精品解析：山东省临沂市兰山区临沂第十三中学2022-2023学年九年级下学期期末数学试题

2022-2023学年线上线下教学衔接学情检测 九年级数学 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（　　） A. （﹣6，1） B. （1，6） C. （2，﹣3） D. （3，﹣2） 2. 一个不透明的盒子中装有5个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　） A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（　　） A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10 5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 80° 6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 7. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1．当y1<y2时，x的取值范围是（ ） A. x<-1或x>1 B. -1<x<0或x>1 C. -1<x<0或0<x<1 D. x<-1或0<x<1 9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2） 10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　） A. 4或5 B. 4或7 C. 4或5或7 D. 4或7或9 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上，他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是_____ 12. 如图是反比例函数在第二象限内的图像，若图中的矩形OABC的面积为2，则k=________． 13. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（米）与运动时间（秒）之间的关系式为，那么小球抛出___________秒后达到最高点． 14. 如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______ 15. 某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为_____． 16. 如图，一架长为米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时测得，如果梯子的底端外移到，则梯子顶端下移到，这时又测得，那么的长度约为______米．（，，，） 三、解答题（共7题，52分，解题过程要有必要的文字说明和验算步骤 17. （1）解方程： （2）计算： 18. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 19. 如图，在等边中，点E、D分别在边上，且．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C． （1）求双曲线与直线AC的解析式； （2）求△ABC的面积． 21. 2019年11月26日，鲁南高铁正式开通运营．鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，，∠ABD＝105°，求AD的长． 22. 如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E． (1)求证：直线CD是⊙O的切线． (2)求证：． 23. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022-2023学年线上线下教学衔接学情检测 九年级数学 （时间：90分钟满分：100分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 已知反比例函数y=的图象经过点（2，3），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（　　） A. （﹣6，1） B. （1，6） C. （2，﹣3） D. （3，﹣2） 【答案】B 【解析】 【分析】先根据点，在反比例函数的图象上求出的值，再根据的特点对各选项进行逐一判断． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， A、，此点不在反比例函数图象上，不符合题意； B、，此点在反比例函数图象上，符合题意； C、，此点不在反比例函数图象上，不符合题意； D、，此点不在反比例函数图象上，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键． 2. 一个不透明的盒子中装有5个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　） A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到白球是不可能事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】D 【解析】 【分析】根据可能性的大小，以及随机事件的判断方法，逐项判断即可． 【详解】∵摸到红球是随机事件， ∴选项A不符合题意； ∵摸到白球是随机事件， ∴选项B不符合题意；  ∵红球比白球多， ∴摸到红球比摸到白球的可能性大， ∴选项C不符合题意，D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了可能性的大小，以及随机事件的判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形，再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误， B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项正确， C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误， D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，难度适中． 4. 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（　　） A. 5 B. 7 C. 5或7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长． 【详解】x2-4x+3=0 (x−3)(x−1)=0， x−3=0或x−1=0， 所以x ₁=3,x ₂=1， 当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7， 当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去， 所以三角形的周长为7． 故答案选B 5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】通过圆周角定理计算即可； 【详解】解：∵OA＝OB，∠OBA＝50°， ∴∠OAB＝∠OBA＝50°， ∴∠AOB＝180°﹣50°×2＝80°， ∴∠C＝∠AOB＝40°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用，准确计算是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB， A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 7. 如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】过B点作BD⊥AC，如图， 由勾股定理得，AB=，AD=， cosA===， 故选D． 8. 如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1．当y1<y2时，x的取值范围是（ ） A. x<-1或x>1 B. -1<x<0或x>1 C. -1<x<0或0<x<1 D. x<-1或0<x<1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为1， ∴点B的横坐标为−1， ∵由函数图象可知，当x<-1或0<x<1，时函数y1<y2， ∴当y1<y2时，x的取值范围是x<-1或0<x<1. 故选D. 【点睛】本题考查的是反比例函数与正比例函数的交点问题，能根据数形结合求出y1<y2时x的取值范围是解答此题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（ ） A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （4，2） 【答案】A 【解析】 【详解】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴=， ∵BG=6， ∴AD=BC=2， ∵AD//BG， ∴△OAD∽△OBG， ∴=， ∴=， 解得：OA=1， ∴OB=3， ∴C点坐标为：（3，2）， 故选：A． 10. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜12），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　） A. 4或5 B. 4或7 C. 4或5或7 D. 4或7或9 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可求得AB=8，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，当△BDE为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE和△ABC相似，可求得BE的长，则可求得t的值． 【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm， ∴AB=2BC=8cm， ∵D为BC中点， ∴BD=2cm， ∵0≤t＜12， ∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点， 按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况， ①当0≤t≤8时，AE=tcm，BE=BC-AE=（8-t）cm， 当∠EDB=90°时，则有AC∥ED， ∵D为BC中点， ∴E为AB中点， 此时AE=4cm，可得t=4； 当∠DEB=90°时， ∵∠DEB=∠C，∠B=∠B， ∴△BED∽△BCA， ∴，即， 解得t=7； ②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9； 综上可知t的值为4或7或9， 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上，他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式直接计算可得． 【详解】∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现， ∴他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率的计算公式，熟记概率的计算公式是解题的关键． 12. 如图是反比例函数在第二象限内的图像，若图中的矩形OABC的面积为2，则k=________． 【答案】-2 【解析】 【详解】解：因为反比例函数，且矩形OABC的面积为2，所以|k|=2，即k=±2，又反比例函数的图象在第二象限内，k＜0，所以k=﹣2．故答案为﹣2． 13. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（米）与运动时间（秒）之间的关系式为，那么小球抛出___________秒后达到最高点． 【答案】3 【解析】 【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出的顶点坐标即可． 【详解】解： ， ∵， ∴图象的开口向下，有最大值， 当时，h的最大值； 即小球抛出3秒后达到最高点． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，注意利用配方法解决问题． 14. 如图，△ABC中，DE∥BC,,△ADE的面积为8，则△ABC的面积为______ 【答案】18. 【解析】 【详解】∵在△ABC中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． ∵， ∴， ∴． 故选：18． 15. 某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为_____． 【答案】2(1+x)+2(1+x)2=8. 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程． 【详解】设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x， 今年的投资金额为：2（1+x）， 明年的投资金额为：2（1+x）2， 所以根据题意可得出的方程：2（1+x）+2（1+x）2=8． 故答案为：2（1+x）+2（1+x）2=8． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量． 16. 如图，一架长为米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时测得，如果梯子的底端外移到，则梯子顶端下移到，这时又测得，那么的长度约为______米．（，，，） 【答案】 【解析】 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，的长，进而得出答案． 【详解】由题意可得： ∵，， ， 解得：， ∵，， ， 解得：， 则， 答：的长度约为米． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出，的长是解题关键． 三、解答题（共7题，52分，解题过程要有必要的文字说明和验算步骤 17. （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1）;（2）-1 【解析】 【分析】（1）方程因式分解后即可求出解； （2）原式利用特殊角的三角函数值计算，即可得到结果． 【详解】（1）， ， ； （2）=1-2=-1 【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 18. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． （1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：（1）因为有，，种等可能结果， 所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是； 故答案为． （2）树状图如图所示： 共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果， 19. 如图，在等边中，点E、D分别在边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ∴． ∴， ∵ ∴． ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，则，由得到，推出，再根据相似三角形的判定即可证明． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C． （1）求双曲线与直线AC的解析式； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）；（2）4. 【解析】 【分析】（1）将点A（﹣2，a）代入直线y=-x得A坐标，再将点A代入双曲线即可得到k值，由AB关于原点对称得到B点坐标，由BC⊥x轴，垂足为C，确定出点C坐标，将A、C代入一次函数解析式即可求解； （2）由三角形面积公式即可求解. 【详解】将点A（﹣2，a）代入直线y=-x得a=-2， 所以A（-2,2）， 将A（-2,2）代入双曲线， 得k=-4， ∴， ∵ ， ， ，， 解得， ∴； （2） 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 21. 2019年11月26日，鲁南高铁正式开通运营．鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，，∠ABD＝105°，求AD的长． 【答案】2()km 【解析】 【分析】作BE⊥AD于点E，根据∠CAB=30°，∠ABD=105°，可以求得∠ABE和∠DBE的度数以及BE、DE的长，进而求得AE的长，然后可求得AD的长． 【详解】作BE⊥AD于点E， ∵∠CAB=30°， ∴∠ABE=60°， ∵∠ABD=105°， ∴∠EBD=45°， ∴∠EDB=45°， ∵， ∴BE=DE=2km， ∴AE=， ∴AD=AE+DE=+2=2()km 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E． (1)求证：直线CD是⊙O的切线． (2)求证：． 【答案】 (1)证明：连接OD， ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线CD是⊙O的切线； (2)证明：连接BD， ∵BE是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论； （2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：(1)略 (2)略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示． （1）直接写出与之间的函数关系式； （2）求出与之间的函数关系式； （3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？ 【答案】（1）；（2）；（3）70米 【解析】 【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）用待定系数法求函数解析式即可； （3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可． 【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'， ∵函数图象过点（0，30）和（1，35）， 则， 解得， ∴y1与x之间的函数关系式为． （2）∵时，， ∵的图象是过原点的抛物线， ∴设， ∴点，在抛物线上． ∴，即， 解得， ∴． 答：与的函数关系式为． （3）设小钢球和无人机的高度差为米， 由得或. ①时， ， ∵，∴抛物线开口向下， 又∵， ∴当时，的最大值为； ②时， ， ∵，∴拋物线开口向上， 又∵对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，的最大值为70． ∵， ∴高度差的最大值为70米． 答：高度差的最大值为70米． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $