第17讲 分组分解法因式分解（二类知识点+五大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第17讲 分组分解法因式分解（五大题型） 学习目标 1、 会用分组分解法进行因式分解； 2、 尝试不同的分组方式进行因式分解 3、 掌握分组分解法的应用 一、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 二、添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【即学即练1】因式分解：． 【答案】 【分析】先将多项式进行分组，然后分别进行因式分解即可． 【解析】解： ． 【点睛】本题考查了分组分解法因式分解．正确将多项式进行分组是解题的关键． 【即学即练2】分解因式： ． 【答案】 【分析】先将原式进行分组，再提公因式分解因式即可. 【解析】 ． 【点睛】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. 【即学即练3】分解因式：． 【答案】 【分析】进行分组，对各组进行提取公因式，再用公式法进行分解，最后检查分解是否彻底，即可求解． 【解析】解：原式， ， ， ． 【点睛】本题考查了分组分解方法，以及平方差公式的运用，掌握方法是解题的关键． 【即学即练4】分解因式：． 【答案】 【分析】先利用整式乘法法则展开计算，重新分组可得，然后利用提公因式法可得，再利用提公因式法可得． 【解析】原式 ． 【点睛】本题考查提公因式法及分组法因式分解，正确找出公因式是解题关键． 【即学即练5】已知，，则代数式的值是 ． 【答案】-3 【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可. 【解析】∵，， ∴a-c=-1， ∴ = = = =-3， 故答案为：-3. 【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键. 题型1：因式分解—分组分解法 【典例1】．因式分解： . 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法进行因式分解成为解题的关键. 将分成，然后各组分别因式分解，最后提取公因式即可. 【解析】解： 故答案为： 【典例2】．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分组分解法分解因式．熟练掌握掌握分组分解法分解因式是解题的关键． 先前三项分一组，用完全正确平方公式分解，再用平方差公式分解即可． 【解析】解：原式 ． 故答案为：． 【典例3】．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查运用分组分解法和公式法分解因式，原式先去括号，再运用公式法进行因式分解即可 【解析】解： 故答案为： 【典例4】．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【解析】解： ， 故答案为：． 【典例5】．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用分解分组法，得，再进行提公因式，得，即可作答． 【解析】解： 故答案为：． 【典例6】．因式分解： 【答案】 【分析】前两项利用平方差公式分解，将后两项组合，即可求解． 【解析】解： 故答案为： 【点睛】本题考查因式分解．掌握平方差公式，正确的分组分解是解题关键． 【典例7】．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法成为解题的关键． 先将分组成，然后再运用提取公因式、公式法求解即可． 【解析】解： ． 【典例8】．分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式是解题的关键．将原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式即可求解． 【解析】解： ． 【典例9】．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）先提公因式，然后再运用完全平方公式继续分解； （2）采用分组分解法分解即可． 【解析】（1）解： ； （2） ； 【典例10】．把多项式分解因式． 【答案】 【分析】本题考查了分组分解法分解因式．把原式中的第二项的系数3变为，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写成平方形式，然后再利用平方差公式即可分解因式． 【解析】解： ． 【典例11】．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求解． 【解析】解： 故答案为： 【典例12】．因式分解： 【答案】 【分析】分组后利用立方差公式分解，再提取公因式即可. 【解析】 【点睛】本题考查是因式分解，掌握立方差公式及会分组是关键. 题型2：因式分解综合 【典例13】．分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解； （1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用平方差公式因式分解即可； （3）配方后利用平方差公式因式分解即可． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【典例14】．分解因式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （4）先分组，进而得到，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【典例15】．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解； （2）根据平方差公式计算即可求解； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解． 【解析】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【典例16】．因式分解 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）提取公因式法因式分解． （2）先提取公因式，再用平方差公式因式分解． （3）先用平方差公式再提取公因式因式分解． （4）先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解． （5）先用完全平方公式，再用十字相乘因式分解． 【解析】（1） （2） （3） （4） （5） 【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉提取公因式法、公式法分解因式． 题型3：利用分组分解法求值 【典例17】．已知a+b＝3，ab＝1，则3a+ab+3b＝ ，a2+b2= 【答案】 8 11 【分析】直接利用分组分解法将原式变形，再结合完全平方公式将原式变形，进而将已知代入求出答案． 【解析】解：∵a+b=3，ab=-1， ∴3a+ab+3b=3（a+b）+ab =3×3-1 =8； a2+b2=（a+b）2-2ab=9+2=11． 故答案为：8；11． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及分组分解法分解因式，正确将原式变形是解题关键． 【典例18】．若x2+4x+8y+y2+20＝0，则x﹣y＝ ． 【答案】2． 【分析】把原式配方，然后，根据完全平方公式和非负数的性质，解答出即可． 【解析】由x2+4x+8y+y2+20＝0得（x+2）2+（y+4）2＝0， ∴x+2＝0，y+4＝0， 解得x＝﹣2，y＝﹣4， ∴x﹣y＝2. 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分解因式和非负数的性质，正确分组是解答的关键． 【典例19】．已知，，则代数式的值是 ． 【答案】-3 【分析】先根据，，求出a-c=-1，再将多项式分解因式代入求值即可. 【解析】∵，， ∴a-c=-1， ∴ = = = =-3， 故答案为：-3. 【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键. 【典例20】．已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【解析】解： ， ， ， ， 故选：． 【典例21】．已知，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式将原式进行因式分解，然后再将，，，代入计算即可. 【解析】由题意得：， ∵，，， ∴原式． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 题型4：分组分解法的应用 【典例22】．的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键． 【解析】解：∵ ， ∴的分解因式结果中，含有因式， 故选：C． 【典例23】．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（　　） A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【答案】C 【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案． 【解析】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2 ＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y） ＝（x﹣2y）2+（x﹣2y） ＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）． 故选：C． 【点睛】此题考查多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案. 【典例24】．三角形三边分别为、、，且，则这个三角形(按边分类)一定是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据已知等式变形，因式分解为，可得，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴这个三角形(按边分类)一定是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型5：材料题 【典例25】．【阅读理解】 以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组． 【问题解决】 (1)分解因式：； (2)的三边，，满足，判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】本题考查因式分解及因式分解的应用， （1）根据上述的分组分解法将原式进行因式分解即可； （2）先将原式进行因式分解，得：，根据题意可知，，即，即可得出结果；解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解；如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，考虑使用完全平方公式，如果剩余的是四项或四项以上，考虑分组；因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 【解析】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【典例26】．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么. 例：把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式. 解法1：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋an）＋（bm＋bn） ＝  a（m＋n）＋b（m＋n） ＝（m＋n）（a＋b）. 解法2：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋bm）＋（an＋bn） ＝ m（a＋b）＋n（a＋b） ＝（a＋b）（m＋n）. 根据你的发现，把下面的多项式分解因式: (1)mx－my＋nx－ny； (2)2a＋4b－3ma－6mb. 【答案】（1）（x－y）（m＋n）；（2）（a＋2b）（2-3m） 【分析】(1)分组后提取公因式即可得到结果； (2)分组后提取公因式即可得到结果． 【解析】解：(1)解法一： 原式=m(x-y)+n(x-y)=(x-y)(m+n) 解法二： 原式=(mx+nx)-(my+ny)=x(m+n)-y(m+n)=(m+n)(x-y) (2)解法一： 原式=2(a+2b)-3m(a+2b)=(a+2b)(2-3m) 解法二： 原式=(2a-3ma)+(4b-6mb)=a(2-3m)+2b(2-3m)=(2-3m)(a+2b) 【点睛】此题考查了因式分解-分组分解法，难点是采用两两分组还是三一分组． 【典例27】．先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，并且的三边长是a，b，c，且c为奇数，求的周长． 【答案】(1) (2)16或18或20 【分析】（1）根据题干中提供的方法进行解答即可； （2）根据，得出，求出，，根据三角形三边关系得出，根据c为奇数，求出，7，9，然后分别求出结果即可． 【解析】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∵a，b，c是的三边长， ∴， ∵c为奇数， ∴，7，9， 当，，时，的周长是：， 当，，时，的周长是：， 当，，时，的周长是：． ∴的周长为16或18或20． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握配方法分解因式． 一、单选题 1．因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【解析】解：原式 ； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 2．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【解析】解： ． 故选：D． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键． 3．下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解的方法判断即可． 【解析】解：A. ，正确；     B. ，错误，所以此选项符合题意； C. ，正确； D. ，正确 故选B. 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 4．已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对多项式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【解析】解： ， ， ， ， 故选：． 5．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　） A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11 【答案】B 【分析】根据因式分解的分组分解法即可求解． 【解析】解：a2-ab-ac+bc=11， （a2-ab）-（ac-bc）=11， a（a-b）-c（a-b）=11， （a-b）（a-c）=11， ∵a＞b， ∴a-b＞0，a，b，c是正整数， ∴a-b=1或11，a-c=11或1． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握分组分解法分解因式． 6．已知实数m，n，p，q满足，，则（    ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 【答案】A 【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解． 【解析】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解． 二、填空题 7．因式分解：m2-n2-2m+1= ． 【答案】（m-1+n）（m-1-n） 【分析】先分组，得到m2-2m+1-n2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可． 【解析】原式=m2-2m+1-n2 =（m-1）2-n2 =（m-1+n）（m-1-n）． 故答案为（m-1+n）（m-1-n）． 【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键． 8．分解因式： ． 【答案】 【分析】先根据平方差公式，然后再提公因式分解因式即可． 【解析】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式，． 9．分解因式：＝ ． 【答案】 【分析】按照分组分解法进行分解因式即可． 【解析】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，分组分解法是把各项适当分组，先根据各式的特点进行分组，再使分解因式在各组之间进行．；分组时用到添括号，添括号时要注意各项符号的变化；熟练掌握分解因式的方法是关键． 10．分解因式：x2﹣y2+ax+ay＝ ． 【答案】（x+y）（x﹣y+a） 【分析】前两项一组，利用平方差公式分解因式，后两项一组，提取公因式a，然后两组之间再提取公因式（x+y）整理即可． 【解析】解：x2﹣y2+ax+ay， ＝（x+y）（x﹣y）+a（x+y）， ＝（x+y）（x﹣y+a）． 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并根据多项式的特征灵活选用合适的方法是解题的关键． 11．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8= ． 【答案】（x﹣4）（x﹣1）（x+2） 【分析】式子中加上2x减去2x，利用分组分解法及十字相乘法分解因式． 【解析】解：x3﹣3x2﹣6x+8 = = = = = =（x﹣4）（x﹣1）（x+2）， 故答案为：（x﹣4）（x﹣1）（x+2）． 【点睛】此题考查了十字相乘法及分组分解法分解因式，正确添加项及因式分解的方法是解题的关键． 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】先分组，然后根据公式法因式分解． 【解析】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键． 13．分解因式：= ． 【答案】（2x-y）(2x+y+1) 【分析】此题是4项式，没有公因式，所以考虑利用分组分解法，前两项符合平方差公式，所以前两项一组，利用平方差分解因式，然后再利用提公因式法继续分解因式． 【解析】 故答案为:(2x−y)(2x+y+1). 【点睛】考查因式分解-分组分解法，公式法，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键. 14．因式分解= 【答案】（x+3y-2）（x-2y+3） 【分析】先将第三、第五、第六项结合，用十字相乘法对6y2-13y+6进行分解，把二、四项结合用提公因式法分解，再将 x2+（y+1）x-（3y-2）（2y-3），整体用十字相乘进行分解，得出即可． 【解析】解：x2+xy-6y2+x+13y-6 =x2+（y+1）x-（6y2-13y+6） =x2+（y+1）x-（3y-2）（2y-3） =（x-2y+3）（x+3y-2）． 故答案为（x+3y-2）（x-2y+3）． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，以及提公因式法和十字相乘法，正确分组以及熟练利用十字相乘法分解因式是解题关键． 15．若，则 ． 【答案】2022 【分析】根据，得，然后局部运用因式分解的方法达到降次的目的，整体代入求解即可． 【解析】∵ ∴ ∴ 故填“2022”． 【点睛】本题主要考查了因式分解，善于运用因式分解的方法达到降次的目的，渗透整体代入的思想是解决本题的关键． 16．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键，先分解得到分组后的公因式是，从而可得答案． 【解析】解：∵， ∴必须与一组， ∴ ， 故答案为： 17．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业.为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的长为（）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的宽应该是 米. 【答案】 【分析】利用4块土地换成一块土地后的面积与原来4块土地的面积相等，而原来的4块土地的总面积，则换成一块土地后面积也为()平方米，又因为此地的长为（）米，根据矩形面积的公式得到此地的宽为， 再把整理变形后再进行除法运算即可得到结论． 【解析】解：∵原来4块地的总面积， ∴将这4块地换成一块地后面积为()平方米， 而此地的长为（）米， ∴此地的长 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算：多项式除以多项式时，可以把被除式分解后再进行除法运算． 18．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 ． 【答案】3 【分析】根据a=-226x+2017，b=-226x+2018，c=-226x+2019，可以求得a-b、b-c、a-c的值，然后将所求式子变形再因式分解即可解答本题． 【解析】解：，，， ，，， 故答案为：3． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，巧妙变形，利用完全平方公式因式分解，求出所求式子的值． 三、解答题 19．分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查提公因式法及公式法因式分解； （1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）配方后利用平方差公式因式分解即可； （3）配方后利用平方差公式因式分解即可． 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 20．分解因式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式即可； （3）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （4）先分组，进而得到，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 21．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据提公因式法以及平方差公式可得，从而得到，再根据十字相乘法进行因式分解，即可求解； （2）先分组，再利用完全平方公式以及平方差公式进行因式分解，即可求解． 【解析】（1）解： （2）解： 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 22．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解； （2）先利用完全平方公式将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解； （3）利用十字相乘法进行因式分解； （4）利用分组分解法将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查因式分解，掌握分组分解法、十字相乘法、公式法等常用的因式分解方法是解题的关键． 23．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用十字相乘法继续分解即可解答； （2）先根据完全平方公式进行分组，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【解析】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，因式分解—分组分解法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 24．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可求解； （2）先进行公式变形为，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （3）先将原式分组为再分别利用平方差公式和提公因式法分解，最后提公因式即可； （4）先利用十字相乘法进行分解，再次利用十字相乘法进行分解即可求解． 【解析】（1）解： = ； （2）解： ； （3）解： （4） ． 【点睛】本题考查了将多项式因式分解，因式分解的一般方法是先提公因式，再利用公式法分解，如果此方法无法正常分解，一般可以利用十字相乘法或分组分解法进行因式分解，注意因式分解一定要彻底。 25．分解因式：，以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”，根据以上阅读材料解决问题： 【跟着学】分解因式： ＝______． 【我也可以】分解因式：． 【拓展训练】已知，，为的三边长，若，试判断的形状． 【答案】【跟着学】，；【我也可以】；【拓展训练】为等边三角形 【分析】（1）根据提取公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法，提取公因式以及公式法，进行因式分解即可； （3）对式子进行因式分解，得到，，的关系，即可求解． 【解析】解：【跟着学】 ． 故答案为：， 解：【我也可以】 解：【拓展训练】， ， ， ∴，， ∴， 从而得到为等边三角形， 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了分组分解法，公式法，提公因式法以及三角形的分类，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 26．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式． ； 也可以 ． 以上分解因式的方法称为分组分解法， (1)请用分组分解法分解下列因式： ① ② (2)拓展延伸 ①若求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时？代数式有最小的值，最小的值是多少？ 【答案】(1)①；② (2)①，；②，，最小值： 【分析】（1）①正确分组，然后用提取公因式，利用平方差公式求解；②将化为，再利用完全平方公式，平方差公式求解； （2）①将化为，求出x和y的值；②将分组分解得到，结合，，求出x和y的值，的最小值． 【解析】（1）解：① ； ② ； （2）解：①， ， ， ，， ，； ② ， ，， ，时，有最小值，最小值是-10， ，， ， 即当，时，代数式有最小值，最小值是-10． 【点睛】本题考查了因式分解的方法-分组分解法，平方差公式和完全平方公式；正确进行分组是解决问题的关键． 27．由整式的乘法运算法则可得由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得． 通过观察可如可把中的着作是未知数．、、、在作常数的二次三项式：通过观察可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图，此分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解，如图，则．    根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法因式分解：； (2)用十字相乘法因式分解：； (3)结合本题知识，因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． 28．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法． 例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 (1)试用“分组分解法”因式分解： (2)已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示、、（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键． （1）根据因式分解分组分解法分解即可； （2）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可． 【解析】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ， ； ②当时， ，，，， ， 即， ， ， ， ， 由得，得，， ，即， ， ， ， ， 又由，，得，即， ，即， 或， ，或， 又，则， ，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 34 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 分组分解法因式分解（五大题型） 学习目标 1、 会用分组分解法进行因式分解； 2、 尝试不同的分组方式进行因式分解 3、 掌握分组分解法的应用 一、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 二、添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 【即学即练1】因式分解：． 【即学即练2】分解因式： ． 【即学即练3】分解因式：． 【即学即练4】分解因式：． 【即学即练5】已知，，则代数式的值是 ． 题型1：因式分解—分组分解法 【典例1】．因式分解： . 【典例2】．分解因式： ． 【典例3】．因式分解： 【典例4】．因式分解： ． 【典例5】．因式分解： ． 【典例6】．因式分解： 【典例7】．分解因式： ． 【典例8】．分解因式：． 【典例9】．分解因式： (1) (2) 【典例10】．把多项式分解因式． 【典例11】．因式分解： ． 【典例12】．因式分解： 题型2：因式分解综合 【典例13】．分解因式： (1)． (2)． (3)． 【典例14】．分解因式： (1) (2) (3) (4)． 【典例15】．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【典例16】．因式分解 (1) (2) (3) (4) (5) 题型3：利用分组分解法求值 【典例17】．已知a+b＝3，ab＝1，则3a+ab+3b＝ ，a2+b2= 【典例18】．若x2+4x+8y+y2+20＝0，则x﹣y＝ ． 【典例19】．已知，，则代数式的值是 ． 【典例20】．已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【典例21】．已知，，，则的值为 ． 题型4：分组分解法的应用 【典例22】．的分解因式结果中，含有的因式是(　　) A． B． C． D． 【典例23】．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（　　） A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【典例24】．三角形三边分别为、、，且，则这个三角形(按边分类)一定是 三角形． 题型5：材料题 【典例25】．【阅读理解】 以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组． 【问题解决】 (1)分解因式：； (2)的三边，，满足，判断的形状． 【典例26】．观察下面的分解因式过程，说说你发现了什么. 例：把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式. 解法1：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋an）＋（bm＋bn） ＝  a（m＋n）＋b（m＋n） ＝（m＋n）（a＋b）. 解法2：am＋an＋bm＋bn ＝（am＋bm）＋（an＋bn） ＝ m（a＋b）＋n（a＋b） ＝（a＋b）（m＋n）. 根据你的发现，把下面的多项式分解因式: (1)mx－my＋nx－ny； (2)2a＋4b－3ma－6mb. 【典例27】．先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2＋中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)若，并且的三边长是a，b，c，且c为奇数，求的周长． 一、单选题 1．因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 2．用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列分解因式错误的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 5．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　） A．±1 B．1或11 C．±11 D．±1或±11 6．已知实数m，n，p，q满足，，则（    ） A．48 B．36 C．96 D．无法计算 二、填空题 7．因式分解：m2-n2-2m+1= ． 8．分解因式： ． 9．分解因式：＝ ． 10．分解因式：x2﹣y2+ax+ay＝ ． 11．分解因式；．x3﹣3x2﹣6x+8= ． 12．因式分解： ． 13．分解因式：= ． 14．因式分解= 15．若，则 ． 16．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 17．甲、乙两农户各有两块地，如图所示，今年，这两个农户决定共同投资搞饲养业.为此，他们准备将这4块土地换成一块地，那块地的长为（）米，为了使所换土地的面积与原来4块地的总面积相等，交换之后的土地的宽应该是 米. 18．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，则代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是 ． 三、解答题 19．分解因式： (1)． (2)． (3)． 20．分解因式： (1) (2) (3) (4)． 21．因式分解： (1)； (2)． 22．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．因式分解 (1) (2) 24．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．分解因式：，以上分解因式的方法称为分组分解法，对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组（如此例）”，也可以是“三、一（或一、三）分组”，根据以上阅读材料解决问题： 【跟着学】分解因式： ＝______． 【我也可以】分解因式：． 【拓展训练】已知，，为的三边长，若，试判断的形状． 26．先阅读以下材料，然后解答问题，分解因式． ； 也可以 ． 以上分解因式的方法称为分组分解法， (1)请用分组分解法分解下列因式： ① ② (2)拓展延伸 ①若求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时？代数式有最小的值，最小的值是多少？ 27．由整式的乘法运算法则可得由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得． 通过观察可如可把中的着作是未知数．、、、在作常数的二次三项式：通过观察可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图，此分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解，如图，则．    根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法因式分解：； (2)用十字相乘法因式分解：； (3)结合本题知识，因式分解：． 28．阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法． 例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 (1)试用“分组分解法”因式分解： (2)已知四个实数，，，，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示、、（直接写出答案即可）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$