第四章 指数函数与对数函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的定义域与含分式的函数定义域，构成不等式组求解即可. 【详解】因为，所以定义域满足， 解得， 故选：A. 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）设函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定的分段函数，判断代入求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 3．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解函数的单调性，接着根据已知条件结合函数定义域和单调性即可求解. 【详解】因为当时，是单调递增函数，此时， 当时，是单调递增函数，此时，    所以是定义在上的单调递增函数， 所以若即， 则，， 故选：D. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，（a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1），则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换底公式可得，再利用对数的加法运算即可得到答案. 【详解】因为, 所以 同理可得 所以 故选：D 5．（23-24高一下·湖北·期中）已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件及函数单调性的定义，利用一次函数、指数函数和分段函数单调性，列出不等式组求解即可. 【详解】因为当时，恒有， 所以当时，恒有， 不妨设，则，即， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 6．（23-24高二下·广东广州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性判断指数式和对数式的大小关系. 【详解】因为,所以 , , 所以. 故选：B. 7．（2024高三·全国·专题练习）新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池.已知蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）、放电电流（单位：）三者之间满足关系.假设某款电动汽车的蓄电池容量为，正常行驶时放电电源为，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意将，代入中，然后利用对数的运算性质计算可求出的值. 【详解】由，，时， 得， 所以， 因为， 所以 . 故选：C. 8．（23-24高二下·吉林·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令，根据题设，将问题转化成为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，再利用与互为反函数，再结合图象，即可求出结果. 【详解】由，得到，令，得到 所以为函数与交点的横坐标， 由，得到，所以为函数与交点的横坐标， 又与互为反函数，故它们的图象关于直线对称， 又关于对称，由，得到，所以，得到， 故选：C. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于将问题转化成求函数与交点的横坐标及与交点的横坐标之和，再利用与互为反函数，即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于ABC：根据对数的定义结合指数幂运算求解；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：若，所有，故A正确； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 符合题意，但，故D错误； 故选：AB. 10．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】将指数化为对数可得，，利用换底公式结合对数运算性质逐项分析判断. 【详解】因为，则，， 可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项CD：，故C，D不正确． 故选：AB. 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】作出函数的图象，由数形结合判断四个选项的正误. 【详解】的图象如下图所示,由图可知在单调递减，在上单调递增 因为， 若，因为在单调递减，此时不满足 所以，同理可得， 因为，所以 所以，即，对. 即，错. 若，因为 所以 此时，错，，对. 若,因为 所以 即 综上所述，对. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】将对数式转化为指数式，再结合指数运算公式，即可求解. 【详解】，则，则． 故答案为： 13．（2024高三·北京·专题练习）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 . 【答案】 【分析】根据对数函数的图象求出定点的坐标，代入求出的值，然后计算函数值即可. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 令，解得，则， 所以点坐标为， 又点在幂函数的图象上，所以，解得， 所以， 所以， 故答案为： 14．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用单调性确定最小值后可得． 【详解】是减函数，在时最小值是， 若，则是减函数，时，，没有最小值，不合题意， 时，是增函数，因此要使得取得最小值，则，解得， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·新疆·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）利用对数运算性质计算即得. 【详解】（1）. （2）. 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，. (1)求当时函数的表达式； (2)若函数，与函数的图像恰有7个不同的交点，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用偶函数的性质解得函数的周期，求解函数的解析式； （2）作出图象，利用数形结合思想求解. 【详解】（1）当时，，，即. 因为的最小正周期为2， 所以当时， ，所以 （2）作出函数的部分图象与的图象，如下图所示： 直线恒过坐标原点， 当时，直线经过，此时； 当时，由对称性可知，直线经过，此时. 综上，. 17．（24-25高一上·全国·单元测试）某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（） (2)当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 【分析】（1）根据利润＝销售收入－成本并结合分段函数表达式即可得到利润表达式； （2）利用二次函数性质和均值不等式分段研究利润最大值，并比较大小即可. 【详解】（1）由题意可得当，时，； 当，时，； 所以（）． （2）当时，，， 当时，取最大值，（万元）； 当时，， ， 当且仅当，即时等号成立，因为， 故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元 18．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用偶函数的定义即可证明； （2）分别得到和在的单调性，将问题转化为即可求解； （3）将问题转化为或，结合单调性即可求解. 【详解】（1）由题可得， 因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数； （2）对任意的、，不妨设， 所以， 因为，所以，，， 所以，， 所以在上单调递增， 则，， 所以， 由于在上单调递增， 所以， 要使对任意的、，总存在，使得成立， 则，即， 所以实数的取值范围是； （3）对任意的，，总有成立， 所以或， 则或， 由（2）可得当，，， ，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围是. 19．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）令，即可得到，解得，从而求出即可； （2）依题意可得在上有解，令，，则问题转化为在上有解，令，，根据单调性求出的取值范围，从而求出的取值范围. 【详解】（1）由“不动点”定义知：当时，， 所以，即， 解得或（舍去），所以，且 所以函数在上的不动点为. （2）根据已知，得在上有解， 所以在上有解， 令，， 所以，即在上有解， 所以在上有解， 设，，则在上单调递增，故， 所以，可得， 又在上恒成立， 所以在上恒成立，则，则 ， 综上，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“不动点”的定义，将问题转化为方程有解问题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数（单元重点综合测试） （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东湛江·期末）设函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 3．（23-24高三下·山西·阶段练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，（a，b，c，x＞0且a，b，c，x≠1），则等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖北·期中）已知函数其中且.若时，恒有，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·广东广州·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三·全国·专题练习）新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池.已知蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）、放电电流（单位：）三者之间满足关系.假设某款电动汽车的蓄电池容量为，正常行驶时放电电源为，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·吉林·期末）已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高一上·全国·课后作业）若实数a，b满足，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数，当时，有．给出以下命题，则正确命题的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的值为 ． 13．（2024高三·北京·专题练习）函数的图象恒过定点，且点在幂函数的图象上，则 . 14．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知函数 （且）， 若有最小值， 则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一上·新疆·期末）计算下列各式的值： (1)； (2). 16．（23-24高一·上海·课堂例题）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，. (1)求当时函数的表达式； (2)若函数，与函数的图像恰有7个不同的交点，求k的值. 17．（24-25高一上·全国·单元测试）某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 18．（23-24高一上·上海·期末）设，已知，. (1)求证：函数不是偶函数； (2)若对任意的、，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，总有成立，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·广西贺州·期末）设区间是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间上存在不动点，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是.设函数，． (1)若，求函数的不动点； (2)若函数在上存在不动点，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$