第14讲 一元二次方程 单元综合测试（重点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第14讲 一元二次方程 单元综合测试（重点） 一、单选题 1．下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 3．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 4．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B．1或 C． D．0.5 5．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 6．如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．下列一元二次方程的解法中，正确的是（　　） A．（x﹣3）（x﹣5）＝10×2，∴x﹣3＝10，x﹣5＝2，∴＝13，＝7 B．，∴（5x﹣2）（5x﹣3）＝0，∴， C．，∴＝2，＝﹣2 D．两边同除以x，得x＝1 8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 9．《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程(   ) A． B． C． D． 10．若等腰三角形三边的长分别是，，3，且，是关于的一元二次方程的两个根，则满足上述条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 二、填空题 11．关于x的方程是一元二次方程，则a＝ ． 12．一元二次方程的根的判别式的值是 ． 13．在实数范围内因式分解： ． 14．如果的值与的值相等，则 ． 15．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ． 16．某校举行篮球单循环赛，即两队之间互相比赛，共进行了场比赛．设有个队参加这个比赛，那么可以列出方程为 ． 17．已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 18．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则 ． 三、解答题 19．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 20．以下是小滨在解方程时的解答过程． 解原方程可化为， 解得原方程的解是． 小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 21．解关于x的方程 22．已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数． 23．某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏民族舞表演．表演前，主办方工作人员准备利用米长的墙为一边，用米隔栏绳为另三边，设立一个面积为平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？ 24．在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    25．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 26．数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 一元二次方程 单元综合测试（重点） 一、单选题 1．下列方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【解析】因为是二元方程，所以A不符合题意； 因为是一元二次方程，所以B符合题意； 因为当时不是一元二次方程，所以C不符合题意； 因为整理得，即，所以D不符合题意． 故选：B． 2．已知一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 移项后两边都加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】 解：， ， 则，即， 故选：C． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 3．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 【答案】B 【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴x-4=0或x+2=0， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 4．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（    ） A．1 B．1或 C． D．0.5 【答案】C 【分析】根据方程是一元二次方程，可得，将代入方程，求出a的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴，， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程二次项系数不为0，使等式成立的未知数的值是方程的解，是解题的关键． 5．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【答案】D 【详解】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法. ④ 2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法. 所以选D. 6．如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出的范围即可． 【详解】解：二次三项式能在实数范围内分解因式， ， 解得：， 故选：A． 7．下列一元二次方程的解法中，正确的是（　　） A．（x﹣3）（x﹣5）＝10×2，∴x﹣3＝10，x﹣5＝2，∴＝13，＝7 B．，∴（5x﹣2）（5x﹣3）＝0，∴， C．，∴＝2，＝﹣2 D．两边同除以x，得x＝1 【答案】B 【分析】根据解一元二次方程-因式分解法，配方法，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、（x-3）（x-5）=10×2，整理得：，即 ，得：，故此项错误； B、，变形得：，得：，，故此项正确； C、，变形得：，即：，得：， 故此项错误； D、变形：，则，得：，，故此项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程有实数根的条件可得且，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意， 可得且， 解得且． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式等知识，熟练掌握一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式是解题关键． 9．《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意得，， 故选：B． 10．若等腰三角形三边的长分别是，，3，且，是关于的一元二次方程的两个根，则满足上述条件的的值有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【答案】B 【分析】对等腰三角形的腰进行分类讨论，然后根据一元二次方程的判别式或一元二次方程的解求出m的值，再通过解一元二次方程求出等腰三角形的边，并验证即可． 【详解】解：①当a，b是等腰三角形的两条腰，则a=b． ∵a，b是关于x的一元二次方程的两个根， ∴． ∴m=4． ∴． ∴． ∴a=2，b=2． 此时2，2，3能够构成等腰三角形． 故m=4符合题意． ②当3是等腰三角形的一条腰时，则等腰三角形的另一条腰的长度是3． ∵a，b是关于x的一元二次方程的两个根， 把x=3代入得． ∴m=3． ∴． ∴，． 此时1，3，3能够构成等腰三角形． ∴m的值为4或3，共2个值． 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，一元二次方程的判别式，一元二次方程的解，解一元二次方程，正确进行分类讨论思想是解题关键． 二、填空题 11．关于x的方程是一元二次方程，则a＝ ． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴a²+1＝2且a+1≠0， ∴a＝±1且a≠﹣1， ∴a＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 12．一元二次方程的根的判别式的值是 ． 【答案】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，此题得解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式并根据其符号确定一元二次方程的根的情况是解题的关键． 13．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根据题目中所说的方法进行分解因式即可，解题关键是熟练掌握求方程的根再分解因式的方法． 【详解】解：令， 解得：，， ∴， 故答案为：． 14．如果的值与的值相等，则 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元一次方程，等式的性质等知识，根据题意得到方程，求出方程的解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 分解因式得：， ∴，， 解方程得：，． 故答案为：或1． 15．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ． 【答案】﹣2 【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值． 【详解】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3； 可得q＝1×（﹣3）＝﹣3， 小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2， 解得p＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于．”是解题的关键． 16．某校举行篮球单循环赛，即两队之间互相比赛，共进行了场比赛．设有个队参加这个比赛，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．根据“比赛场数”，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 17．已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可． 【详解】实数是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故答案为： 18．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且仅有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程的参数同时满足和，且该方程与互为“同伴方程”，则 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及新定义，解题的关键是由和，可得关于x的方程两个实数根为，，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或． 【详解】解：∵同时满足和， ∴关于x的方程两个实数根为，， ∵， ∴或， ∴的根为或， ∵与互为“同伴方程”， ∴或， 故答案为：1或2． 三、解答题 19．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5) (6)， 【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解． 【详解】（1）解： 直接开平方可得：， 或 ∴原方程的解为：，； （2）解： 因式分解得：， ∴原方程的解为：，； （3）解：， 平方差因式分解得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （4）， 提取公因式可得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （5）解：∵方程， ， ∴原方程的解为：； （6）， ， 因式分解得：， ∴原方程的解为：， 【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择． 20．以下是小滨在解方程时的解答过程． 解原方程可化为， 解得原方程的解是． 小滨的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 【答案】有，正确的过程见解析 【分析】有错误，忽略了的情况，根据解一元二次方程的方法写出正确的解答过程即可． 【详解】解：小滨的解答有错误，忽略了的情况， 正确的解答为： 方程可化为：， 移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 21．解关于x的方程 【答案】当时，无解；当时，， 【分析】原方程可整理为，即可分类讨论：①当时，原方程不成立，即此时无解；②当时，利用直接开平方法解方程即可． 【详解】解：， ． 分类讨论：①当时，则， ∵， ∴， 则不成立，即此时无解； ②当时，则， ∴，． 综上可知：当时，无解；当时，，． 【点睛】本题主要考查平方的非负性，解一元二次方程，分母有理化．利用分类讨论的思想是解题关键． 22．已知：关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根． （2）m为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数． 【答案】（1）见解析；（2）m=2或m=3 【分析】（1）根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可； （2）利用公式法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值． 【详解】解：（1）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）∵△=（-2m）2-4（m+1）（m-1）=4＞0，m-1≠0， ∴x=， ∴，， ∵方程的两个实数根都为正整数，且m＞1， ∴是正整数， ∴m=2或m=3． 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 23．某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏民族舞表演．表演前，主办方工作人员准备利用米长的墙为一边，用米隔栏绳为另三边，设立一个面积为平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？ 【答案】长方形的长为10米，宽为6米． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这个长方形的长为米，则宽为，然后根据长方形的面积是60平方米列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：设这个长方形的长为x米，则宽为， 由题意得： 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为11米， ∴长方形的长不能超过11米， ∴， ∴， ∴长方形的长为10米，宽为6米． 答：长方形的长为10米，宽为6米． 24．在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    【答案】2秒 【分析】设经过x秒钟后，的面积为，则，据此利用三角形面积公式建立方程求解即可. 【详解】解：设经过x秒钟后，的面积为， 由题意得，， ∴， ∴． ∵，即， ∴舍去，即． 答：经过2秒，的面积为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 25．今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． (1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． (2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意正确的列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均增长率为，由题意列出一元二次方程求解即可； （2）设降价元，由题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为，由题意得： ， 解得：或（舍）； ∴四、五这两个月的月平均增长百分率为； （2）解：设降价元，由题意得： ， 整理得：， 解得：或（舍）； ∴当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 26．数学家对一元二次方程经过漫长的探索．我国数学家赵爽在他的著作《勾股圆方图注》对给出两根和、积的关系．请你跟随他的脚步开始你的探索之旅． (1)用表示一元二次方程的两个实根，填写表格． 一元二次方程 0 ① ② ③ (2)数学家韦达对规律进行归纳；对于，若，则 ； ．（用含的代数式表示）． (3)设是方程的两个实根，利用上述结论求的值． (4)类比探索，若一元三次方程可以转化为，则 ； （用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②；③ (2)， (3) (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法和公式法分别求出方程的解，由此即可得； （2）利用公式法求出方程的解，由此即可得； （3）先根据（2）的结论可得，，再根据，代入计算即可得； （4）先化简方程，再比较各项的系数即可得． 【详解】（1）解：， ， ， 则， ， ， 即， 则，， 故答案为：①；②；③． （2）解：， ， 即， 则，， 故答案为：，． （3）解：是方程的两个实根， ，， 则 ． （4）解： ， 则，， 所以，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． 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