示情况就不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【解析】分步安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位值是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论． 【详解】解： 第一步，在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位， 第二步，在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二或第三个座位， 第三步，若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐， 第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+1+3=10人， 重复第三步，若第二步空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐， 重复第四步，在第四排安排3人就坐，空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+3=11人． 故选：B． 【点睛】本题考查了组合排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）用一个平底锅烙饼（每次只能放两张饼），烙热一张饼2分钟（正反面各需一分钟），问烙热3张饼至少需 分钟． 【答案】3 【分析】若先把两只饼煎熟，则在煎第三张饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，所以应把两只饼的两面错开煎． 【详解】应先往锅中放入两只饼，先煎熟一面后拿出一只，再放入另一只，当再煎熟一面时把熟的一只拿出来，再放入早拿出的那只，使两只并同时熟，共需3分钟． 故答案为3． 【点睛】本题考查了推理与论证，在解答此类题目时要根据实际情况进行推论，既要节省时间又不能造成浪费． 4．（22-23八年级上·全国·单元测试）为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初一（9）班举办了“古诗词”大赛，现有小恩、小地、小奕三位同学进入了最后冠军的角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分都分别为a，b，c（且a，b，c均为正整数）．选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据题中所给信息，小奕同学第三轮的得分为 分． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小恩 a a 27 小地 a b c 11 小奕 c b 10 【答案】2 【分析】根据三维同学的最后得分情况列出关于a，b，c的等量关系式，然后结合且a，b，c均为正整数确定a，b，c的值，从而确定小奕同学第三轮的得分． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵a，b，c均为正整数， 若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为， ∴a必大于4， 又∵， ∴最小取3， ∴， ∴，，， ∴小恩同学最后得分27分，他5轮第一，1轮第二； 小地同学最后得分11分，他1轮第一，1轮第二，4轮第三； 又∵表格中第二轮比赛，小地第一，小奕第三， ∴第二轮比赛中小恩第二， ∴第三轮中小恩第一，小地第三，小奕第二， ∴小奕的第三轮比赛得2分， 故答案为：2． 【点睛】本题考查逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键． 5．（23-24八年级·全国·课后作业）由幂的乘方的性质得，类比这个等式，能得到也成立吗？ 【答案】不能. 【分析】根据积的乘方性质，几个因式积的乘方等于乘方的积，即可判断. 【详解】解：不能. ∵， ∴不能得到成立. 【点睛】检验教学结论的常用方法有：实验验证、举出反例、推理证明等.实验验证是最基本的方法，它是直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是需要掌握的重点实际上每一个正确的结论都需要经过严格的推理证明才能得出 6．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）与同伴做以下游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大小王和J，Q，K）中选取3张黑色和3张红色牌（规定黑色为负，红色为正），使得6张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽取1张牌，10次后，计算每人手中牌的总分，得分高者为胜． 温馨提示：一副扑克牌的组成【大、小王和4个花色：红桃，方块为红色，黑桃、梅花为黑色，每个花色计13张从1到10，J，Q，K共计54张】 （1）你希望抽到哪种颜色的牌？你希望哪种颜色的牌不被抽走？ （2）游戏结束后，你手中牌的总分与同伴手中牌的总分有什么关系？ （3）你可能得到的最高分是多少？ 【答案】（1）希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走；（2）手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0；（3）54分 【分析】(1)根据题意红色牌代表正分，黑色牌代表负分，进而得出答案； (2)利用每人得6张牌的总分为零，即可得出手中牌的总分与同伴手中的总分关系； (3)假设抽到三张红色牌且为8，9，10，进而得出答案． 【详解】解：(1)∵红色代表正分，黑色代表负分， ∴希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走， 故答案为：希望抽到红颜色的牌，不希望红颜色的牌抽走； (2)∵每人手中6张牌的总分为零， ∴无论多少次后，总分之和为0， 故答案为：手中牌的总分与同伴手中牌的总分之和为0； (3)假设抽到的三张牌均为红色牌且为8、9、10时， 可能得到的最高分是：2×(10+9+8)＝54(分)， 故答案为：54分． 【点睛】本题考查了推理与论证，根据题意注意红色牌代表正分得出是解题关键． 题型十一 逻辑推理与论证 1．（23-24八年级下·江苏扬州·课后作业）在一次1500米的跑步比赛中，有如下的判断：甲说，“丙第一，我第三”；乙说，“我第一，丁第四”；丙说，“丁第二，我第三”．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了推理与论证，此类题应从假设出发，经过推理，如果得到矛盾，则假设错误，再进一步推理即可．假设甲说的前半句话是正确的，可推出矛盾，然后可知甲说的后半句是正确的，从而推出第一名是谁． 【详解】解：假设甲说的前半句话是正确的，即丙第一，则乙的后半句是正确的，即丁第四，则丙说的后半句应是正确的，出现矛盾，所以必须是甲说的后半句是正确的，即甲第三，所以丙说的前半句是正确的，即丁第二，所以乙说的前半句是正确的，即乙第一． 故选B． 2．（2024七年级·全国·竞赛）某公寓有5层共8套房子，每层有一套或两套房子．住户住在不同的房子里．已知：（1）第一层和第三层各只有一套房子；（2）和不住在同一层，且住在的上一层；（3）住在的上一层；（4）和都住在只有一套房子的楼层里；（5）和不住在同一层；（6）和住在同一层．那么住在第四层的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了推理和论证，根据已知，采用筛选法进行一个一个筛选是解题的关键． 根据已知，采用筛选法进行一个一个筛选即可解答． 【详解】解：若C在第一层，则B在第三层，E、F在第二层，D和G在第四层，A、H住在第五层； 若C在第三层，B在第一层，则E、F在第四层，剩下第二、第五层，满足不了A在D的上一层， 所以D和G在第四层． 故选：C． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）A、B、C、D、E五名学生猜测自己的数学成绩：A说：如果我得优，那么B也得优；B说：如果我得优，那么C也得优；C说：如果我得优，那么D也得优；D说：如果我得优，那么E也得优．大家说的都没有错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是 ． 【答案】C，D，E 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推论，假设A得优，则A，B，C，D，E都得优，假设B得优，则B，C，D，E都得优，这与只有三个人得优相矛盾，故两种假设都不成立，假设C得优，则C，D，E都得优，这与只有三个人得优相符合，据此可得答案． 【详解】解：假设A得优，则A，B，C，D，E都得优，这与只有三个人得优相矛盾， ∴A不可能得优； 假设B得优，则B，C，D，E都得优，这与只有三个人得优相矛盾， ∴B不可能得优； 假设C得优，则C，D，E都得优，这与只有三个人得优相符合， ∴优的三个人是C，D，E． 故答案为：C，D，E． 4．（2023八年级上·江苏·专题练习）有一种“抢”的游戏，规则是：甲先说“”或“，”，当甲先说“”时，乙接着说“”或“，”；当甲先说“，”时，乙接着说“”或“，”，然后甲再接着按次序往下说一个或两个数，这样两个人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但不可以连说三个数，谁先抢到，谁就获胜．那么采取适当策略，其结果是 胜．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】为了抢到，那就必须抢到，这样无论对方叫“”或“”，你都获胜．而为了抢到，也可以此类推．游戏的关键是报数先后顺序，并且每次报的个数和对方合起来是三个，即对方报（）个数字，你就报（）个数．抢数游戏，它的本质是一个是否被“”整除的问题． 【详解】解：谁先抢到，对方无论叫“”或“”你都获胜．为抢到，让乙先报，甲每次报的个数和对方合起来是三个，，后报数者胜． 故选乙． 【点睛】此题考查了推理，要善于从中发现规律，难易程度适中．关键是得到需抢到的数字． 5．（23-24八年级上·全国·单元测试）甲、乙、丙三人中一个是教师，一个是护士．一个是工人．现在只知道丙比工人年龄大，甲和护士不同岁，护士比乙年龄小．请你猜猜他们当中谁是教师，并说明理由． 【答案】乙是教师，理由见解析 【分析】根据年龄关系推出丙是护士，再根据年龄大小得到乙是教师． 【详解】解：乙是教师， 理由如下：∵甲和护士不同岁，护士比乙年龄小， ∴甲、乙都不是护士， ∴丙是护士， ∵护士比工人年龄大，护士比乙年龄小， ∴乙不是工人， ∴乙是教师． 【点睛】本题主要考查的是推理和论证，根据题意推出丙是护士是解题的关键． 6．（23-24八年级上·山东滨州·阶段练习）一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话．某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人．外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人．”另一个成员李四说：“张三是老实人．”请判断李四是老实人还是骗子？ 【答案】李四也是骗子 【分析】此题抓住题干中“每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人”找出总人数，进行推理．本题主要考查了奇数与偶数，解答此类题的关键是：先找出题中的突破口，进而得出甲是骗子，进而得出结论． 【详解】解：∵圆圈上，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人， 如图： ∴老实人与骗子人数相等，因此圆圈上的人数为偶数， ∵张三说有45人是奇数， ∴说明张三说了假话，张三是骗子， ∴李四却说张三是老实人，也说了假话， 即李四也是骗子． 1．（22-23八年级上·浙江丽水·阶段练习）下列各数中可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A． B． C．   D． 【答案】B 【分析】根据选取的a的值符合题设，但不满足结论即可作为反例，由此即可解答． 【详解】解：当时，不符合，故不可判定命题“若，则”是假命题，A不符合题意； 当时，，但，即可判定命题“若，则”是假命题，B符合题意； 当时，， ，即不可判定命题“若，则”是假命题，C不符合题意； 当时，， ，即不可判定命题“若，则”是假命题，D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，掌握反例的特征是解题的关键． 2．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期末）下列命题是真命题的是（　　） A．两直线平行，同旁内角相等 B．同旁内角互补 C．两个锐角的和是钝角 D．如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行 【答案】D 【分析】本题考查了命题的判断，根据平行线的性质、锐角和钝角的概念、平行公理的推论判断即可，掌握平行线的性质、锐角和钝角的概念、平行公理的推论是解题的关键． 【详解】解：、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法是假命题； 、两直线平行，同旁内角互补，本选项说法是假命题； 、两个锐角的和是钝角，是假命题，例如：，是锐角； 、如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行，本选项说法是真命题； 故选：． 3．（23-24八年级上·河南开封·期中）下列命题中，不是定理的是（　　） A．直角三角形两锐角互余 B．两直线平行，同旁内角互补 C．n边形的内角和为（n﹣2）×180° D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】根据定理是正确的命题判断． 【详解】直角三角形两锐角互余，A是定理； 两直线平行，同旁内角互补，B是定理； n边形的内角和为（n﹣2）×180°，C是定理； 相等的角不一定是对顶角，D不是定理． 故选D． 【点睛】本题考查了命题和定理，命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 4．（23-24八年级上·湖南衡阳·开学考试）甲、乙、丙、丁在比身高，甲说：“我最高。”乙说：“我不最矮。”丙说：“我没有甲高，但还有人比我矮。”丁说：“我最矮。”实际测量表明只有一人说错了，身高从高到低排第三位的是（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据题干可得：丁没有说错，因为如果丁说错了，这四个人就没有最矮的了，抓住这一点即可展开讨论推理，从而解决问题． 【详解】解：根据题干分析可得：丁没有说错，则乙也没有说错，那么甲和丙中有一个人说错了； 假设甲说对了“我最高”，那么丙也说对了“我没有甲高，但还有人比我矮”，所以此假设不成立，即：甲说错了，那么丙就说对了． 由上述推理可得：这四个人的身高按从高到矮排列：乙、甲、丙、丁． 所以排在第三位的是丙． 故选：C． 【点睛】本题考查逻辑推理初步，根据题干得出丁没有说错，从而得出乙也没有说错是本题进行推理的关键所在． 5．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 6．（22-23八年级上·安徽安庆·阶段练习）命题“如果，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】本题主要考查了命题与定理，先写出原命题的逆命题，再判定逆命题的真假即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么 “，逆命题是假命题， 故答案为：假． 7．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）命题“同旁内角互补”的题设是 ，结论是 ，这是一个 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 两个角是同旁内角 这两个角互补 假 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式，有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 【详解】解：命题中，已知的事项是“两个角是同旁内角”， 由已知事项推出的事项是“这两个角互补”，所以“两个角是同旁内角”是命题的题设部分，“这两个角互补”是命题的结论部分，这是一个假命题， 故答案为：两个角是同旁内角，这两个角互补，假． 8．（23-24八年级·全国·假期作业）说明命题“若x<2，则>”是假命题的一个反例，则实数x的取值可以是 ． 【答案】答案不唯一，如； 【分析】根据命题“若x<2，则>”是假命题，从x<0中选取一个数直接举出反例即可． 【详解】解：当x<0，时，都有＜， 因此只要x取一个负数即可， 故取即可， 故答案为： 【点睛】本题考查的是证明一个命题是假命题，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 9．（23-24八年级上·北京海淀·阶段练习）在初一年级即将进行的冬之韵活动中，各种活动精彩纷呈，同学们积极参与.其中小升、小楠、小霞、小焱四位同学参加了①朗诵、②舞蹈、③表演、④演奏这四个项目，每人只能参加一个项目且四人参加的项目互不相同，已知小升参加了舞蹈、表演中的一个，小楠参加了朗诵、舞蹈中的一个，小霞参加了朗诵、表演中的一个，参加舞蹈的是小升或小焱中的其中一个，请你依次写出小升、小楠、小霞、小焱分别参加的项目名称所对应的数字编号为 【答案】②①③④ 【分析】本题考查了逻辑推理．根据小升或小焱中的其中一个参加了②，说明小楠参加了①为突破口，即可得出结果． 【详解】解：小升参加了②③， 小楠参加了①②， 小霞参加了①③， 根据小升或小焱中的其中一个参加了②， 说明小楠参加了①，小霞参加了③，小升参加了②，小焱参加了④， 故小升、小楠、小霞、小焱分别参加的项目名称所对应的数字编号②①③④， 故答案为：②①③④． 10．（23-24八年级·全国·课后作业）字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 【答案】 【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论． 【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形； 结合后两个图可以看出：d代表圆； 因此a代表线段，c代表三角形， 所以图形的连接方式为：. 故答案为. 【点睛】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形． 11．（23-24七年级·全国·单元测试）已知，求证：. 【答案】详见解析 【分析】假设a+b＞2，则a＞2﹣b，2=a3+b3＞（2﹣b）3+b3，整理得出（b﹣1）2＜0，导出矛盾式，从而可肯定原结论成立． 【详解】假设a+b＞2，则a＞2﹣b， 故2=a3+b3＞（2﹣b）3+b3， 即2＞8﹣12b+6b2， 即（b﹣1）2＜0，这不可能， 从而a+b≤2． 【点睛】本题考查了不等式的证明，着重考查反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾，考查推理论证能力，属于中档题． 12．（23-24八年级·全国·假期作业）举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题． 【答案】证明见解析 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【详解】证明：两个不相等的角互为补角， 这两个角一个角大于，一个角小于， 即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题. 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 13．（23-24八年级上·全国·单元测试）阅读下列语句，完成后面的题目． ①同类项的数字系数必相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③抗震救灾；④两直线平行，同旁内角互补；⑤两点之间的线段是这两点之间的距离；⑥今晚你去看电影吗？ （1）其中属于命题的是________，不属于命题的是________（填序号）； （2）其中属于真命题的是________（填序号）； （3）对于每个假命题，你是怎样判断的？ 【答案】（1）①②④⑤　③⑥；（2）④；（3）见解析． 【分析】根据命题与定理解题；一般在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；其中判断为真的叫做真命题；判断为假的叫做假命题． 【详解】（1）①②④⑤是能进行判断真假的陈述句；故是命题；③⑥不是能进行判断真假的陈述句； 故答案为：①②④⑤；③⑥； （2）①同类项的数字系数不一定相同，原命题错误，是假命题； ②若|a|＝|b|，则不一定a＝b，原命题错误，是假命题；； ④两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题； ⑤两点之间的线段的距离是这两点之间的距离，原命题错误，是假命题； 故答案为：④； （3）为说明命题是假命题，可采用举反例（举一个即可）的方法，如：①中a和－a是同类项，但它们的系数不同；②中|7|＝|－7|，但7≠－7；⑤中两点之间的距离是指两点之间的线段的长度． 【点睛】本题考查了命题的定义及真命题、假命题；一般在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题；命题分为真命题和假命题． 14．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)是题设，是结论；逆命题是：如果，那么 (2)假命题，见解析． 【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）命题的题设为，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； （2）命题是假命题，举出一个反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵命题“如果，那么． ∴是题设，是结论； 逆命题是：如果，那么． （2）解：命题是假命题， 反倒：，但是3不等于． 15．（2023八年级上·江苏·专题练习）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A (1)则丁同学的得分是 ； (2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可） 【答案】(1)3 (2)（答案不唯一） 【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论； （2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论． 【详解】（1）解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对， 针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错了第2题，那么其余四道全对， 针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第3题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确， 针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的得分为2分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第4题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第5题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的， 针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分， 针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分， 故答案为：3； （2）解：由（1）知，五道题的正确选项分别是：， 如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道， 即：他的答案可能是或或或等， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$