专题01 集合 常用逻辑用语（六大模块+章末仿真测试卷）-2024-2025学年高一数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

专题01 集合 常用逻辑用语（六大模块+章末仿真测试卷） 模块一：概念、性质 1．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2(多选)．下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 3．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 4．用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    5(多选)．下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 6．命题“”的否定是 ． 7．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 8(多选)．下列说法正确的有（    ） A．， B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则至少有一个为空集 B．若集合，，则 C．任何集合必有一个真子集 D．若，，则 10(多选)．下列说法正确的是（       ）. A．命题“，”的否定是“，” B．命题“，”是假命题 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 模块二：集合的关系及运算（含Venn图） 11．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 12．已知全集，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13(多选)．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 16(多选)．图中阴影部分用集合表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 模块三：元素个数、集合个数问题 17(多选)．下列说法正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有16个子集 C．集合 D．集合 18(多选)．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D．集合的真子集个数为 19．集合满足，则满足条件的集合的个数为 . 20．已知集合，，则满足的集合C有 个. 21．已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（    ）. A．m B．n C． D． 22．已知集合，则集合A的真子集个数为 ． 模块四：求参数（取值范围）综合问题 23．已知集合，，则（    ）. A．1 B． C．或1 D．3 24．设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 25．设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 26．已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 27．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．已知集合，，若，，则 . 29．已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 模块五：容斥定理及应用 30．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有 种. 31．某社区为了丰富居民生活，计划开展“读书沙龙”“趣味运动”“环保主题绘画”三项活动．报名参加活动的共有120人，参加活动的居民每人至多参加两项活动．已知参加“读书沙龙”“趣味运动”“环保主题绘画”的人数分别为，同时参加“读书沙龙”“趣味运动”的有20人，同时参加“趣味运动”“环保主题绘画”的有10人，则同时参加“读书沙龙”“环保主题绘画”的有 人． 32．某校学生积极参加社团活动，高一年级共有名学生，其中参加合唱社团的学生有名，参加科技社团的学生有名（并非每个学生必须参加某个社团）.在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有 名学生，最少有 名学生. 33．建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ． 模块六：解答题 34．已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 35．设全集为R，集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围． 36．已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 37．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 38．已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 一、单选题 1．对与任意集合A，下列各式①，②，③，④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 3．命题“若，则且”的否命题为 A．若，则且 B．若，则且 C．若，则或 D．若，则或 4．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 6．已知命题，，若是的一个充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 8．已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，则下列正确的是（    ） A． B． C．或x>3} D．或 10．已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 11．对任意集合，记，则称为集合的对称差，例如，若{0，1，2}，{1，2，3}，则={0，3}，下列命题中为真命题的是（    ） A．若且AB=，则A=B B．若且AB=B，则A= C．存在，使得AB= D．若且 ABA，则 三、填空题 12．设集合，且，则的值为 . 13．设或，或，，是的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是 ． 14．已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 四、解答题 15．若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 16．设集合，，. (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围. 17．已知集合，集合. (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围. 18．已知集合的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其它所有元素； (2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？ (3)根据（1）（2），你能得出什么结论． 19．对于任意的，记集合，，若集合满足下列条件：① ；② ，且，不存在，使，则称具有性质．如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质． (1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质． (2)是否存在、具有性质，且，使，若存在请求出、，若不存在请说明理由． (3)若存在、具有性质，且，使，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语（六大模块+章末仿真测试卷） 模块一：概念、性质 1．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系、常见数集的定义判断即可. 【解析】表示全体实数组成的集合，则，故A错误； 表示全体有理数组成的集合，则，故B错误； 表示全体正整数组成的集合，则，故C正确； 表示全体自然数组成的集合，则，故D错误. 故选：C. 2(多选)．下列关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空集的定义和元素与集合、集合与集合的关系判断即可. 【解析】因为，故A错误； 是指元素为0的集合，所以，故B正确； 是指元素为的集合，所以，故C正确； 是任何集合的子集，所以，故D正确． 故选：BCD． 3．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【解析】由得，则 ． 故选：C 4．用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【答案】 【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可. 【解析】由图知，，，所以由集合的描述法可知 . 故答案为：. 5(多选)．下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【答案】ABC 【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答. 【解析】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确， 对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确， 对于C，M，P因此C正确， 对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确. 故选：ABC 6．命题“”的否定是 ． 【答案】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题可得答案. 【解析】命题“”的否定为“”． 故答案为：. 7．命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得答案. 【解析】命题，的否定为，. 故选：C. 8(多选)．下列说法正确的有（    ） A．， B．“”是“”的充分不必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】按x分类讨论去绝对值判断选项A；先求得不等式的解集再判断二者间的逻辑关系进而判断选项B；先将和化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项C；先将化简再判断二者间的逻辑关系进而判断选项D. 【解析】选项A：当时，；当时，， 故有，.判断正确； 选项B：由，可得或， 则由可得成立，但由不能得到. 则“”是“”的充分不必要条件.判断正确； 选项C：由可得且； 由可得或； 则“”是“”的充分不必要条件. 判断错误； 选项D：由可得， 则“”是“”的必要不充分条件.判断正确. 故选：ABD 9．下列命题为真命题的是（    ） A．若，则至少有一个为空集 B．若集合，，则 C．任何集合必有一个真子集 D．若，，则 【答案】D 【分析】通过反例可排除；根据点集和数集的区别可排除；由没有真子集可排除；分别求解出集合，可得到两集合的包含关系，知正确. 【解析】中，若集合，，则，可知错误； 中，集合均为点集，则交集结果应为点集，不应是数集，错误； 中，没有真子集，错误； 中，集合，，则，正确. 故选： 【点睛】本题考查集合相关命题的辨析，涉及到交集的定义、点集和数集的区别、集合间的包含和真包含关系的判断等知识. 10(多选)．下列说法正确的是（       ）. A．命题“，”的否定是“，” B．命题“，”是假命题 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】利用量词命题的否定与真假性判断AB，利用充分与必要条件的定义判断CD，从而得解. 【解析】对于A，根据存在量词命题的否定形式可知A正确； 对于B，在中，，所以方程无解，故B正确； 对于C，取，满足，但，即充分性不成立，故C错误； 对于D，因为是的真子集，所以“”是“”的充分必要不条件，故D正确. 故选：ABD. 模块二：集合的关系及运算（含Venn图） 11．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【解析】因为， 所以. 故选：B 12．已知全集，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求得集合、、 、，由此判断出正确选项. 【解析】∵，，， ∴，，， ∴ABD选项错误，C选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集的运算，属于基础题. 13(多选)．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合的定义与交集的概念分别判断各选项. 【解析】A选项：任何集合与的交集均为，A选项正确； B选项：，，所以，B选项错误； C选项：，，所以，C选项正确； D选项：，D选项错误； 故选：AC. 14．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解一元二次不等式求得集合A，然后求出，再与集合B取交集. 【解析】的解为或，， . 故选：B 【点睛】本题考查集合的基本运算，涉及一元二次不等式，属于基础题. 15．已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的交集与补集运算求解即可. 【解析】因为，所以， 图中阴影部分表示的集合中除去， 故阴影部分表示的集合为. 故选：C. 16(多选)．图中阴影部分用集合表示正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据韦恩图，结合集合交补运算判断满足要求的答案. 【解析】由图可得图中阴影部分表示为， 又，，， 故符合题意的有A、B、C. 故选：ABC 模块三：元素个数、集合个数问题 17(多选)．下列说法正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有16个子集 C．集合 D．集合 【答案】BC 【分析】根据真子集的性质、子集个数公式，结合集合的描述法逐一判断即可. 【解析】A：根据真子集的定义可知：任何集合都不是它自身的真子集，所以本选项说法不正确； B：集合中有四个元素，所以它的子集个数为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以与均表示4的倍数与2的和所组成的集合， 所以，因此本选项说法正确； D：对于，当时，， 即，但， 所以两个集合不相等，因此本选项说法不正确. 故选：BC. 18(多选)．设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D．集合的真子集个数为 【答案】AC 【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【解析】对于选项，因为，，所以，故选项A正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B不正确； 对于选项C，由条件知，，故选项C正确； 对于选项D，因为，集合的真子集个数有，故选项D不正确； 故选：AC． 19．集合满足，则满足条件的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】据子集和真子集的定义即可写出所有满足条件的集合，从而求出满足题意的集合的个数． 【解析】根据题意，集合至少含有0,2两个元素，但集合， 所以满足条件的集合为，共7个， 所以满足条件的集合的个数为7， 故答案为：7. 20．已知集合，，则满足的集合C有 个. 【答案】 【分析】根据集合的包含关系和题干条件，先找出集合的关系，然后利用子集的性质求解. 【解析】由条件，集合的包含关系可知：，即，故只需求子集的个数，由子集的性质可知，含个元素的集合子集的个数有个. 故答案为： 21．已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（    ）. A．m B．n C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件得，即可得出结果. 【解析】∵中有m个元素， 中有n个元素， 又非空， ∴中有个元素. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合的运算以及集合元素的个数.属于较易题. 22．已知集合，则集合A的真子集个数为 ． 【答案】31 【分析】先求出集合A的元素个数，再求解集合A的真子集个数 【解析】，则的正的公约数有：1，2，3，4，6，12，故相应的，所以的值为0，2，3，4，5，故A中的元素个数为5个，则集合A的真子集个数为 故答案为：31 模块四：求参数（取值范围）综合问题 23．已知集合，，则（    ）. A．1 B． C．或1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系可得或，解出，由集合的互异性检验即可得出答案. 【解析】因为，，所以或，解得或1， 当时，，不符合集合元素的互异性，舍去，当时，，符合题意. 故. 故选：B 24．设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若，则，结合数轴分析即可. 【解析】若，则，画出数轴可得，. 故选：B 25．设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 【答案】 【分析】解不等式，根据充分不必要条件列不等式可得解. 【解析】由已知，即， ，即， 又是的充分不必要条件， 所以， 解得， 故答案为：. 26．已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】按并集定义计算即可得解. 【解析】，又 所以 故答案为： 27．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【解析】由题意可得，解得. 故选：A. 28．已知集合，，若，，则 . 【答案】3 【分析】根据题意可得1，，，然后分与讨论，即可得到结果. 【解析】由题意得1，，， 当时，则不满足元素互异性， 当即时，，，满足要求. 所以. 故答案为: 29．已知，集合，，，则实数（    ） A．或 B．或0 C．或0 D．或或0 【答案】D 【分析】求出集合中方程的解确定，即可求出，根据，分两种情况和讨论即可． 【解析】由题可知，，则或， 因为， 所以当时，，则，符合题意； 当时，， 由知，或，即或， 综上所述，实数为0或1或， 故选：D． 模块五：容斥定理及应用 30．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，第三天售出14种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有5种，则该网店这三天售出的商品最少有 种. 【答案】 【分析】先分析得前两天共售出的商品种类，再考虑第三天售出商品种类的情况，根据题意即可得解. 【解析】由题意，第一天售出17种商品，第二天售出13种商品，前两天都售出的商品有3种， 所以第一天售出但第二天未售出的商品有种， 第二天售出但第一天未售出的商品有种， 所以前两天共售出的商品有种， 第三天售出14种商品，后两天都售出的商品有5种， 所以第三天售出但第二天未售出的商品有种， 因为， 所以这种商品都是第一天售出但第二天未售出的商品时，该网店这三天售出的商品种类最少，其最小值为. 故答案为：. 31．某社区为了丰富居民生活，计划开展“读书沙龙”“趣味运动”“环保主题绘画”三项活动．报名参加活动的共有120人，参加活动的居民每人至多参加两项活动．已知参加“读书沙龙”“趣味运动”“环保主题绘画”的人数分别为，同时参加“读书沙龙”“趣味运动”的有20人，同时参加“趣味运动”“环保主题绘画”的有10人，则同时参加“读书沙龙”“环保主题绘画”的有 人． 【答案】20 【分析】根据容斥原理计算可得. 【解析】同时参加“读书沙龙”“环保主题绘画”的人数为. 故答案为：20. 32．某校学生积极参加社团活动，高一年级共有名学生，其中参加合唱社团的学生有名，参加科技社团的学生有名（并非每个学生必须参加某个社团）.在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有 名学生，最少有 名学生. 【答案】 【分析】设同时参加合唱社团和科技社团的学生人数为根据题中可得出关于的不等式，求出的取值范围，即可得解. 【解析】设同时参加合唱社团和科技社团的学生人数为，则， 由题意可得，解得，故， 故同时参加合唱社团和科技社团的最多有个学生，最少有个学生， 故答案为：；. 33．建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如图，则图中 ． 【答案】 【分析】根据韦恩图得到方程组，根据方程组的特点进行求解即可. 【解析】由韦恩图可知：， 故答案为： 模块六：解答题 34．已知集合 (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据是空集，可知，解不等式组即可； （2）根据中只有一个元素，分和两种情况进行讨论. 【解析】（1）因为是空集，所以，即解得， 所以的取值范围为. （2）当时，集合，符合题意； 当时，即，解得，此时集合， 综上所述，的值为或， 当时，集合，当时，集合. 35．设全集为R，集合，． (1)分别求，； (2)已知，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或或 (2) 【分析】（1）根据交集的定义求出，求出B的补集，从而求出其和A的并集即可； （2）得到，得到关于a的不等式组，解出即可． 【解析】（1）因为，， 则， 可得或， 所以或或. （2）因为，可知，且， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 36．已知集合，或. (1)当时，求； (2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【解析】（1）当时，集合， 又或，则， 或；. （2）若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 37．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有． (1)直接写出中所有元素之积的所有可能值； (2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求； (3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，从而可得结论； （2）根据集合中的元素构成可得集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，从而可得结论； （3）由（1）（2）可得集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，从而根据得元素个数，可确定的元素个数的最小值． 【解析】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以， 所以，又 则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且， 又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （2）已知非空实数集满足：任意，均有，且 所以，且，又 则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且， 若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3 所以，整理得 解得或 当或或或时， 综上，； （3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环， 且当时，同一周期内其余元素不相等， 因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素， 因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内， 若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含20个元素，中包含， 若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含， 所以的元素个数最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合中元素的性质，综合性强.解题关键是确定集合中元素的构成以及元素个数关系，例如本题中集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交. 38．已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，． (1)若，写出所有可能的集合B； (2)若，且是12的倍数，求集合B的个数； (3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数． 【答案】(1)，，， (2)4 (3)证明见详解 【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使是倍数的集合. 【解析】（1）所有可能的集合为：，，，. （2）不妨设：，由于，且 ， 所以. 由题意，是12的倍数时，或. 当时，因为， 所以当且仅当时，成立，故符合题意. 当时， 若，则，故或符合题意； 若，则，故符合题意； 若，则，无解. 综上，所有可能的集合为，，，. 故满足条件的集合的个数为. （3）（1）当时，设，则 ， 这个数取个值，故其中有两个数相等. 又因为，于是， 从而互不相等，互不相等， 所以存在， 使得. 又因，故. 则，则，结论成立. （2）当时，不妨设， 则（），在这个数中任取3个数，. 若与都是的倍数，， 这与矛盾. 则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数. 考虑这个数：，，，，，. ①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. ②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数， 故存在，使得. 若为偶数，取，则，结论成立； 若为奇数，取，则，结论成立. 综上，存在非空集合，使得是的倍数. 【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合，使得是的倍数是问题的关键. 一、单选题 1．对与任意集合A，下列各式①，②，③，④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断. 【解析】易知①，②，③，正确 ④，不正确，应该是 故选：C. 2．已知集合，，那么集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用列举法表示出集合，进而可得. 【解析】因为，又，所以. 故选：C. 3．命题“若，则且”的否命题为 A．若，则且 B．若，则且 C．若，则或 D．若，则或 【答案】C 【分析】根据原命题与否命题之间的关系可得出正确选项. 【解析】由题意知，命题“若，则且”的否命题为“若，则或”， 故选C. 【点睛】本题考查否命题的改写，要弄清原命题与否命题之间的关系，同时要注意“”的否定为“”，属于基础题. 4．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦恩图中阴影部分所表示的含义，由集合的补集和交集定义可得. 【解析】集合，，图中阴影部分表示， 又或，所以． 故选：C 5．已知集合，则的子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法表示集合，可得出集合中的元素个数，然后利用子集个数公式可得出集合的子集个数. 【解析】， 则集合中有个元素，因此，集合的子集个数为. 故选：A. 【点睛】本题考查有限集子集个数的计算，解题的关键就是确定出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题. 6．已知命题，，若是的一个充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简命题p，q，再根据是的一个充分不必要条件，由q求解. 【解析】因为命题，或， 又是的一个充分不必要条件， 所以， 解得， 所以的取值范围是， 故选：A 7．已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围. 【解析】若，，则， ∴． 若，， 则， 解得或． ∵命题和命题q都是真命题， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围. 8．已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得至少有 个元素，至多有个元素，由，由补集的定义即可求解. 【解析】集合中有10个元素，中有6个元素，因为， 至少有 个元素，至多有个元素， 所以至多有个元素，至少有个 元素， 集合有个元素，则且为正整数. 即的取值范围是， 故选：. 二、多选题 9．已知，，则下列正确的是（    ） A． B． C．或x>3} D．或 【答案】ABD 【分析】利用交集、并集及补集的定义运算即得. 【解析】∵，， ∴或， 故选：ABD. 10．已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（    ） A．集合C的所有非空真子集个数是2 B．集合C的所有非空真子集个数是6 C．集合C的所有子集个数是4 D．集合C的所有子集个数是8 【答案】BD 【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算再结合子集及非空真子集即可. 【解析】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或，所以或， 故． 集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误， 集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误. 故选：BD. 11．对任意集合，记，则称为集合的对称差，例如，若{0，1，2}，{1，2，3}，则={0，3}，下列命题中为真命题的是（    ） A．若且AB=，则A=B B．若且AB=B，则A= C．存在，使得AB= D．若且 ABA，则 【答案】ABC 【分析】根据对称差的定义及交、并、补运算，逐项判断即可． 【解析】对A，因为AB=，所以=且，即AB与AB是相同的，所以A=B，故本选项符合题意； 对B，因为AB=B，所以B=，所以AB，且B中的元素不能出现在AB中， 因此A=，故本选项符合题意； 对C，A=B时，AB=，==AB，故本选项符合题意； 对D，因为ABA，所以，所以BA，故本选项不符合题意． 故选：ABC． 【点睛】本题的难点是要经过转化才能得到常见的集合关系，对新定义要有准确的理解：本质上就是求两个集合交集在二者并集上的补集，可借助韦恩图辅助理解． 三、填空题 12．设集合，且，则的值为 . 【答案】或. 【分析】由，得到或，求得或，结合集合间的包含关系，即可求解. 【解析】由，可得或，解得或， 当时，，此时满足，符合题意； 当时，，此时满足，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或. 13．设或，或，，是的充分而不必要条件，则实数m的取值范围是 ． 【答案】/. 【分析】转化为集合问题，利用集合的真包含关系进行求解. 【解析】设集合或，或，． 因为是的充分而不必要条件，所以，所以，（等号不同时取到），解得． 故答案为：. 14．已知A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝且a1＜a2＜a3＜a4，其中ai∈Z（i＝1，2，3，4），若A∩B＝{a2，a3}，a1+a3＝0，且A∪B的所有元素之和为56，求a3+a4＝ ． 【答案】8 【分析】先通过，判断得，分类讨论与的情况，得到，，，再求的元素，进而得到，解得，故得答案． 【解析】由得，所以， 又因为，即，所以， （1）若， 因为，所以，此时，，， 即，故，从而， 所以，则，即或1，与矛盾； （2）若， 则，，即，所以， 从而，显然，即或1， 而与矛盾，故，， 又，故， 将，，代入，得到，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：8． 四、解答题 15．若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解一元二次方程即可； （2）根据并集的结果得到集合的包含关系即可求解. 【解析】（1）由解得或，所以. （2）因为，所以， 由解得或， 若，则，满足； 若，则，因为，所以， 综上或. 16．设集合，，. (1)，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案. （2）根据题意可得BA，讨论集合B是否为空集，列出相应不等式，即可求得答案. 【解析】（1）由题意知当时，，故或， 而，故； （2）由“”是“”的充分不必要条件，可得BA， 故当时，，符合题意； 当时，需满足，且中等号不能同时取得， 解得， 综合以上，m的取值范围为或. 17．已知集合，集合. (1)求； (2)设，若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据列不等式，由此求得的取值范围. 【解析】（1）依题意，集合，集合， 所以或，. （2）由（1）得或， 而且， 所以，解得，所以的取值范围是. 18．已知集合的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其它所有元素； (2)0是不是集合中的元素？请你设计一个实数，再求出中的所有元素？ (3)根据（1）（2），你能得出什么结论． 【答案】(1)，，2. (2)不是；当时，A中的元素是3，，，． (3)A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 【分析】（1）把代入，得出数值后再代入，直至出现重复数即可求解. （2）假设，计算并导出矛盾得0不是的元素，取，求出集合中元素即可. （3）由（2）可观察出中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论，进而由“若，则”推证即可. 【解析】（1）由题意，可知， 则，，，， 所以A中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是A中的元素． 取，则，，，， 所以当时，A中的元素是3，，，． （3）猜想：A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 由（2）知0，， 若，则，与矛盾， 则有，即，0，1都不在集合A中． 若实数，则，， ，． 结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素，，，且，． 显然，否则，即，无实数解． 同理，，即A中有4个元素． 所以A中没有元素，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数． 19．对于任意的，记集合，，若集合满足下列条件：① ；② ，且，不存在，使，则称具有性质．如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质． (1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质． (2)是否存在、具有性质，且，使，若存在请求出、，若不存在请说明理由． (3)若存在、具有性质，且，使，求的最大值． 【答案】(1)，中的元素个数分别为9，14，不具有性质． (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知条件能求出集合，中的元素个数，并判断出不具有性质． （2）假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，，从而，由此推导出与具有性质矛盾．从而假设不成立，即不存在，具有性质，且，使． （3）当时，不存在，具有性质，且，使．，根据、、分类讨论，能求出的最大值为14． 【解析】（1）解： 对于任意的，记集合，2，3，，，．当时，； 当时，，集合，中的元素个数分别为9，， 集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质， 因为，，，，不符合题意， 不具有性质． （2）证明：假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，． 因为，所以， 不妨设．因为，所以，． 同理，，．因为，这与具有性质矛盾． 所以假设不成立，即不存在，具有性质，且，使． （3）解：因为当时，，由（2）知，不存在，具有性质，且，使． 若，当时，， 取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，， 则，具有性质，且，使． 当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为， 令，， 则，具有性质，且，使． 当时，集中除整数外，其余的数组成集合， 令，． 则，具有性质，且，使． 集合中的数均为无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数， 因此，令，，则，且． 综上，所求的最大值为14． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$