精品解析：江苏省苏州市昆山市昆山通海实验中学2022-2023学年八年级下学期期末数学模拟试题

2023年初二数学期末模拟练习题 一、选择题：（每题3分，共24分） 1. 为了解某市七年级学生的一分钟跳绳成绩，从该市七年级学生中随机抽取100名学生进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 这100名七年级学生是总体的一个样本 B. 该市七年级学生是总体 C. 该市每位七年级学生的一分钟跳绳成绩是个体 D. 100名学生是样本容量 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则袋中白球有（ ） A. 10个 B. 16个 C. 24个 D. 40个 4. 若一元二次方程的一根为，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中：、顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 8. 如图，在菱形中，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设分别是的中点，当点与点重合时，四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题3分，共24分） 9. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 10. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m 11. 如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED， 点D正好落在BC边上．已知∠C=80°，则∠EAB=____________°． 12. 如图，已知矩形ABCD，，P是CD的中点，E是BC上的动点，M、N分别是AE、PE的中点，当E在BC边上移动时，MN始终等于__________． 13. 若关于的分式方程有正整数解，则整数为______． 14. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的面积为______． 15. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 16. 如图，平面直角坐标系中，A为函数（）图像上的一点，其中，，交x轴于点C，,若四边形的面积为12，则k的值为______． 三、解答题：（共82分） 17. （1）计算 （2）化简 18. 解方程： （1） （2） 19 先化简，再求值：，其中． 20. 适当的劳动对青少年的成长和发展具有十分重要的意义．为了解八年级学生每周家务劳动的总时长，某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内家务劳动总时间（单位：小时）进行了调查，并将数据整理后得到下列不完整的统计图表： 组别 家务劳动总时间分组 频数 5 7 10 19 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中，_______________ （2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是_______________． （3）请估计该校650名八年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数． 21 某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运，且A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料． 22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45° （1）求证△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，BE＝，求CD长． 24. 如图，在ABCD中，AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，垂足为O，连接AE、CF． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB＝5，BC＝7，则AC＝ 时，四边形AECF为正方形． 25. 如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且. (1)求的值； (2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值. 26. 反比例函数的图象经过点，点是一次函数图象上的一个动点，如图所示，设点的横坐标为，且满足，过点分别作轴，轴，垂足分别为，，与反比例函数分别交于，两点，连结，，． （1）求的值并结合图象求出的取值范围； （2）在点运动过程中，若，求点的坐标； （3）将沿着直线翻折，点的对应点为点，得到四边形，问：四边形能否为菱形？若能，求出点坐标；若不能，说明理由． 27. 【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足，则 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年初二数学期末模拟练习题 一、选择题：（每题3分，共24分） 1. 为了解某市七年级学生的一分钟跳绳成绩，从该市七年级学生中随机抽取100名学生进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 这100名七年级学生是总体的一个样本 B. 该市七年级学生是总体 C. 该市每位七年级学生的一分钟跳绳成绩是个体 D. 100名学生是样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．这100名七年级学生的一分钟跳绳成绩是总体的一个样本，故该选项不符合题意； B、该市七年级学生的一分钟跳绳成绩是总体，故该选项不符合题意； C、该市每位七年级学生的一分钟跳绳成绩是个体，故该选项符合题意； D、样本容量是100，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4，则袋中白球有（ ） A. 10个 B. 16个 C. 24个 D. 40个 【答案】A 【解析】 【分析】设袋中白球有x个，根据题意用白球数除以白球和红球的总数等于白球的频率列出等式，即可求出白球数． 【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意，得 解得． 所以袋中白球有10个． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 4. 若一元二次方程的一根为，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】将=-1代入一元二次方程，求出k的值即可. 【详解】解：∵方程的一根为=-1 ∴(-1)2-2k×(-1)+1=0 解得k=-1. 故选A. 【点睛】本题主要考查了对一元二次方程的解，解一元二次方程等知识的理解和掌握. 5. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质得到x、y的关系，即可求解． 【详解】解：∵， ∴3x﹣3y=2y，即3x=5y， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，推导出x、y的关系式是解答的关键． 6. 反比例函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据待定系数法求得反比例函数的解析式，把代入求得纵坐标，根据图象即可求得的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，明确图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 7. 如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质，证明，可得结论． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题关键是证明． 8. 如图，在菱形中，是的中点．过点作，垂足为．将沿点到点的方向平移，得到．设分别是的中点，当点与点重合时，四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题. 如图, 连接交于,首先证明四边形是平行四边形，再证明求出即可解决问题. 【详解】如图, 连接交于， 由题意 ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴，， ∵P是的中点， ， ， ， 平行四边形的面积 故选: B． 二、填空题：（每题3分，共24分） 9. 代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性计算即可得到结果． 【详解】由题可得：， 即， 解得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的非负性，准确理解非负性的含义是解题的关键． 10. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案． 【详解】 如图：过点C作CD⊥EF， 由题意得：△EFC是直角三角形,∠ECF=90°， ∴∠EDC=∠CDF=90°， ∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°， ∴∠E=∠DCF， ∴Rt△EDC∽Rt△CDF， 有=; 即DC2=EDFD， 代入数据可得DC2=16， DC=4； 故答案为4. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键. 11. 如图，将△ABC的绕点A顺时针旋转得到△AED， 点D正好落在BC边上．已知∠C=80°，则∠EAB=____________°． 【答案】20 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据等边对等角可得，然后求出，，从而得解． 【详解】解：的绕点顺时针旋转得到， ，， 点正好落在边上， ， ， ，， ， ． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟记性质并确定出是等腰三角形． 12. 如图，已知矩形ABCD，，P是CD的中点，E是BC上的动点，M、N分别是AE、PE的中点，当E在BC边上移动时，MN始终等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据P是CD边上的中点，由勾股定理可求出AP的长度，在根据M、N分别是AE、PE的中点，可得到MN是△AEP的中位线，利用中位线的性质即可解答． 【详解】解：连接AP ∵矩形ABCD中，AB=DC=4，P是CD边上的中点， ∴DP=2， ∴AP=， ∵M，N分别是AE、PE的中点， ∴MN是△AEP的中位线， ∴MN= 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理以及矩形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的判定及性质． 13. 若关于的分式方程有正整数解，则整数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，解分式方程，得，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值． 【详解】解：去括号得， 解得， ∵方程有正整数解，即且， ∴，即，且为整数， 又∵x为正整数 ∴或， 故答案为：或． 14. 如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图， 平行四边形的性质.利用基本作图得到, 再根据平行四边形的性质得到,再证明, 则, 接着根据利用勾股定理求得长, 然后利用平行四边形的面积公式求得答案即可. 【详解】由作法得平分, ∴, ∵四边形为平行四边形， ∴,,, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, 在中, ∴平行四边形的面积为, 故答案为：. 15. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】延长BA到点G，使AG=CF，连接DG，EF，利用SAS证明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再证明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，设AE=x，则BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解决问题． 【详解】解：延长BA到点G，使AG＝CF，连接DG，EF， ∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF， ∴△ADG≌△CDF（SAS）， ∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF， ∵∠EDF＝45°， ∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°， ∵DE＝DE， ∴△GDE≌△FDE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵F是BC的中点， ∴AG=CF=BF=3， 设AE＝x，则BE＝6﹣x，EF＝x+3， 由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2， 解得x＝2， ∴AE＝2， ∴DE＝， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握半角模型的处理策略是解题的关键． 16. 如图，平面直角坐标系中，A为函数（）图像上的一点，其中，，交x轴于点C，,若四边形的面积为12，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过点A分别作轴于点D，轴于点E，由题意易得，则有，设点A的横坐标为a，则纵坐标为，然后根据四边形的面积可进行求解． 【详解】解：如图：过点A分别作轴于点D，轴于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点A的横坐标为a，则纵坐标为， ∴， ∵， ∴，解得：（负根舍去）， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合、相似三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握反比例函数与几何的综合及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三、解答题：（共82分） 17. （1）计算 （2）化简 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和二次根式的乘除法，熟练掌握绝对值、立方根和二次根式的乘法是解题的关键． （1）先根据绝对值、立方根和二次根式的乘法化简，然后合并解题即可； （2）利用二次根式的乘除法解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）无解 （2）， 【解析】 【分析】本题考查是分式方程和一元二次方程的解法，解题的关键是将分式方程化成整式方程进行求解，注意需要验根． （1）先去分母，化为整式方程，再解整式方程，并检验即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可解题． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以得， 整理得， 解得：， 经检验：是原方程的增根， ∴方程无解； 【小问2详解】 解：， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】－；－ 【解析】 【分析】先根据分式的四则运算法则进行化简，再把代入求解即可． 【详解】解：原式= = = =， 当时，原式= =． 【点睛】本题考查分式的化简求值，明确分式化简求值的方法是解题的关键． 20. 适当的劳动对青少年的成长和发展具有十分重要的意义．为了解八年级学生每周家务劳动的总时长，某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了八年级部分学生，对他们一周内家务劳动总时间（单位：小时）进行了调查，并将数据整理后得到下列不完整的统计图表： 组别 家务劳动总时间分组 频数 5 7 10 19 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中，_______________ （2）扇形统计图中，组所在扇形的圆心角的度数是_______________． （3）请估计该校650名八年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数． 【答案】（1）9 （2）72 （3）364名 【解析】 【分析】（1）用D组的人数除以所占的百分比求得抽样总人数，再减去其它组的人数即可求解； （2）用乘以C组在样本中所占的比例求解即可； （3）用该校总人数乘以样本中一周内家务劳动总时间不少于8小时所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：抽样总人数为（名）， 则， 故答案为：9； 【小问2详解】 解：组所在扇形的圆心角的度数是， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校650名八年级学生中一周内家务劳动总时间不少于8小时的人数约为364名． 【点睛】本题考查统计表和扇形统计图的关联、求扇形的圆心角、用样本估计总体，理解题意，能从统计表或统计图中获取相关信息解决问题是解答的关键． 21. 某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运，且A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料． 【答案】A、B两种型号机器人每小时分别搬运和原料 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键．设A型号机器人每小时搬运原料，先求出B型号机器人每小时搬运原料，再根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等”建立方程，然后求解即可． 【详解】解：设A型号机器人每小时搬运原料， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B型号机器人每小时分别搬运， 答：A、B两种型号机器人每小时分别搬运和原料． 22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)、B(4，-1)、C(3，-3)． （1）画出将△ABC向左平移5个单位，再向上平移3个单位后的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标____________； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A1B1C1的一个位似△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为2∶1，并写出点B1的对应点B2的坐标____________； （3）若△A1B1C1内部任意一点P1 的坐标为(a-5，b+3)，直接写出经过（2）的变化后点P1的对应点P2的坐标（用含a、b的代数式表示）．P2的坐标是____________． 【答案】（1）B1(-1，2) （2）B2(-2，4) （3）P2(2a -10，2b+6) 【解析】 【分析】（1）先按要求画出平移后所得△A1B1C1，再对照图形写出点B1的坐标即可； （2）连接OA1，并延长到点A2，使OA2=2OA1可得点A2，用同样的方法画出点B2、C2，再顺次连接三点即可得到△A2B2C2，对照图形写出点B2的坐标即可； （3）由△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1可知点P2的坐标是点P1坐标的2倍，由此可得到点P2的坐标； 【小问1详解】 如下图所示，△A1B1C1为所求三角形，B1的坐标为：(-1，2)； 【小问2详解】 如下图所示，△A2B2C2为所求三角形，B2的坐标为：(-2，4)； 【小问3详解】 由题意可知△A2B2C2∽△A1B1C1，且相似比为2：1 ∴当点P1的坐标为(a-5，b+3)时，对应点P2的坐标为：(2a -10，2b+6)． 23. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，D分别是BC，AC上的点，且∠AED＝45° （1）求证△ABE∽△ECD； （2）若AB＝4，BE＝，求CD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）求出，，即可推出； （2）求出，，证，求出． 【详解】解：（1）证明：在中，，， ， ，， ， ； （2）在中，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定，相似三角形性质和判定的综合运用，题目比较好，但是有一定的难度． 24. 如图，在ABCD中，AC的垂直平分线分别交BC、AD于点E、F，垂足为O，连接AE、CF． （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB＝5，BC＝7，则AC＝ 时，四边形AECF为正方形． 【答案】（1）见解析；（2）3或4． 【解析】 【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形可得AD∥BC，进而可得∠1＝∠2，再根据EF垂直平分AC可得AF＝CF，AE＝CE，进而可得∠2＝∠3，再根据四边相等的四边形是菱形作出判定； （2）当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形，设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC＝，根据勾股定理列出方程求得x的值，进而得AC的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠1＝∠2， ∵EF垂直平分AC， ∴AF＝CF，AE＝CE， ∵AE＝CE，EF⊥AC， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴AE＝AF， ∴AE＝AF＝CE＝CF， ∴四边形AECF菱形． （2）解：∵四边形AECF是菱形， ∴当∠AEC＝90°时，四边形AECF是正方形， 则∠AEB＝90°， 设AE＝EC＝x，则BE＝7－x，AC＝， 在Rt△ABE中，， ∴， 解得，， ∴AC＝或， 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的判定以及勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 25. 如图，为反比例函数(x>0)图象上的一点，在轴正半轴上有一点，.连接，，且. (1)求的值； (2)过点作，交反比例函数(x>0)的图象于点，连接交于点，求的值. 【答案】(1)k=12；(2). 【解析】 【分析】(1)过点作交轴于点，交于点，易知OH长度，在直角三角形OHA中得到AH长度，从而得到A点坐标，进而算出k值；（2）先求出D点坐标，得到BC长度，从而得到AM长度，由平行线得到，所以 【详解】解： (1)过点作交轴于点，交于点. (2) 【点睛】本题主要考查反比例函数与相似三角形的综合问题，难度不大，解题关键在于求出k 26. 反比例函数的图象经过点，点是一次函数图象上的一个动点，如图所示，设点的横坐标为，且满足，过点分别作轴，轴，垂足分别为，，与反比例函数分别交于，两点，连结，，． （1）求的值并结合图象求出的取值范围； （2）在点运动过程中，若，求点的坐标； （3）将沿着直线翻折，点的对应点为点，得到四边形，问：四边形能否为菱形？若能，求出点坐标；若不能，说明理由． 【答案】（1），；（2） 或；（3）能， 【解析】 【分析】（1）先把（1，3）代入求出k的值，再由两函数有交点求出m的值，根据函数图象即可得出结论； （2）设，则，，可得，再设，则，进而求出，，将代入可得知，将代入可得知，进而求出a、b的值即可得出结论. （3）当OC＝OD时，四边形O′COD为菱形，由对称性得到△AOC≌△BOD，即OA＝OB，由此时P横纵坐标相等且在直线y＝−x＋6上即可得出结论． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象经过点， ∴把代入，解得， ∴令， 解得：， 由图像可知表示一次函数图像在反比例函数图像上方的取值范围， ∴； （2）如图，连接OP， 设，则， ∵点D在上， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， 在上， ∴，∴①， 在上，∴②， 解①②得，， ，， 点坐标是或. （3）四边形能为菱形， ∵当时，四边形为菱形， ∴由对称性得到，即， ∴此时横纵坐标相等且在直线上，即， 解得：，即. 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查的是反比例函数综合题，涉及到菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，在解答此题时要注意利用数形结合求解． 27. 问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值． （1）请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 （2）如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值． 【灵活运用】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形是四个角都是直角的平行四边形，相似三角形对应边成比例，以及正确作出辅助线，构造题中所给几何模型，进行解答． （1）证明，根据相似三角形对应边成比例，即可求解； （2）构造矩形，延长交于点G， 由（1）中结论可得：，，设，，则，，，，再证明，则，即可求出，即可求解； （3）连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P，证明，，根据，得出，设，则，，得出，即可求出，由（1）中结论可得：，最后证明四边形为平行四边形，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：构造如图所示矩形，延长交于点G， 由（1）中结论可得：， ∵， ∴设，， ∵点为的中点， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴，则，， 解得：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴； （3）解：连接，构造如图所示矩形，过点N作，交于点P， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 设， 则，， ∴，整理得：， ∴， 由（1）中结论可得：． ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$