第四章 指数函数与对数函数（单元复习14类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 3指数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 4、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 5、指数函数的图象变换 已知函数 （1）对称变换 ① ② ③ （2）翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 6、对数概念 对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 7、指数式与对数式的相互转化 当且， 8、对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 9、对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 10、对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 11、函数零点存在定理及其应用 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 12、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 03 题型归纳 题型一指数幂与对数式化简求值 例题1．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）回答下面两个题： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据分数指数幂的运算公式，化简求值； （2）根据对数运算公式，化简求值. 【详解】（1）原式． （2）原式 . 例题2．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）9；（2）1 【分析】（1）根据对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解； （2）由求出，然后代入中化简计算即可. 【详解】（1） ； （2）∵， ∴，， ∴ ． 巩固训练 1．（23-24高一上·河南郑州·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）3；（2）6 【分析】（1）利用指数运算性质化简求值即可； （2）结合指数运算性质，利用完全平方和公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）由，而， 则，故. 2．（23-24高二下·湖北孝感·期末）（1）； （2）． 【答案】（1） ；（2） ． 【分析】由指数幂运算及对数运算性质求解． 【详解】解：（1）； （2）． 题型二 指（对）数函数定义及解析式　 例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数是对数函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据对数函数的定义即可得到答案. 【详解】因为函数是对数函数， 则，解得． 故答案为：1. 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数是指数函数，求实数a的值． 【答案】4 【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，进而即得. 【详解】因为函数是指数函数， 所以，解得， 即实数a的值为4. 巩固训练 1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 【答案】AC 【分析】运用指数函数概念可解. 【详解】若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则满足， 解得或. 故选：AC． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数是对数函数，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据对数函数概念可解. 【详解】函数是对数函数,则． 故答案为：5. 题型三 指（对）数函数的图象　　 例题1．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由二次函数性质即可得，再由指数函数性质及图象即可判断得出结果. 【详解】根据函数的图象可知， 再由指数函数图象及性质可知，为单调递增，可排除AB， 且与轴交点为，又，所以，即交于轴正半轴上，排除D，可知C正确； 故选：C 例题2．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】分、讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据指数函数和二次函数的图象与性质分析判断即可 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   【答案】B 【分析】根据题意求出a的值，可得的具体表达式，判断其图象性质，结合选项，即可得答案. 【详解】由于函数，且的图象过点， 故， 则， 该函数为偶函数，图象关于y轴对称，且上单调递减，在上单调递增， 只有B中图象符合该函数图象特点， 故选：B 题型四 指（对）数函数的单调性　 例题1．（2024·广东佛山·模拟预测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性法则即可得解． 【详解】解：由，可得， 则函数的定义域为， 又，在上单调递减， 在上单调递减， 则由复合函数的单调性法则可知，所求函数的单调递增区间为． 故选：A． 例题2．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次函数单调性，建立不等式，可得答案. 【详解】令，则． 当时，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可知在上单调递增， 且在上恒成立， 所以，解得或（舍去）． 所以在上单调递增， 则，解得． 当时，在上单调递减， 则由复合函数的单调性可知在上单调递减， 且在上恒成立， 所以，解得或（舍去）． 所以在上单调递减， 则，解得，与矛盾． 综上所述，. 故选：C． 巩固训练 1．（2024·江西九江·二模）若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复合函数的单调性结合函数求解. 【详解】函数在上单调递减， 由函数在定义域内单调递增，所以函数在上单调递减且恒大于0， 则有，解得. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）求函数的值域和单调区间． 【答案】值域为；单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】利用对数式有意义，求出函数的定义域，再利用复合函数的值域的求法和对数函数的单调性， 结合复合函数单调性法则即可求出函数的单调区间. 【详解】由，解得， 函数的定义域为． 设，，则， ∵为减函数，， ， ∴， 故的值域为． 由，知对称轴为，开口向下， ∴在上单调递增，在上单调递减， 而在定义域内单调递减； ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 题型五 指（对）数函数的定义域　 例题1．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 【答案】． 【分析】根据指数函数定义域及根号下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故答案为：. 例题2．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在R上恒成立，且，即在R上成立，且，然后结合基本不等式可求得结果. 【详解】解：根据题意，不等式在R上恒成立，且， 即在R上成立，且． 因为，当且仅当时，即时等号成立， 所以，解得， 所以k的取值范围是． 故答案为：． 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)（常数且）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，解出即可. （2）令，解出即可. 【详解】（1）由已知，令，即， 解得， 则函数的定义域为. （2）由已知，令，解得， 则函数的定义域为. 巩固训练 1．（23-24高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 2．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； 【答案】 【分析】（1）定义域为，说明真数恒大于0，列式求解； 【详解】定义域为即真数恒大于0，则或，得 所以的取值范围是． 题型六　指（对）数函数的值域 例题1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用整体思想先求真数的范围，再根据对数函数的单调性计算即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递增， 所以. 故答案为：. 例题2．（23-24高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】令，然后利用配方法可得答案. 【详解】令，则， 则， 所以当时，有最小值. 故答案为：. 例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】）值域为，说明真数能取遍，列式求解. 【详解】值域为即真数能取遍 当时，成立， 当，解得， 所以的取值范围是 故答案为 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】利用换元法结合二次函数求值域即可. 【详解】设，则， 换元得， 显然当时，函数取到最小值， 所以函数的值域为． 故答案为：. 2．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知x满足. (1)求的取值范围； (2)求函数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对数函数的单调性即可求解； （2）先通过对数运算化简函数得，然后利用二次函数性质求解函数最值即可. 【详解】（1）由，得. （2）因为， 所以当即时，取得最小值. 题型七　指（对）数式比大小 例题1．（2024·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用放缩法可得，利用作商比较法可得，进而可得，可得结论. 【详解】， 所以则， 又， 所以，所以. 故选：D. 例题2．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数、对数函数的单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 因此. 故选：C 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数单调性分析判断； （2）根据指数函数单调性分析判断； （3）根据对数函数单调性分析判断. 【详解】（1）因为在内单调递增，且， 所以. （2）因为在内单调递减，且， 所以. （3）因为在内单调递减，且， 所以. 巩固训练 1．（2024·天津南开·二模）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断. 【详解】因为， ，， 故. 故选：C. 2．（2024·天津北辰·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值“”分析大小即可. 【详解】因为在上单调递减，则，即； 又因为在上单调递减，则，即； 可得，且在上单调递增， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 3．（23-24高二下·河北·期末）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数运算和对数函数单调性得到，得到结论. 【详解】，故， 即. 故选：D 题型八 根据指（对）数函数的单调性解不等式　 例题1．（23-24高一上·广东茂名·期末）（1）已知函数，，求函数的值域； （2）解关于x的不等式：（且）. 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【分析】（1）利用指数函数单调性求出值域即得. （2）按分类，结合对数函数单调性求解不等式即得. 【详解】（1）函数在上单调递增，则，即， 所以函数，的值域为. （2）当时，在上单调递减，由， 得，解得，因此不等式的解集为； 当时，在上单调递增，由， 得，解得，因此不等式的解集为； 所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 例题2．（23-24高一上·陕西榆林·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据为偶函数，由求解； （2）由（1）可求出，再由可得，即，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）函数为偶函数， ，即， ， . （2）由（1）知，， ， 不等式，等价于， 即， 由，解得， 由，得， 得，即， 综上，不等式的解集为. 巩固训练 1．（23-24高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意得，从而可求出函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义分析判断； （3）由，得，然后利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域为， （2）函数为奇函数，证明如下： 因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 因为， 所以为奇函数. （3）由，得， 所以， 因为在定义域内为减函数，所以，解得， 所以不等式的解集为. 2．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）求满足下列条件的的取值范围． (1)； (2)（，且）． 【答案】(1) (2)当时，；当时，. 【分析】（1）将化为，再根据对数函数的单调性求解出的取值范围； （2）根据进行分类讨论，结合指数函数的单调性求解出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又因为在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为； （2）当时，在上单调递减， 因为，所以，即， 解得或， 所以的取值范围为； 当时，在上单调递增， 因为，所以，即， 解得， 所以的取值范围为； 综上所述，当时，；当时，. 题型九 不同函数的增长差异 例题1．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知，则下列命题中正确的是（    ） A．，，有成立 B．，，有成立 C．，，有成立 D．，，有成立 【答案】A 【分析】根据不同函数类型的增长速度，即可得到答案. 【详解】因为，所以函数、、均为单调递增函数. 而且各类函数的增长速度为：指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数. 所以，，，有成立. 故选：A. 例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，，，则，，的大小关系是 （用“>”连接）． 【答案】 【分析】构造指数对数函数，利用指数对数函数的单调性，判断出，，和0，1的大小关系，即可得结果． 【详解】在上是增函数， ． 在上是增函数， ． 在上是减函数， ， 即． 故答案为． 【点睛】本题考查指数式对数式比较大小的问题，①同底的两个对数比较大小时，如果底数大于1，那么真数大的对数较大；如果底数大于0且小于1，那么真数大的对数较小②不同底的两个对数比较大小时，可通过中间量进行比较，常用的中间量是1和0． 巩固训练 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）三个变量随变量变化的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 30 5 130 505 1130 2005 3130 4505 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120 5 30 55 80 105 130 155 其中关于呈指数增长的变量是 【答案】 【分析】根据指数函数的性质得到答案. 【详解】指数型函数呈“爆炸式”增长. 从表格中可以看出，三个变量，，，的值随着的增加都是越来越大， 但是增长速度不同，相比之下，变量的增长速度最快，可知变量关于x呈指数型函数变化. 故答案为： 2．（23-24高一·全国·课后作业）能使不等式一定成立的x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出三个函数的图像，根据图像关系即可得到结论. 【详解】作出、（红色）、图像 由图像可知，当时， 故选：D. 【点睛】考查了指数函数、二次函数、对数函数图像的应用，利用数形结合是解决本题的关键. 题型十 判断函数的零点（方程的根）的个数 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 【答案】A 【分析】将方程根的个数转化为函数交点的个数问题，数形结合作出函数图象计算即可. 【详解】方程的解的个数， 等价于函数和函数的图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示． 数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2． 故选：A 例题2．（2024高一上·全国·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】 首先将函数的零点转化为两个函数图象的交点个数问题，再结合奇函数的性质，即可判断. 【详解】当时，令，可得，即， 在坐标系中作出函数的图象如图： 由图可知在区间上有1个交点， 又因为奇函数，所以当时，有一个零点，又因，所以一共有三个零点. 故选：C 巩固训练 1．23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分两种情况，解方程即可得解. 【详解】当时，由可得， 所以， 所以，故， 当时，由可得，故， 则的零点有，，3，共计3个. 故选：C． 2．（2024·浙江·二模）函数至多有 个零点． 【答案】1 【分析】运用函数零点概念，求解零点，结合分段函数特征,分类讨论判定即可. 【详解】当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且. 当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点. 综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点 故答案为：1． 题型十一 根据函数零点（方程根）所在区间求参数 例题1．（2024高三·全国·专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数单调性，根据零点所在区间，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】因为函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数的一个零点在区间内得， 解得， 故选：A 例题2．（2024高一上·江苏·专题练习）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数单调性，结合函数零点存在定理即可得到答案. 【详解】因为在上均为增函数， 则函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则，可得． 故答案为：. 巩固训练 1．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可. 【详解】若函数存在1个零点位于内， 单调递增,又因为零点存在定理， . 故选：A. 2．（23-24高一下·福建福州·期末）函数的零点所在区间为，，则 ． 【答案】2 【分析】判断函数单调性，利用零点存在定理确定零点所在区间，即可得答案. 【详解】由题意知函数在R上单调递增， 由， 故函数的零点所在区间为， 故， 故答案为：2 题型十二 根据函数零点（方程根）个数求参数 例题1．（多选）（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（    ）． A．0 B． C．1 D． 【答案】BCD 【分析】先作出函数的图象，然后结合函数的零点与方程的根的关系，得到方程的一个根在，一个根在，结合一元二次方程的根的分布问题即可求解． 【详解】记，作出函数的图象如图所示， 令，则由图可知， 当时，方程只有一个根； 当时，方程有两个根； 当时，方程有三个根； 显然不是方程的根， 若是方程的根，则，此时另一个根为， 结合图象可知，此时方程和方程共有4个根，则函数有4个零点，不满足题意； 所以恰有5个零点等价于方程恰有5个实根， 等价于方程的一个根在，一个根在， 令，则，解得， 结合选项可知，的值可以是. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 例题2．（23-24高二下·海南海口·期末）已知函数，.若，则 ；若函数的图象与的图象有3个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用分段函数的定义直接计算可得第一空；作出两个函数的图象，利用数形结合分类讨论即得. 【详解】若，则，显然， 则； 如图所示作出的大致图象， 易知过原点，要满足题意需与有两个交点， 当过时，此时，不满足题意， 当时，与只一个交点， 数形结合可知，当的斜率介于时满足题意，即. 故答案为：；. 例题3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知函数（且），若函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意只需当，且时，函数的图象上有且仅有1个点关于轴对称即可，在这里分和讨论即可求解. 【详解】易得时已有一个点关于轴对称，故只需当，且时，函数的图象上有且仅有1个点关于轴对称即可. 一方面：由题意，时，如图所示，    函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称， 其中点为函数的图象与函数的交点， 注意到函数的图象与函数的图象关于轴对称， 所有点关于轴的对称点也在函数的图象上， 而这样的点是唯一的，故点也随之确定， 即时，函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，故满足题意； 另一方面：时，函数的图象与函数的图象关于轴对称，    则只需，∴， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 巩固训练 1．（多选）（2024·河北·模拟预测）（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ） A．-3 B．-2 C．0 D．2 【答案】BC 【分析】令，则，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求的值，再求x的值，结合函数图象分析运算. 【详解】由题意可知， 当时，在上单调递减，则； 当时，在上单调递增，则； 若函数恰好有4个不同的零点， 令，则有两个零点，可得， 当时，则，解得； 当时，则，可得； 可得和均有两个不同的实根， 即与、均有两个交点， 则，且，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 且，故A、D错误，B、C正确. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法， （1）利用零点存在定理构建不等式求解， （2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解， （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 2．（23-24高二下·北京·期末）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，按和分类讨论，结合指数函数值域求解即得. 【详解】当时，若，则， 若，则，当且仅当时取等号， 则当时，恰有一个零点，因此； 当时，若，则， 若，，显然，此时有一个解， 由恰有一个零点，则当且仅当，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决. 【详解】设，当时，，此时， 由，得，即，解得或， 即在上有2个零点； 若，，其图象对称轴为， 函数的大致图像如图： 则此时，即，则， 即无解，则无零点，此时无零点，不符合题意； 故需，此时函数的大致图像如图： 由得或， 要使得函数恰有3个零点，需满足在上有一个零点， 此时只有一个解，故只需与函数在y轴左侧图象无交点， 则需，解得，结合， 可得， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题为复合函数的零点问题，解答时采用数形结合的方法去解决，即作出函数的大致图像，将函数零点问题转化为曲线的交点个数问题，即可解决. 题型十三 二分法及其应用 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.05）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 【答案】B 【分析】由图表知，故由二分法思想再取的中点，当区间长度小于精确度时便得到近似解. 【详解】因为，故根据二分法的思想，知函数的零点在区间内， 但区间的长度为，因此需要取的中点1.312 5， 两个区间和中必有一个满足区间端点的函数值符号相异， 又区间的长度为，因此1.312 5是一个近似解． 故选：B. 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（    ） A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 【答案】C 【分析】利用二分法可得出结果. 【详解】已知，则函数的零点的初始区间为， 又因为，且， 所以零点在区间上， 又， 所以所求近似值可以为. 故选：C. 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在内的唯一零点时，误差不超过，则结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当小于精度时结束计算，得到答案. 【详解】根据二分法的步骤知，经过一次计算，区间长度变为， 当时，结束计算，故， 故选：B. 2．（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 【答案】C 【分析】由二分法的定义直接求解即可. 【详解】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为， 故没有达到精确的要求，应该接着计算的值. 故选：C 题型十四 函数模型选择及应用 例题1．（2024高三·全国·专题练习）某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率（利润/成本）低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y（单位：百万元）与年投资成本x（单位：百万元）变化的一组数据： 年份 2019 2020 2021 2022 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下三个函数模型：①；②；③． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； (2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型． 【答案】(1)选③； (2)要考虑转型 【分析】（1）将分别代入三个函数进行求解，再检验； （2）由，则，进行求解． 【详解】（1）将代入， 得，解得，得， 当时，，不符合题意； 将代入， 得，解得，得， 当时，，不符合题意； 将代入， 得，解得，得 当时，，当时，， 故可用③来描述之间的关系． （2）由，则. ∵年利润率为， ∴该企业要考虑转型． 2．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如表． 上市时间天 2 6 32 市场价/元 148 60 73 (1)根据上表数据，从①，②中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（无需说明理由），并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； (2)记你所选取的函数，若存在，使得不等式成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)选择，该纪念章上市12天时，市场价最低，最低市场价为每枚48元 (2) 【分析】（1）由表格数据分析变量与变量的关系，由此选择对应的函数关系； （2）不等式变形为在上恒成立，只需，求出相应的函数最小值，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）将分别代入，得， 所以，即， 当且仅当,即时，最小， 所以该纪念章市场价最低时的上市天数为天，最低市场价为； （2）因为为正实数，所以原不等式可以整理为： ，， 因为对，都有不等式恒成立，即， 根据的函数性质，可知上单调递减，上单调递增， 所以时，，则， 解得，所以正实数的取值范围为. 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48 mm2，经过3分钟覆盖面积为64 mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝kax（k＞0，a＞1）；②y＝logbx（b＞1）；③y＝p＋q（p＞0）可供选择．（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477） (1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式． (2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300 mm2？（结果保留到整数） 【答案】(1)应选函数模型y＝kax（k＞0，a＞1），y＝27×（）x（x≥0） (2)9 min 【详解】解：（1）因为y＝kax（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快， y＝logbx（b＞1）和y＝p＋q（p＞0）的增长速度越来越慢， 所以应选函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）. 由题意得解得 所以该函数模型为y＝27×（）x（x≥0）. （2）由题意得27×（）x＞300，即（）x＞，所以x＞log. 又log＝＝≈≈8.368， 所以至少经过9 min培养基中菌落的覆盖面积能超过300 mm2. 2．（23-24高一上·浙江湖州·期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示． 0 10 30 70 0 1325 3375 9275 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，． (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值． 【答案】(1)选， (2)车速为，该电动汽车的电池所需的最小容量为 【分析】（1）根据题意，得到，结合提供的数据，列出方程组，取得，即可求解； （2）设车速为，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：对于，当时，它无意义，所以不符合题意； 对于，它显然是个减函数，所以不符合题意， 故选． 根据提供的数据，则有，解得， 当时，． （2）解：设车速为，所用时间为， 所耗电量， 要使得续航里程最长，则耗电量达到最小，即． 所以当测试员控制的车速为， 该电动汽车的电池所需的最小容量为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、次根式定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 特别的： ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，叫做的次算术根；负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成(). ③负数没有偶次方根； ④的任何次方根都是，记作 2、指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，定义域是. 3指数函数的图象与性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性 质 定义域 值域 定点 图象过定点 单调性 增函数 减函数 函数值的变化情况 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 函数与的图象关于轴对称 4、值域 （1）指数函数的值域为 （2）求形如的函数的值域，先求的值域，然后结合得性质确定的值域 （3）求形如的值域，转化为先求的值域，再将的取值范围代入函数中. 5、指数函数的图象变换 已知函数 （1）对称变换 ① ② ③ （2）翻折变换 ①（去掉轴左侧图象，保留轴右侧图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧） ②（保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方） 6、对数概念 对数的概念：一般地,如果(,且),那么数叫做以为底的对数,记作,其中叫做对数的底数,叫做真数. 7、指数式与对数式的相互转化 当且， 8、对数的运算性质 当且，, ① ② ③（） ④（） ⑤（） 9、对数的换底公式 换底公式：（且，，，且） 特别的： 10、对数函数的图象及其性质 函数的图象和性质如下表： 底数 图象 性质 定义域 值域 单调性 增函数 减函数 11、函数零点存在定理及其应用 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 12、二分法的概念 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ) 03 题型归纳 题型一指数幂与对数式化简求值 例题1．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）回答下面两个题： (1) (2) 例题2．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 巩固训练 1．（23-24高一上·河南郑州·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 2．（23-24高二下·湖北孝感·期末）（1）； （2）． 题型二 指（对）数函数定义及解析式　 例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）已知函数是对数函数，则 ． 例题2．（23-24高一·全国·课后作业）已知函数是指数函数，求实数a的值． 巩固训练 1．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数是对数函数，则实数 ． 题型三 指（对）数函数的图象　　 例题1．（23-24高一上·重庆·期中）已知函数的图象如下图所示，则的图象可能是（    ）      A．   B．   C．   D．   例题2．（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A．B．C． D． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A．B．C．D． 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）若函数，且的图象过点，则函数的大致图象是（    ） A．   B． C．   D．   题型四 指（对）数函数的单调性　 例题1．（2024·广东佛山·模拟预测）函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·江西九江·二模）若函数在（1，2）上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）求函数的值域和单调区间． 题型五 指（对）数函数的定义域　 例题1．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 例题2．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)（常数且）． 巩固训练 1．（23-24高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·全国·课后作业）（1）若的定义域为，则实数的取值范围为 ； 题型六　指（对）数函数的值域 例题1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的值域是 . 例题2．（23-24高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ． 例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）若函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 . 2．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知x满足. (1)求的取值范围； (2)求函数的最小值. 题型七　指（对）数式比大小 例题1．（2024·四川乐山·三模）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一·上海·课堂例题）比较下列各题中两个数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 巩固训练 1．（2024·天津南开·二模）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 2．（2024·天津北辰·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河北·期末）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八 根据指（对）数函数的单调性解不等式　 例题1．（23-24高一上·广东茂名·期末）（1）已知函数，，求函数的值域； （2）解关于x的不等式：（且）. 例题2．（23-24高一上·陕西榆林·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 巩固训练 1．（23-24高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集. 2．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）求满足下列条件的的取值范围． (1)； (2)（，且）． 题型九 不同函数的增长差异 例题1．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知，则下列命题中正确的是（    ） A．，，有成立 B．，，有成立 C．，，有成立 D．，，有成立 例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）已知，，，则，，的大小关系是 （用“>”连接）． 巩固训练 1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）三个变量随变量变化的数据如下表： 0 5 10 15 20 25 30 5 130 505 1130 2005 3130 4505 5 90 1620 29160 524880 9447840 170061120 5 30 55 80 105 130 155 其中关于呈指数增长的变量是 2．（23-24高一·全国·课后作业）能使不等式一定成立的x的取值范围是 A． B． C． D． 题型十 判断函数的零点（方程的根）的个数 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 例题2．（2024高一上·全国·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 1．23-24高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·浙江·二模）函数至多有 个零点． 题型十一 根据函数零点（方程根）所在区间求参数 例题1．（2024高三·全国·专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高一上·江苏·专题练习）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 巩固训练 1．（23-24高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）若函数存在1个零点位于内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·福建福州·期末）函数的零点所在区间为，，则 ． 题型十二 根据函数零点（方程根）个数求参数 例题1．（多选）（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知函数，若函数恰有5个零点，则m的值可以是（    ）． A．0 B． C．1 D． 例题2．（23-24高二下·海南海口·期末）已知函数，.若，则 ；若函数的图象与的图象有3个公共点，则的取值范围是 . 例题3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知函数（且），若函数的图象上有且仅有一组点关于轴对称，则的取值范围是 . 巩固训练 1．（多选）（2024·河北·模拟预测）（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ） A．-3 B．-2 C．0 D．2 2．（23-24高二下·北京·期末）设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是 . 3．（2024高三·全国·专题练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 . 题型十三 二分法及其应用 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程的根的近似值时，令，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989 则由表中的数据，可得方程的一个近似解（误差不超过0.05）为（    ） A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875 例题2．（24-25高一上·全国·课后作业）在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（    ） A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 巩固训练 1．（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求函数在内的唯一零点时，误差不超过，则结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（    ） A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算 D．没有达到精确度的要求，应该接着计算 题型十四 函数模型选择及应用 例题1．（2024高三·全国·专题练习）某新型企业为获得更大利润，需不断加大投资，若预计年利润率（利润/成本）低于10%，则该企业就考虑转型．下表显示的是某企业几年来利润y（单位：百万元）与年投资成本x（单位：百万元）变化的一组数据： 年份 2019 2020 2021 2022 … 投资成本x 3 5 9 17 … 年利润y 1 2 3 4 … 给出以下三个函数模型：①；②；③． (1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系； (2)试判断该企业年利润为6百万元时，该企业是否要考虑转型． 2．（23-24高二下·宁夏石嘴山·期末）为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近期投放市场．根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的数据如表． 上市时间天 2 6 32 市场价/元 148 60 73 (1)根据上表数据，从①，②中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价与上市时间的变化关系（无需说明理由），并利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价； (2)记你所选取的函数，若存在，使得不等式成立，求正实数的取值范围． 巩固训练 1．（2024高三·全国·专题练习）某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为48 mm2，经过3分钟覆盖面积为64 mm2，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积y（单位：mm2）与经过时间x（单位：min）的关系现有三个函数模型：①y＝kax（k＞0，a＞1）；②y＝logbx（b＞1）；③y＝p＋q（p＞0）可供选择．（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477） (1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式． (2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过300 mm2？（结果保留到整数） 2．（23-24高一上·浙江湖州·期末）随着电动汽车研发技术的日益成熟，电动汽车的普及率越来越高．某型号电动汽车在封闭路段进行测试，限速（不含）．经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如下表所示． 0 10 30 70 0 1325 3375 9275 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择： ，，． (1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)在本次测试报告中，该电动汽车的最长续航里程为．若测试过程为匀速运动，请计算本次测试时的车速为何值时，该电动汽车电池所需的容量（单位：）最小？并计算出该最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$