第四章 指数函数与对数函数（单元复习 压轴题专练）-2024-2025学年高一数学单元速记（人教A版2019必修第一册）

第四章 指数函数与对数函数（压轴题专练） 题型一：求指数型复合函数的值域 1．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，其中实数，若对于使得，则的一个可能的取值为 . 2．（23-24高一上·河南三门峡·期末）已知函数满足，有． (1)求的解析式； (2)若，函数，且，，使，求实数a的取值范围． 3．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）设函数，. (1)求函数的值域； (2)设函数，若对，，，求实数a取值范围. 题型二：根据指数型复合函数的值域求参数 1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 . 题型三：根据指数型复合函数的单调性解不等式 1．（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）设函数，，，若，则实数的取值范围是 . 2．（2024高一·全国）当为何值时，不等式恰有一个解． 3．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数且的图象过点. (1)求不等式的解集； (2)已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值. 4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数（，且）． (1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值； (2)在（1）的条件下，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 题型四：指数函数最值与不等式综合问题 1．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 2．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·山东济宁·期中）设函数，是定义域为的奇函数. (1)确定的值. (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. 4．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，． (1)证明函数在上单调递减； (2)若，，使得，求实数a的取值范围； (3)若关于x的不等式：在上有解，求实数a的取值范围． 题型五：求对数型复合函数的值域 1．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若函数的图象过点，求函数的值域． 4．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数为奇函数． (1)解不等式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 题型六：根据对数型复合函数的值域求参数 1．（23-24高一上·天津·阶段练习）函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海·假期作业）设函数的值域是，求实数的取值范围. 题型七：根据对数型复合函数的单调性解不等式 1．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)已知，讨论在上的最小值； (3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知. (1)若，求的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围 3．（23-24高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，其中且. (1)若，，求不等式的解集； (2)若，，求b的取值范围. 题型八：对数函数最值与不等式综合问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数且． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若且存在，使得成立，求的最小整数值． 2．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知函数的图象与（，且）的图象关于直线对称，且的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求的取值范围； (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 3．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知函数（且）在上的最大值为. (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 4．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对一切实数成立，求实数的取值范围. 题型九：判断函数零点（方程根）个数 1．（2024·新疆·二模）已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．5 D．10 2．（23-24高一下·云南·阶段练习）定义为不超过的最大整数，如，，，.已知函数满足：对任意..当时，，则函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 4．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．的图象没有对称中心 C．的增区间为 D．方程有5个实数解 题型十：根据函数零点（方程根）个数求参数 1．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数若恰有三个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南昆明·期末）设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 3．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数的定义域为，，若函数有三个零点，则实数的取值范围为 . 4．（23-24高一上·浙江宁波·自主招生）已知函数． (1)在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)若方程有3个解，求实数的取值范围． 题型十一：新定义题 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设函数的定义域，若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是“无奇”函数，求实数的取值范围． 2．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）对于函数，，如果存在实数a，b，使得函数，那么我们称为，的“HC函数”． (1)已知，，试判断是否为，的“HC函数”．若是，请求出实数a，b的值；若不是，请说明理由； (2)已知，，为，的“HC函数”且，．若关于x的方程有解，求实数m的取值范围； (3)在后续学习中，我们将学习如下重要结论：“对于任意的正实数a，b，都有，当且仅当时，式中的等号成立”．我们将这个结论称为“基本不等式”．请利用“基本不等式”，解决下面的问题：已知，，为，的“HC函数”（其中），的定义域，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 3．（23-24高二下·福建三明·期末）若对定义域内任意，都有，则称函数为“距”增函数. (1)已知，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)已知是“距”增函数，求的最小值； (3)已知是“2距”增函数，求的最小值. 4．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”． (1)求证；若为的“不动点”，则为的“稳定点”； (2)若，若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，且，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 指数函数与对数函数（压轴题专练） 题型一：求指数型复合函数的值域 1．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知函数，其中实数，若对于使得，则的一个可能的取值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】转化为值域的包含关系，分类讨论后列式求解， 【详解】若对于使得， 设，，则， 的对称轴为， ①当时，在上单调递减，， 而，显然不满足题意， ②当时，，则在内单调递减，在内单调递增， ， 而在上单调递减， ，故时满足题意， ③当时，， 在上单调递增，， 由解得， 综上，当且时，对于使得， 故答案为：（答案不唯一） 2．（23-24高一上·河南三门峡·期末）已知函数满足，有． (1)求的解析式； (2)若，函数，且，，使，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过列方程组的方法来求得的解析式； （2）先求得的值域，利用换元法，结合函数的单调性求得的值域，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）， 将x替换成，得， 联立两式，，解得． （2）因为在上单调递增， 所以， 对于，不妨取， 则， 因为，所以，， 则，即，故在上单调递增， 又在上单调递增，且在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，，所以在上单调递增，且恒成立， 所以在上单调递增， 则，， 因为，，使， 所以的值域是的值域的子集． 故，即，解得（负值舍去）， 所以． 【点睛】求解两个函数相等的恒成立、存在性问题，可以转化为两个函数值域的包含关系，列不等式来进行求解.求解对钩型函数的单调性、值域等问题，可以先判断出函数的单调性，从而求得函数的值域（或最值）. 3．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）设函数，. (1)求函数的值域； (2)设函数，若对，，，求实数a取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式求函数值域； （2）将问题转化为的值域为值域的子集求解. 【详解】（1）∵，又∵，， ∴，当且仅当，即时取等号， 所以， 即函数的值域为. （2）∵， 设，因为，所以，函数在上单调递增， ∴，即， 设时，函数的值域为A.由题意知， ∵函数 ①当，即时，函数在上递增， 则，即 ，∴ ②当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者， 而且，不合题意， ③当，即时，函数在上递减， 则，即 ，满足条件的不存在， 综上所述，实数a取值范围为. 【点睛】对于双变量双函数类似，，的问题转化为值域包含值域的问题. 题型二：根据指数型复合函数的值域求参数 1．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑时，由指数函数的单调性得到取值范围，此时不成立，舍去，再考虑，结合基本不等式求出函数值域，A错误；考虑，求出与时的函数值取值范围，进而得到不等式，求出答案. 【详解】①若，当时，在上单调递增， 此时，则，又不成立， 所以此时不成立，排除选项D； ②若 当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 则函数的值域，满足；排除选项A； ③若，当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域满足， 则解得. 综上所述：. 故选：C. 2．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数值域为，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题. 【详解】当时，单调递增， 所以 当时，单调递增， 所以， 要使得函数值域为， 则恒成立， 令， 如图所示：    由图可知有两个交点，且交点的横坐标分别为， 所以若要，则， 也即函数的值域为时， 则实数的取值范围为：， 故选：D. 3．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，求出在对应区间上的值域，分类讨论解不等式即可求出的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增，所以时，； 当时，， 当时，在上单调递减，所以时， 即时，， 因为函数的值域为， 所以时，且. 由不等式，解得 不等式等价于时，， 设， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 由不等式，解得， 所以时，的解集为， 综上，的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据指数函数和二次函数单调性求得该分段函数值域，再利用值域间的包含关系解不等式可得结果. 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用函数的最值求出，通过函数的值域，求出的取值范围 【详解】，则在上递减，在上递增， 所以当时，函数取得最小值0， 由，得或， 所以函数在区间上的值域为时，， 故答案为： 题型三：根据指数型复合函数的单调性解不等式 1．（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）设函数，，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题写出函数，判断其奇偶性，将不等式等价转化，利用函数的奇偶性和单调性得到对数不等式，利用对数函数单调性解之即得. 【详解】由题意， 当时，，则，即函数是偶函数. 因时，函数单调递增， 则， 故得，即， 故，解得. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查利用分段函数的单调性和奇偶性解抽象不等式，属于较难题. 解决此类问题的思路在于，根据所给的函数判断其奇偶性和单调性，利用函数的这些性质将抽象不等式化成具体不等式求解即得. 2．（2024高一·全国）当为何值时，不等式恰有一个解． 【答案】． 【分析】令，则，将原不等式化为，记，判断在上单调递增且，从而得到，即恰有一个解，然后利用判别式求解即可. 【详解】令，则，原不等式化为， 因为，所以，所以， 记， 因为，且与在上均单调递增，所以在上单调递增，且， 所以不等式的解为， 即原问题转化为恰有一个解， 根据二次函数图象和性质可知方程有两个相等的根， 所以，解得． 3．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数且的图象过点. (1)求不等式的解集； (2)已知，若存在，使得不等式对任意恒成立，求的最小值. 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）根据给定条件，求出值及函数，再解对数不等式即得. （2）利用函数的单调性脱去法则并变形，转化为一元二次不等式恒成立求解即得. 【详解】（1）依题意，，解得，则， ， 不等式，即，解得， 则有，即， 所以原不等式的解集为. （2）当时，，又在上单调递增， 则当时，不等式恒成立，等价于恒成立， 即恒成立，当时，，得， 设函数，其图象开口向上，对称轴方程为， 而，即， 又对任意恒成立，则， 于是在上的最小值为， 原问题转化为：存在，使得，即， 由于，则，要使成立，只需， 解得，又，所以的最小值为6. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则. 4．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数（，且）． (1)若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且点在函数的图象上，求实数的值； (2)在（1）的条件下，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由指数函数与对数互为反函数得，再由过定点求解； （2）利用对数函数的单调性，将不等式转化为二次不等式在闭区间上的恒成立问题，结合二次函数图象建立不等式组求解可得. 【详解】（1）由函数的图象与函数的图象关于直线对称， 则为的反函数，即（，且）， 又过，则有，解得； （2）由（1）知在为减函数， 则，且， 由题意，首先不等式在有意义， 设，函数单调递增， 则，则，此时也满足. 不等式可化为， 则有，， 则有在恒成立， 设，函数图象开口向上， 则，解得，满足. 故实数的取值范围为. 题型四：指数函数最值与不等式综合问题 1．（23-24高二下·山东青岛·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数k的值； (2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出参数并检验即可得解； （2）分离参数并通过换元法可得，故只需求出不等式右边的最小值即可得解. 【详解】（1）因为是奇函数， 所以，解得，此时符合题意． （2）原问题即为，即恒成立， 则， 设， 则， ，∴当时，y取得最小值26， 要使不等式在上恒成立，则， 2．（23-24高一上·山东枣庄·期中）已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到，再验证即可； （2）变换得到，设，根据均值不等式计算得到，即可得到m的范围. 【详解】（1）是奇函数，且定义域为，所以，即，解得. ，，所以是奇函数， 故. （2），，恒成立，得， 因为，所以，则，所以， 设， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 又，所以，故， 所以，即. 3．（23-24高一上·山东济宁·期中）设函数，是定义域为的奇函数. (1)确定的值. (2)若，判断并证明的单调性； (3)若，使得对一切恒成立，求出的范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质计算可得； （2）首先求出的值，即可得到函数解析式，再利用单调性的定义证明即可； （3）依题意可得对恒成立，由，即可得到，从而得解. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数， 则， 而，解得， 所以的值是. （2）由（1）得，是定义域为的奇函数， 又，则，即，又，解得， 则 所以函数在上单调递增，证明如下： 设且， 则， 因为，则，即，， 于是得，即， 所以函数在定义域上单调递增. （3）当时，， 因为，， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，解得，所以的取值范围为. 4．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，． (1)证明函数在上单调递减； (2)若，，使得，求实数a的取值范围； (3)若关于x的不等式：在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用定义法作差变形判断得到结论即可； （2）转化为即可得到答案； （3）转化为，再设新函数求出右边最小值即可. 【详解】（1）证明：任取， ，,, 即函数在上单调递减. （2）由（1）的结论知在上单调递减，则， 因为在上单调递增，所以 若，使得，则 即，解得. （3）由题意得在上有解， 即在上有解，所以， 设， 因为在单调递减，在单调递减， 所以在上单调递减， 所以，所以. 题型五：求对数型复合函数的值域 1．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 2．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和对数函数单调性即可求得函数的值域. 【详解】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B 3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)若函数的图象过点，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，利用对数函数和指数函数的单调性可得出不等式的解集； （2）由可求出的值，再化简函数的解析式，利用指数函数和对数函数的基本性质可得出函数的值域. 【详解】（1）解：当时，． 由，得，得，得，解得． 故不等式的解集是． （2）解：因为函数的图象过点，所以， 即，解得．所以． 所以， 则． 因为，则，，所以的值域为． 4．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数为奇函数． (1)解不等式； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇偶性的定义直接可得参数值，进而可判断函数的单调性，解不等式； （2）由（1）可得的值域，再利用换元法设，可得的值域，根据，列不等式可得解. 【详解】（1）由已知函数需满足， 当时，函数的定义域为， 又函数为奇函数，所以，即在上恒成立，即，（舍）， 当时，，函数的定义域为， 又函数为奇函数，所以，， 此时，满足，为奇函数，成立， 所以， 所以函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 所以，解得； （2）由（1）得在的值域， 又， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立， 即， 所以， 解得. 题型六：根据对数型复合函数的值域求参数 1．（23-24高一上·天津·阶段练习）函数的值域为R．则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质，结合一元二次不等式求解即得. 【详解】由函数的值域为R，得的值域包含正实数集， 因此，解得或， 所以实数m的取值范围是. 故选：D 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则函数在上的值域为等价于在上，结合基本不等式求解即可. 【详解】设， 因为的值域为，所以， 又，，所以， 即，解得：且， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 3．（23-24高一上·上海·假期作业）设函数的值域是，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】设的值域为A，分析可得，分和两种情况，结合二次函数性质分析求解. 【详解】设的值域为A， 若函数的值域是，可得， 若，可得的值域为，符合题意； 若，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围. 题型七：根据对数型复合函数的单调性解不等式 1．（23-24高一上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)已知，讨论在上的最小值； (3)若当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）设，代入得到值，计算，得到方程组，解出值，即可得到解析式； （2）分，和讨论，结合函数单调性即可得到其最小值； （3）不等式化简为，分和讨论，当时，利用函数的单调性即可得到不等式组，解出即可. 【详解】（1）设，因为，所以， 则 因为， 所以解得 故． （2）． 当，即时，在上单调递减， 所以； 当且，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递增， 所以． 综上，当时，； 当时，； 当时，． （3）不等式可化简为． 因为，所以． 要使时，恒成立，显然时不可能． 当时，因为函数、在上均为增函数， 则函数在单调递增，故解得． 综上可知，实数的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题第二问属于轴定区间动问题，对其分类讨论的情况需要结合其开口方向，所问的是最大值还是最小值，抓住对称轴这一关键位置，数形结合讨论最值，第三问是一个函数恒成立问题，本问需要对进行分类讨论，尤其是当时，需要构造新函数，利用其单调性得到不等式组. 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知. (1)若，求的取值范围； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求函数的定义域，利用对数函数的性质可得，进而求的取值范围； （2）根据函数单调性的定义判断，再由复合函数的单调性求最值，将问题转化为求参数范围. 【详解】（1）由解析式知：函数的定义域为， 由，可得：，解得， 综上，的取值范围是. （2）令， 设，则， 又，，故，即，函数在单调递增. ∵在上单调递增﹐ ∴在上单调递增， 由，即，为增函数. 故设，则在上单调递增， ∴，即有. 【点睛】关键点点睛：第二问，首先根据复合函数单调性的判断方法确定的单调性，并求其最值，再将恒成立问题化为求范围. 3．（23-24高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数，其中且. (1)若，，求不等式的解集； (2)若，，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复合函数单调性得到的单调性，再分类讨论即可； （2）首先得到，再转化为单调性问题，最后对分类讨论即可. 【详解】（1）当时，. 由，解得或，所以的定义域为. 因为，所以为偶函数. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当，即时，此时函数单调递增，且，原不等式成立. 当，即时，， 因为，则，解得，所以. 而恒成立，即当时，不等式无解， 综上，原不等式的解集是. （2）因为，且，所以， 又因为，所以在上单调递增. 当时，是减函数，函数在上单调递增， 此时函数在其定义域的的右侧区间上单调递减，与在上单调递增不符. 当时，要使在上单调递增， 则在上单调递增，且在上恒成立， 所以，解得. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是得到复合函数的单调性，再合理分类讨论；第二问的关键是等价转化为在上单调递增，再对进行分类讨论即可. 题型八：对数函数最值与不等式综合问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数且． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若且存在，使得成立，求的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，得到在上是增函数，且，即可求解； （2）由，的得到，把不等式，转化为，结合题意，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，设， 由且，可得函数在上是增函数，所以， 又由函数定义域可得，解得， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，可得， 又由，可得， 所以，即， 因为存在，使得成立，可得， 所以实数的最小整数值是． 2．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知函数的图象与（，且）的图象关于直线对称，且的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求的取值范围； (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图象经过的点，即可代入求解，根据反函数的性质即可求解； （2）根据函数的单调性即可求解； （3）根据单调性求解最值，即可求解. 【详解】（1）因为（，且）的图象过点， 所以，解得，所以． 又因为函数的图象与的图象关于对称，所以． （2）因为为内的单调递减函数， 所以，即， 则解得， 所以的取值范围为． （3）对于，， 对，恒成立，所以． 即实数的取值范围是． 3．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知函数（且）在上的最大值为. (1)求的值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分和两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出的值； （2）将代入不等式，参变分离化简，并求出的最大值，可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，函数在上单调递增， 则，解得； 当时，函数在上单调递减， 则，舍去； 综上可知，； （2）由（1）得，， 当时，， 即，化简得， 构造， 和分别在上单调递增， 在上单调递增，， 故实数的取值范围是. 4．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对一切实数成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)为上的偶函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）判断出函数为上的偶函数，然后利用函数奇偶性的定义证明可得结论； （2）利用参变量分离法可得出，利用基本不等式可求得的取值范围，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：为上的偶函数，证明如下： 对任意的，，故函数的定义域为， ， 因此，函数为上的偶函数. （2）解：，，， 即对一切实数恒成立， 则， 即， 即对一切实数恒成立， 而，所以， 当且仅当时，即时取等号， ，即，即实数的取值范围为. 题型九：判断函数零点（方程根）个数 1．（2024·新疆·二模）已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．5 D．10 【答案】B 【分析】将函数的零点个数问题转化为两个函数图象的交点问题，画出函数图象找交点个数即可. 【详解】由题意，知4为函数的一个周期且函数的图象关于直线对称． 当时，由函数的解析式，两出函数的大致图象如图所示． 当时，函数的图象与函数的图象有且仅有一个交点； 当时，总有．而函数在区间上单调递增且，， 所以函数的图象与函数的图象在区间上没有交点． 综上，函数在区间上的零点个数为1． 故选：B． 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 2．（23-24高一下·云南·阶段练习）定义为不超过的最大整数，如，，，.已知函数满足：对任意..当时，，则函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题设条件求得函数在上的解析式，将函数的零点个数转化成函数与在上的交点个数问题，理解的含义即得. 【详解】当时，， 因为对任意，，所以. 当时，，则， 因， 当时，，则， 当时，，则. 即 如图作出函数在上的图象. 由图知，在上，函数，则可取三个值. 因函数在上的零点个数，即函数与在上的交点个数， 故只需分别求函数与直线在上的交点个数即可. ①显然，函数与直线在上有5个交点，即此时，函数有等5个零点； ②由图，函数与直线在上有3个交点，此时函数有3个零点， 由，可得；由，可得，即函数有共3个零点； ③由图，函数与直线在上有1个交点，此时函数有1个零点， 由可得，即此时，函数有1个零点为3. 综上，函数在上共有-4，-2，0，1，2，，3，，4等9个零点. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于分段函数问题，应本着分段函数分段考虑的原则，由题设解析式推理到给定区间上的解析式，作出其图象；对于函数的零点问题，一般可转化成对应方程的根的个数问题，或者拆分成两个函数图象的交点问题去解决. 3．（23-24高一上·上海·期末）已知，则方程的实数根个数不可能为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】A 【分析】作出的图象，令，由对勾函数的性质作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的解的个数问题. 【详解】因为， 当时，则在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，，，， 作出的图象，如图所示： 令，由对勾函数的性质可知在，上单调递减， 在，上单调递增，且，，则的图象如下所示： ①当时，令或， 则关于的方程有两个实数解，关于的方程的方程也有两个实数解， 即此时对应的个数为，（以下处理方法类似）； ②当时，令或或，此时对应的个数为6； ③当时， 令或或或， 此时对应的个数为； ④当时，或或或，此时对应的个数为； ⑤当时，或或，此时对应的个数为； ⑥当时，或，此时对应的个数为3； ⑦当时，，此时对应的个数为2. 综上可知，实数根个数不可能为5个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是作出的图象，再对分类讨论，将问题转化为关于的方程（具体到每种类型时为常数）的根的问题. 4．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B．的图象没有对称中心 C．的增区间为 D．方程有5个实数解 【答案】ACD 【分析】由题意可判断函数的周期，结合时的解析式，即可作出函数图象，数形结合，即可判断A，B，C；将方程的解的个数问题，转化为函数知和的图象的交点个数问题，即可判断D. 【详解】由题意知定义在上的函数满足， 即2为函数的周期， 当时，，当时，， 故结合函数的周期，作出其图象如图：    结合图象可知为偶函数，A正确； 结合图象可知为的对称中心，B错误； 对于C，结合图象知的增区间为，正确， 对于D，作出函数方程的图象， 由图象可知和的图象有5个交点， 故方程有5个实数解，D正确，    故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的奇偶性以及周期性和方程的解的问题，综合性较强，解答的关键是明确函数的性质，结合性质和解析式作出其图象，数形结合，解决问题. 题型十：根据函数零点（方程根）个数求参数 1．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知函数若恰有三个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于嵌套函数的零点问题，一般需要用换元法，再结合函数图象进行讨论. 【详解】令，则， ①当时，的图象如图所示    若恰有三个不同实根，则一定要有两个不同的根， 所以，设的两根为且则一定有 所以 解得 当时，如图所示， 若恰有三个不同实根， 则必须有，即 解得    ②当时，或时，只有一个根， 此时不能有三个不同实根. ③当时，， 、的图象如图所示，    若有三个不同的实根 则，即，此不等式无解 综上所述： 故选：D. 2．（23-24高一下·云南昆明·期末）设函数，，若曲线与曲线有两个交点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数结合分段函数和二次函数的图象求解. 【详解】当时，当时 函数图象示意图为 则与有两个零点知a的取值范围是. 故答案为： 3．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知函数的定义域为，，若函数有三个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】把函数零点问题转化为函数与直线的交点问题，数形结合列不等式组求解即可. 【详解】函数有三个零点，则方程即有三个根， 所以函数与函数有三个交点， 由作出函数的图象如图： 若函数与过原点直线有三个交点，如图： 则，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 4．（23-24高一上·浙江宁波·自主招生）已知函数． (1)在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)若方程有3个解，求实数的取值范围． 【答案】(1)图象见解析 (2) 【分析】（1）去绝对值得出分段函数，根据函数解析式画图即可； （2）将方程转化为函数与的交点问题，数形结合即可求解． 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以，图象如图所示．    （2）， 所以方程有3个解即为函数与有三个交点， 由图象可知，．    题型十一：新定义题 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设函数的定义域，若对任意，均有成立，则称为“无奇”函数． (1)判断函数①和②是否为“无奇”函数，说明理由； (2)若函数是“无奇”函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)①不是，②是，理由见解析； (2) 【分析】（1）由，结合“无奇”函数的定义即可判断①；由恒成立，即可判断②； （2）若函数不是“无奇”函数，将其转化为方程有解，参变分离并换元后，可求得实数的取值范围，最后求其补集即得. 【详解】（1）对于函数①，因，符合，故不是“无奇”函数； 对于②，由 因，故恒成立，即是“无奇”函数. （2）假设不是“无奇”函数，则方程有解， 即，即有解. 令，则，当且仅当时取等号， 则，因，则，， 从而，，即需使，得， 因函数是“无奇”函数，故或. 即实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数新定义的应用，属于较难题. 解题思路主要有二，判断函数是否为“无奇”函数，只需要检测是否恒成立即可；要由函数为“无奇”函数求参问题，一般采用从对立面考虑，将问题转化成方程有解问题，通过参变分离法，又进一步变成求相应函数的值域问题. 2．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）对于函数，，如果存在实数a，b，使得函数，那么我们称为，的“HC函数”． (1)已知，，试判断是否为，的“HC函数”．若是，请求出实数a，b的值；若不是，请说明理由； (2)已知，，为，的“HC函数”且，．若关于x的方程有解，求实数m的取值范围； (3)在后续学习中，我们将学习如下重要结论：“对于任意的正实数a，b，都有，当且仅当时，式中的等号成立”．我们将这个结论称为“基本不等式”．请利用“基本不等式”，解决下面的问题：已知，，为，的“HC函数”（其中），的定义域，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 【答案】(1)存在，，使得是为，的“HC函数” (2) (3)10 【分析】（1）利用已知定义即可求解； （2）根据题意可得，对于方程可得，换元结合二次函数分析求解； （3）先设的解析式，根据已知定义以及条件求出，的值，再把恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式的性质即可求解. 【详解】（1）若是，的“函数”， 所以， 则，解得，， 所以存在，，使得是为，的“HC函数”. （2）由题意可知：， 对于方程，即，即， 令，则，则， 对于，可知的图象开口向上，对称轴为， 可得，则，即， 所以实数m的取值范围. （3）由题意可知：，，，， 则，当且仅当，即时取等号， 结合题意：，解得，， 所以，可得恒成立， 且，，，可得恒成立， 只需即可， 由基本不等式得：，当且仅当时取等号，此时， 所以，则，故的最大值为10. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等” （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3．（23-24高二下·福建三明·期末）若对定义域内任意，都有，则称函数为“距”增函数. (1)已知，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)已知是“距”增函数，求的最小值； (3)已知是“2距”增函数，求的最小值. 【答案】(1)是“1距”增函数，理由见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由，因为，所以，可得函数是“1距”增函数. （2）由恒成立，可得恒成立，则由，得或，又，所以. （3）由已知，讨论当时，时，恒成立的条件，得到，所以，讨论得当时，；当时，. 【详解】（1）函数是“1距”增函数. 理由如下： 因为，所以， 由 因为， 所以， 即恒成立，所以是“1距”增函数. （2）因为是“距”增函数， 所以恒成立， 所以 恒成立， 即恒成立， 由，解得或， 因为，所以. （3）由， 因为函数是“2距”增的数，所以当时，恒成立， 又因为为增函数，所以， 当时，，即恒成立， 所以，解得； 当时，，即恒成立， 所以，解得， 综上可得，， 所以， 令，则， ①当时，即时，当时， ②当时，即时，当时，， 综上可得，当时，；当时，. 【点睛】关键点点睛：（1）令，验证满足定义；（2）由恒成立，可得恒成立，则由，解出的范围，由，取的最小值；（3）因为为增函数，讨论恒成立的条件，求出的范围，再利用换元法，讨论出的最小值. 4．（2024高一上·浙江杭州·专题练习）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”． (1)求证；若为的“不动点”，则为的“稳定点”； (2)若，若函数存在“不动点”和“稳定点”，且函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）借助“不动点”和“稳定点”的定义代入计算即可得； （2）分与进行讨论，当时结合一元二次方程的根的判别式与“不动点”和“稳定点”的定义可得要么没有实根，要么实根是方程的根，计算即可得. 【详解】（1）由为的“不动点”，则有， 则，即为的“稳定点”； （2）由题意可知，有实根，即有实根， 当时，有，即有是函数的“不动点”， 令，即，故是函数的“稳定点”， 故，符合要求， 当时，则，解得，即， 由（1）知，所以，即， 即有， ，要么没有实根，要么实根是方程的根， 若没有实根，则，解得； 若有实根且实根是方程的根， 则由方程，得，代入， 有．由此解得，再代入得，由此， 综上所述，的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$