精品解析：新疆石河子第一中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

石河子第一中学 2025届高三年级开学考试 数学试卷 一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合绝对值不等式求集合B，再求. 【详解】由，得或，解得或， 且，所以， 又因为，所以. 故选：A． 2. 下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，是的不充分不必要条件，A不是； 对于B，是的一个必要不充分条件，B是； 对于C，是的一个充分不必要条件，C不是； 对于D，是的一个充分不必要条件，D不是. 故选：B 3. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论. 【详解】对A：当时，由不能推出，所以A错误； 对B：当，时，由不能推出，所以B错误； 对C：当时，由不能推出，所以C错误； 对D：由，又，所以，所以D正确. 故选：D 4. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 5. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在上的最大值即得. 【详解】由可得， 因在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 而函数在上单调递减，则， 故，即a的取值范围是. 故选：A. 6. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，从而得解. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意. 所以，则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则，解得. 故选：C． 7. 中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时的比值即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 当时，， 所以 ， 所以的增长率约为. 故选：D 8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知奇函数的定义域为，若，则（    ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 的一个周期为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断. 【详解】对于A，由定义域为且函数为奇函数，可得，A选项正确； 对于B，由，可得，则函数关于直线对称，B选项错误； 对于C，由以及奇函数性质可知， 可得，即可得，即C选项正确； 对于D，根据C中的结论可知， 即可得，函数的一个周期为，D选项正确； 故选：ACD. 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 11. 已知，则下列结论正确的有（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于ABC根据题意利用基本不等式分析判断；对于D，整理可得，构建函数，，利用导数判断函数单调性，结合单调性分析即可判断. 【详解】因为， 对于A，因为，当且仅当时，等号成立， 但，可得，则， 可得，可知不为的最大值，故A错误； 对于B，因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，因为，则， 即，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 这与题干不符，故3不为的最小值，故C错误； 对于D，由题意可知：，，则， 构建函数，，则，在内恒成立， 可知在内单调递减，则， 所以，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是___________，函数的零点是___________（用a表示）. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题设条件可知抛物线与轴相切，从而可得的关系，进一步解一元二次方程即可求解函数零点. 【详解】解析因为函数有零点，但不能用二分法求出， 所以函数的图象与x轴相切，所以，所以， 令，解得. 故答案为：，. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 14. 已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】先对不等式等价变换为，令得，构造函数，从而，又，利用不等式性质即可求解范围. 【详解】因为，所以， 则不等式等价于， 等价于，令，则， 从而，令，由对勾函数的性质知， 因为，即，所以， 令，则，解得， 所以，当且仅当即时取等号， 故的最大值是6. 故答案为：6 【点睛】关键点点睛：本题考查了复合函数的值域及不等式的性质，解题的关键是对不等式等价变形，利用换元法结合对勾函数性质求解函数范围，最后利用不等式性质求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知不等式的解集为. （1）求的值， （2）若，，，求的最小值. 【答案】（1），· （2）9 【解析】 【分析】（1）利用指数函数单调性解不等式即可. （2）结合“1”的代换，利用基本不等式求得，然后利用不等式性质求解即可. 【小问1详解】 由及函数在定义域上单调递减， 得，解得， 因此，，· 【小问2详解】 由已知可得， 又因为且，则， 当且仅当时，等号成立，故. 所以的最小值为9. 16. 已知函数. （1）作出函数的大致图像，并简要说明理由； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性，极值，并结合函数的零点，即可画出函数的大致图象； （2）首先求函数的导数，并讨论的取值，确定导数正负的区间，即可求解函数的单调性. 【小问1详解】 ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得最小值， 且当时，，当时，，且， 所以的图象如下所示， 【小问2详解】 由已知可得函数，. ①当时， 当时，，时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ②当时，当时，， 或时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增； ④当时，当时，，或时，； 则在上单调递减，在上单调递增. 综上可知：时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在R上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增. 17. 设函数，直线是曲线在点处的切线． （1）当时，求在点处的切线方程. （2）求证：不经过点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，由导数几何意义得到切线斜率，进而得到切线方程； （2）求导，得到切线方程，求出，令，求导得到其单调性和最值情况，从而得到，无零点，故结论成立. 【小问1详解】 ， 切线方程为：，即：. 【小问2详解】 ，切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ， 在上单调递增，， 在无零点， 与假设矛盾，故直线不过. 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 18. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3） 【解析】 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【小问1详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上单调递增， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上单调递减，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 19. 给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和. （1）分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由） （2）任取一个5元理想数集，求证：； 【答案】（1）集合是理想数集，集合不是理想数集 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由理想数集的定义即可判断； （2）为了方便说明，假定元素间一个有序关系为，从而分三种情况，，和讨论即可得证； 【小问1详解】 设的随影数集分别为， 则， 所以集合是理想数集，集合不是理想数集. 【小问2详解】 不妨设集合且，即. 为理想数集，，则，且， 使得. 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当时，等号成立. 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：关键是通过分类讨论证明，对元理想数集，有，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石河子第一中学 2025届高三年级开学考试 数学试卷 一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知奇函数的定义域为，若，则（    ） A. B. 的图象关于直线对称 C. D. 的一个周期为 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 11. 已知，则下列结论正确的有（    ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为3 D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是___________，函数的零点是___________（用a表示）. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知不等式的解集为. （1）求的值， （2）若，，，求的最小值. 16. 已知函数. （1）作出函数的大致图像，并简要说明理由； （2）讨论函数的单调性. 17. 设函数，直线是曲线在点处的切线． （1）当时，求在点处的切线方程. （2）求证：不经过点. 18. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 19. 给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和. （1）分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由） （2）任取一个5元理想数集，求证：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $