精品解析：河南省郑州市中牟县郑州东枫外国语学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

河南省郑州市中牟县郑州东枫外国语学校2022-2023学年 八年级下学期期中数学试题 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合． 2. 下列关系式中，哪些是一元一次不等式．（ ） ①，②，③，④，⑤，⑥. A. ①②③ B. ①② C. ②④⑤ D. ①②⑥ 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义逐项判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式； ②是一元一次不等式； ③中含有两个未知数，不是一元一次不等式； ④是等式不是不等式； ⑤中不是整式，因此不是一元一次不等式； ⑥中未知数的指数是2，不是1，所以不是一元一次不等式； 综上分析可知，一元一次不等式有①②，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式． 3. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质即可进行解答． 【详解】解：A、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意； B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴；故C成立，不符合题意； D、∵，， ∴，故D不成立，符合题意； 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 4. 如图，把一个含角的直角三角板放在一个直尺上，直角边，，斜边与直尺的两边分别交于点，，和.已知是等边三角形，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是等边三角形和,可推出，过点作,从而求得； 【详解】解：是等边三角形，， , 又， ， ， 过点作，，则， ， 故选择：D 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直接三角形，熟练掌握有关的性质和判定是解题的关键． 5. 如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理用，表示出，用，表示出，再把,代入进行计算即可． 【详解】解：∵与是直角三角形，，， ∴， ， ∴， 故选 D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 6. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据所学的定理对各小题进行分析判断，然后再计算真命题的个数． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补,它是真命题； ②若，则的逆命题是：若，则，它是真命题； ③锐角与钝角互为补角的逆命题是：互补的角是锐角与钝角，它是假命题； ④相等的角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了命题与逆命题，正确把握相关性质是解题关键． 7. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【解析】 【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB 【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴PE=PF， ∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理． 8. 若不等式组的解是，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式组取解集的方法确定出所求即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． 故选A. 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟知求一元一次不等式组的解应遵循的原则是解题关键． 9. 如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据是角平分线和可以得出，继而可以得出的周长，从而可以得出答案． 【详解】解：∵分别是与的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，是一道综合题，能够推出是解题的关键． 10. 如图，在中，是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③是等边三角形；④若，则． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握等边三角形的判定与性质是解决问题的关键．由，，得出，可判断①；由①可证明，可判断②；可证明是等腰三角形但不能证明是等边三角形，可判定③；由，可求出，进而得出，继而证出，可判断④；即可得出答案． 【详解】解：， ，， ， ， ①符合题意； ，， ，， ， ②符合题意； ，，但不能判定是等边三角形， ③不符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ④符合题意； 故选：B． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么Q点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据上加下减平移规律得到平移坐标，根据点Q在x轴上，得到，计算即可． 【详解】∵P点向上平移2个单位到Q点， ∴， ∵点Q在x轴上， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移，熟练掌握平移规律是解题的关键． 12. 若多项式分解因式的结果为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解．根据多项式的乘法法则计算，与比较求出a和b的值，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】关于x的不等式的解集即为函数图像在函数图像上方自变量的取值范围，由此求解即可． 【详解】解：由图可知，当时，函数的图像在函数图像的上方， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用图像法求一元一次不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 14. 若关于x的不等式组有四个整数解，求a的取值范围． 【答案】﹣≤a＜﹣ 【解析】 【分析】先解每一个不等式，根据范围内有四个整数解，确定a的取值范围． 【详解】解： 解①得， 解②得， ∵此不等式组有解集 ∴解集为： ∵不等式组有四个整数解 ∴整数解为、、、 ∵，的最大整数值为 ∴ ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了知道不等式组解的情况求参数范围，能正确得到参数的不等式组是解本题的关键． 15. 如图，在中，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，．当______时，才能使与全等． 【答案】5或10 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形全等的判定方法，由，需再找两个边对应相等即可； 分类讨论：，求解两种情况下的长即可完成解答. 【详解】解：和中， ，， 要使与全等， 只有：和两种情况． 当时，． 当时，． 故答案为：或． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）因式分解：； （2）解不等式：． 【答案】； 【解析】 【分析】先提，然后利用完全平方公式分解因式即可； 先去分母，再去括号、移项，然后合并后把的系数化为即可． 【详解】解： ； 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 系数化，得． 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用：灵活运用因式分解得方法是解决问题的关键．也考查了解一元一次不等式． 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 把它的解集在数轴上表示出来如下： 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出． 【答案】（1） 由和可知其平移规律为向右平移5个单位长度，向下平移5个单位长度，如图所示即为所求，点，． （2） 如图即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平移前后C点坐标和的坐标可画出图形，进而得到坐标即可． （2）将三角形三个顶点分别绕点O顺时针旋转得到对应点，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转变换和平移变换，结合旋转的角度和图形的特殊性求出旋转后的坐标是解题的关键． 19. 如图，点是中一点，于点，于点，连接，． （1）求证：平分； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等角对等边得，再由角平分线的判定定理可得结论； （2）先证明得到，进而证明是等边三角形，求出的面积，由含角的直角三角形的性质求出的长，再根据的面积的面积的面积进行求解即可． 【小问1详解】 证明：， ． ，， 平分，即是的平分线． 【小问2详解】 解： 设与交于C， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴, ∴； 在中，， ∴， ∵的面积， 的面积的面积的面积． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 20. 学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 例：因式分解：． 解：设，则原式…………第一步 ……………………………………………………第二步 ……………………………………………………… 第三步 …………………………………………………第四步 完成下列任务： （1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号） ①提取公因式； ②平方差公式； ③两数和的完全平方公式； ④两数差的完全平方公式． （2）请你模仿以上例题分解因式：． 【答案】（1）④ （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公式． （1）根据两数差的完全平方公式进行作答即可； （2）根据题干中的解题过程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式， 故答案为：④ 【小问2详解】 解：， 设， 原式 ． 21. 为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】（1）A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）共有2种购买方案，为了节约资金，学校应选择购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球． 【解析】 【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共需3100元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有2种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； 【小问2详解】 解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为24，25， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（元）； 方案2：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，即购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 22. 定义运算：当时，；当时，．如：；；．根据该定义运算完成下列问题： （1）________，当时，________． （2）若，求x的取值范围； （3）如图，已知直线与相交于点，若，结合图像，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）-3；x； （2）x≥1； （3）x≤-2； 【解析】 【分析】（1）计算两数中的较小者即可解答； （2）由当时，，解不等式3x-1≥-x+3即可； （3）由可得，根据两直线的交点解不等式即可； 【小问1详解】 解：∵-3＜2， ∴-3， ∵2≥x， ∴x； 【小问2详解】 解：若， 则3x-1≥-x+3， 4x≥4， x≥1； 【小问3详解】 解：若， 则kx-2≥x+m， 即， 当x≤-2时，函数的函数值≥函数的函数值， ∴x≤-2， 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次不等式的解，一次函数与一元一次不等式的关系，掌握图像法求不等式的解是解题关键． 23. 【问题探究】 （1）如图，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请直接写出和的数量关系． 【深入探究】 （2）如图，锐角中分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接、，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求的长； 【解决问题】 （4）如图，在四边形中，，，，，求的最大值． 【答案】（1） （2）结论：． 理由是：， ， 即， 在和中， ， ， ； （3）； （4） 【解析】 【分析】（1）首先根据等式的性质证明，则根据即可证明，根据全等三角形的性质即可证明． （2）首先根据等式的性质证明，则根据即可证明，根据全等三角形的性质即可证明； （3）在的上方作等腰直角，使得，，连接，由勾股定理可求的长，由“”可证，得出； （4）如图中，在是上方作等边，证明，求出的取值范围，可得结论． 【详解】解：（1）结论：， 理由如下：， ， 即， 在和中， ， ， ； （2）略 （3）在的上方作等腰直角，使得，，连接． ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ； （4）如图中，在是上方作等边， ，， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省郑州市中牟县郑州东枫外国语学校2022-2023学年 八年级下学期期中数学试题 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列关系式中，哪些是一元一次不等式．（ ） ①，②，③，④，⑤，⑥. A. ①②③ B. ①② C. ②④⑤ D. ①②⑥ 3. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把一个含角的直角三角板放在一个直尺上，直角边，，斜边与直尺的两边分别交于点，，和.已知是等边三角形，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②若，则；③锐角与钝角互为补角；④相等的角是对顶角．它们的逆命题是真命题的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形的三条高交于一点 D. 三角形三边的垂直平分线交于一点 8. 若不等式组的解是，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，和的平分线交于点E，过点E作分别交于M、N，则的周长为（　　） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在中，是上的点，过点D作交于点F，交的延长线于点E，连接，则下列结论正确的有（ ） ①；②；③是等边三角形；④若，则． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 将P点向上平移2个单位到Q点，且点Q在x轴上，那么Q点坐标为______． 12. 若多项式分解因式的结果为，则的值为_____． 13. 在平面直角坐标系中，一次函数（）与（）的图像如图所示，则关于x的不等式的解集为______． 14. 若关于x的不等式组有四个整数解，求a的取值范围． 15. 如图，在中，，两点分别在线段和过点且垂直于的射线上运动，．当______时，才能使与全等． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）因式分解：； （2）解不等式：． 17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出． 19. 如图，点是中一点，于点，于点，连接，． （1）求证：平分； （2）若，，求的面积． 20. 学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 例：因式分解：． 解：设，则原式…………第一步 ……………………………………………………第二步 ……………………………………………………… 第三步 …………………………………………………第四步 完成下列任务： （1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号） ①提取公因式； ②平方差公式； ③两数和的完全平方公式； ④两数差的完全平方公式． （2）请你模仿以上例题分解因式：． 21. 为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大课间活动”，该中学购买A种品牌的足球30个，B种品牌的足球20个，共花费3100元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于24个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 22. 定义运算：当时，；当时，．如：；；．根据该定义运算完成下列问题： （1）________，当时，________． （2）若，求x的取值范围； （3）如图，已知直线与相交于点，若，结合图像，直接写出x的取值范围． 23. 【问题探究】 （1）如图，锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，使，，，连接，，请直接写出和的数量关系． 【深入探究】 （2）如图，锐角中分别以、为边向外作等腰和等腰，使，，，连接、，试猜想与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图，在中，，以为直角边，为直角顶点向外作等腰直角，连接，若，，求的长； 【解决问题】 （4）如图，在四边形中，，，，，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $