第19讲 因式分解 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪教版2024）

第19讲 因式分解 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．已知，则（　　） A． B． C．7 D．11 2．对于任何整数，整式的值都能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被5整除 3．已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　） A．1 B．4 C．11 D．12 5．小方将4张长为，宽为的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则满足（    ） A． B． C． D． 6．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．6858 B．6860 C．9260 D．9262 二、填空题 7．因式分解： ； ； ； 8．因式分解： 9．因式分解： ； 10．因式分解： ． 11．已知关于x的整式x2+kx﹣3能分解成两个一次整式的积，那么整数k的值为 ． 12．已知，则的值为 13．已知，那么整式的值为 . 14．已知：，因式分解，结果为 ． 15．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为． （1）若，则的值是 ； （2）若，，则的值是 ． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 17．若a, b, c 满足，则 18．已知关于x的整式，下列四个结论： ①当时，，则； ②若，则整式有一个因式是； ③若，则整式的最小值是0； ④若，则． 其中正确的是 （填写序号）． 三、解答题 19．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．因式分解：； 21．因式分解：． 22．分解因式：（n为大于2的正整数） 23．已知，求的值． 24．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8． 原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）． 例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值； a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1； ∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________； (2)用配方法因式分解：a2－12a＋35． (3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________； (4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________； 25．如图，有型、型、型三种不同的纸板，其中型：边长为厘米的正方形；型：长为厘米，宽为1厘米的长方形；型：边长为1厘米的正方形．      (1)型2块，型4块，型4块．此时纸板的总面积为________； ①从这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； ②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） (2)型12块、型12块、型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请直接写出大正方形的边长． 26．在因式分解的学习过程中，我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分整式分解因式．下面以为例，介绍一种新的因式分解法——试根法． ①观察发现，时，，说明是方程的一个解（或“根”）．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，另一个因式只能是一次式且一次项系数为7，所以设另一个因式是． ③于是． 根据对应项系数相等，得，则． ④所以． 以上因式分解的方法叫“试根法”． 利用“试根法”，解决下面的问题： (1)因式分解：． 解：①把代入该式，得．所以该整式分解后有一个因式是． ②因为原整式最高次项系数为2，所以设另一个因式是． 请继续完成下列步骤： ③填空：______，______； ④观察的各项系数特点，利用“试根法”对进行因式分解； ⑤整式因式分解的结果为______． (2)利用“试根法”因式分解：． 27．关于、、的整式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的整式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对整式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19讲 因式分解 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．已知，则（　　） A． B． C．7 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．根据题意可得，再由完全平方公式，可得，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选B． 2．对于任何整数，整式的值都能（    ） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被5整除 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可． 【解析】解： ， 为任意整数， 的值总能被3整除， 故选：B． 3．已知三个实数a，b，c满足，，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质，因式分解的应用．熟练掌握完全平方公式，根据相等关系，代入消元，运用完全平方公式分解因式，判断各选项即可． 【解析】A．若，则，即，则： ，故A正确； B．若，则， 把代入得： ， ∴， 把，代入得： ， 分解因式得：， ∴或 ∴或，故B错误； C．若，则， ∴， ∴，故C错误； D．若，则 把代入得：， ∴，故D错误． 故选：A． 4．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　） A．1 B．4 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按整式乘以整式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可． 【解析】∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12 ∴p+q=m，pq=-12． ∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12 ∴m=-11或11或4或-4或1或-1． ∴m的最大值为11． 故选C． 【点睛】此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用． 5．小方将4张长为，宽为的长方形纸片先按图1所示方式拼成一个边长为的正方形，然后按图2所示连接了四条线段，并画出部分阴影图形，若大正方形的面积是图中阴影部分图形面积的3倍，则满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，先用含有a、b的代数式分别表示出S、S1和S2，再根据S1=3S2得到关于a、b的等式，整理即可． 【解析】解：设大正方形的面积为S，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2， 由题意，得S1=b（a+b）×2+ab×2+（a-b）2=a2+2b2， S2=（a+b）2-S1=（a+b）2-（a2+2b2）=2ab-b2， S=（a+b）2， ∵S=3S2， ∴（a+b）2=3（2ab-b2）， 整理，得（a-2b）2=0， ∴a-2b=0， ∴a=2b． 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式及因式分解的方法是解题的关键． 6．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A．6858 B．6860 C．9260 D．9262 【答案】B 【分析】根据“和谐数”的概念找出公式：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝2(12k2+1)（其中k为非负整数），然后再分析计算即可． 【解析】解：(2k+1)3﹣(2k﹣1)3＝[(2k+1)﹣(2k﹣1)][(2k+1)2+(2k+1)(2k﹣1)+(2k﹣1)2]＝2(12 k2+1)（其中 k为非负整数），由2(12k2+1)≤2019得，k≤9， ∴k＝0，1，2，…，8，9，即得所有不超过2019的“和谐数”， 它们的和为[13﹣(﹣1)3]+(33﹣13)+(53﹣33)+…+(173﹣153)+(193﹣173)＝193+1＝6860． 故选：B． 【点睛】本题考查了新定义，以及立方差公式，有一定难度，重点是理解题意，找出其中规律是解题的关键所在． 二、填空题 7．因式分解： ； ； ； 【答案】 / ； ； ． 【分析】利用完全平方公式、十字相乘法、提取公因式法以及分组分解法求解即可． 【解析】解：； ； ； ； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个整式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 8．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法和公式法分解因式，首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，正确运用乘法公式分解因式是解题的关键． 【解析】解： ． 9．因式分解： ； 【答案】 【分析】先运用十字相乘法进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【解析】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握十字相乘法和公式法进行因式分解是解答本题的关键． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】将原式进行拆解变形为后，先将前面几项利用十字相乘法因式分解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可. 【解析】 = =+ = =. 所以答案为. 【点睛】本题主要考查了十字相乘法与提公因式法进行因式分解，熟练掌握相关方法并且合适地进行分组分解是解题关键. 11．已知关于x的整式x2+kx﹣3能分解成两个一次整式的积，那么整数k的值为 ． 【答案】 【分析】把常数项分解成两个整数的乘积，k就等于那两个整数之和． 【解析】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3， ∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2， ∴整数k的值为：±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查因式分解—十字相乘法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 12．已知，则的值为 【答案】 【分析】先根据完全平方公式的变形求出，再把所求式子提取公因式得到，据此代值计算即可． 【解析】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，正确得到是解题的关键． 13．已知，那么整式的值为 . 【答案】// 【分析】先根据式子的特点展开，然后求出的值，再代入即可求解． 【解析】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘法公式与因式分解的运算和求值的应用，熟练掌握整式的因式分解和整体代入的思想是解题的关键． 14．已知：，因式分解，结果为 ． 【答案】 【分析】将提出一个，再将提出一个，继续提出一个，以此类推，直到原式变为，再化简即可． 【解析】解： … 故答案为： 【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果整式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将整式写成整式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法． 15．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为． （1）若，则的值是 ； （2）若，，则的值是 ． 【答案】 20 【分析】（1）根据已知条件得到乙正方形的边长为，于是得到结论； （2）根据阴影部分的面积可得，，两式相除得到a、b的关系，再代入求解即可． 【解析】解：（1）∵， ∴乙正方形的边长为， ∴， 故答案为：20； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 即， ∴或， ∴或（舍去） ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了整式与几何图形的面积以及因式分解，正确理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，第9个智慧优数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【解析】解：，均为正整数， ，，，，…， ，，，，…， ， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，，，…， 当时，，得到的“智慧优数”分别为：，…， 把这些“智慧优数”从小到大排列为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，…， 第9个智慧优数是， 故答案为：． 17．若a, b, c 满足，则 【答案】 【分析】关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可. 【解析】因为 所以 ，即 因为 所以 因为 所以 因为 所以 即 因为 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键. 18．已知关于x的整式，下列四个结论： ①当时，，则； ②若，则整式有一个因式是； ③若，则整式的最小值是0； ④若，则． 其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】①将代入，即可判断；②当时，，即可判断；③，根据平方的非负性，即可判断；④当时，；时，，则，即可判断． 【解析】①将代入，得，所以①正确； ②若，则当时，，则整式有一个因式是；所以②正确 ③， 时， 时， ∴若，则整式的最值是0， 所以③错误； ④ ∴当时， 当时， ∴ ∴ 所以④正确 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查整式求值、平方的非负性，因式分解的应用，解题的关键是明确． 三、解答题 19．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再利用完全平方公式进行分解即可； （2）直接利用完全平方公式进行分解即可； （3）先利用平方差公式进行分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可； （4）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【解析】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查公式法分解因式，积的乘方．掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键． 20．因式分解：； 【答案】 【分析】本题租用考查了分解因式，先分组得到，进而提取公因式得到，再利用平方差公式分解因式即可． 【解析】解： ． 21．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练的分组是解本题的关键． 【解析】解： ． 22．分解因式：（n为大于2的正整数） 【答案】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，本题先提取公因式，再利用完全平方公式与平方差公式进行分解即可，熟记把整式的每个因式都分解到不能再分解为止是解本题的关键． 【解析】解： ． 23．已知，求的值． 【答案】 【解析】解：，， ， ． 24．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例1 用配方法因式分解：a2＋6a＋8． 原式＝ a2＋6a＋9－1＝（a＋3）2－1＝（a＋3－1）（a＋3＋1）＝（a＋2）（a＋4）． 例2若M＝a2－2ab＋2b2－2b＋2，利用配方法求M的最小值； a2－2ab＋2b2－2b＋2＝a2－2ab＋b2＋b2－2b＋1＋1＝（a－b）2＋（b－1）2＋1； ∵（a－b）2≥0，（b－1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，M有最小值1． 请根据上述自主学习材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2＋10a＋________； (2)用配方法因式分解：a2－12a＋35． (3)若M＝a2－3a+1，则M的最小值为________； (4)已知a2＋2b2＋c2－2ab＋4b－6c＋13＝0，则a＋b＋c的值为________； 【答案】(1)25； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征判断即可； （2）原式常数项35分为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可； （3）配方后，利用非负数的性质确定出最小值即可； （4）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出，，的值，代入原式计算即可． 【解析】（1）解：； 故答案为：25； （2）解： ； （3）解： ， 当，即时，取最小值，最小值为； 故答案为：； （4）解：， ， 即， ，，， ，，， 解得：，， 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式． 25．如图，有型、型、型三种不同的纸板，其中型：边长为厘米的正方形；型：长为厘米，宽为1厘米的长方形；型：边长为1厘米的正方形．      (1)型2块，型4块，型4块．此时纸板的总面积为________； ①从这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； ②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） (2)型12块、型12块、型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请直接写出大正方形的边长． 【答案】(1) ①② (2) 【分析】（1）由于1块型的面积为，1块型的面积为，1块型的面积为，所以型2块，型4块，型4块的总面积为； ①把减去，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长； ②把减去2，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长与面积，所以从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板满足要求； （2）从这28块纸板中拿掉1块类型的纸板可满足要求，因为，此时正方形的边长为． 【解析】（1）解：1块型的面积为，1块型的面积为，1块型的面积为，所以型2块，型4块，型4块的总面积为； 故答案为： ①这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形． 剩下纸板的总面积为，而， 则此正方形的边长为； 故答案为： ②从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下， 可以紧密地排出两个相同的大正方形． 理由如下： ， 此时正方形的边长为， 则正方形面积为：； （2）解：， 此时正方形的边长为． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 26．在因式分解的学习过程中，我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分整式分解因式．下面以为例，介绍一种新的因式分解法——试根法． ①观察发现，时，，说明是方程的一个解（或“根”）．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，另一个因式只能是一次式且一次项系数为7，所以设另一个因式是． ③于是． 根据对应项系数相等，得，则． ④所以． 以上因式分解的方法叫“试根法”． 利用“试根法”，解决下面的问题： (1)因式分解：． 解：①把代入该式，得．所以该整式分解后有一个因式是． ②因为原整式最高次项系数为2，所以设另一个因式是． 请继续完成下列步骤： ③填空：______，______； ④观察的各项系数特点，利用“试根法”对进行因式分解； ⑤整式因式分解的结果为______． (2)利用“试根法”因式分解：． 【答案】(1)（1）③，；④；⑤ (2) 【分析】本题主要考查因式分解的拓展，解题的关键在于准确理解题意找到试根法的运算技巧. （1）③把两个因式相乘，利用根据对应项系数相等建立方程求解即可；④通过试根确定两个因式为和，再把两个因式相乘，利用根据对应项系数相等建立方程求解即可；⑤直接利用前面的结论把三个因式写成积的形式即可； （2）先用试根法分解为，再用试根法把分解为，最后综合在一起即可． 【解析】（1）解：③由题意，得， 根据对应项系数相等，得， 解得：， 故答案为：； ④当时，，所以该整式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， ∴； ⑤， 故答案为：； （2）解：当时，，所以该整式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， 又当时，，所以该整式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， ∴． 27．关于、、的整式，，，，在将字母、、轮换（即将换成，换成，换成）时，保持不变．这样的整式称为、、的轮换式．我们可以利用轮换式的特征帮助我们进行巧妙地因式分解，我们也叫轮换式法． 例题：分解因式 解：令时，原式 所以是原式的因式，由于原式是、、的轮换式，所以、也是原式的因式，从而可以设 ， （保证两边次数相同，其中是系数） 令，得，即 所以 阅读上述材料分解因式完成下列两题： (1)对整式 令________，原式；令________，原式 所以设 令得________ (2)用轮换式法因式分解： 【答案】(1)1，1，1 (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握轮换式法分解因式是解题关键． （1）观察整式可得当时，整式的值等于0；再将代入即可求出的值； （2）先分别求出当，，时，整式的值等于0，从而可设，再将代入求出的值即可得． 【解析】（1）解：对整式， 令，原式；令，原式， 所以设， 令得，，即， 故答案为：1，1，1． （2）解：对整式， 令时，原式， 令时，原式， 令时，原式， 所以设（保证两边次数相同，其中是系数）， 令时，， 解得， 所以， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 19 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$