第15讲 一元二次方程 单元综合检测（难点）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第15讲 一元二次方程 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定 2．若一元二次方程式的两根为，其中、为两数，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．下面结论错误的是（ ） A．方程，则， B．方程有实根，则 C．方程可配方得 D．方程两根， 4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 5．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有个队参加比赛，则满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 6．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（    ） A．6 B． C． D． 7．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【 】 A．0 B．1 C．﹣1 D．i 8．请你判断，的实根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（    ） A． B． C．2012 D．2011 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个； ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是： ，此方程的二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： ． 12．在实数范围内因式分解： ． 13．比此方程的两根均大3的为根的方程是 ． 14．已知，则 ． 15．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是 ． 16．方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是 ． 17．已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）． 理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0， 因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解． 解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 ． 三、解答题 19．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 20．解方程： (1)； (2)； (3)． 21．（1）；         （2）． （3）；         （4）． （5）已知实数a满足，求的值． （6）． （7）；         （8）； （9）；     （10）． 22． 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 23．阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 24．下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 25．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 26．我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积． (2)一个三角形的三边长分别为，，，，，且，求，的值． 27．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：___________； (2)若，则的最小值为___________； (3)已知，求的值． 28．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______． (2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为的4倍，且，求的值． (3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中为9个数中的最大数，且满足求P及的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 一元二次方程 单元综合检测（难点） 一、单选题 1．若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定 【答案】B 【分析】由a﹣b+c＝0特点可知把x换成1成立，则可求得答案． 【解析】解：∵a﹣b+c＝0， ∴a×12﹣b×1+c＝0， ∴方程ax2﹣bx+c＝0必有一根为1． 故选：B． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的定义，熟知方程根的含义，观察出a、b、c的特点是解题的关键． 2．若一元二次方程式的两根为，其中、为两数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用直接开平方法解一元二次方程，得出其两根为，再根据题意：一元二次方程式的两根为，得出，解出后再把，的值代入代数式，计算即可得出答案． 【解析】解： 两边同时除以，可得：， 两边直接开平方，可得：， 移项，可得：， 即， ∵一元二次方程式的两根为， ∴， 解得：， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程、求代数式的值，解本题的关键在正确求出和的值． 3．下面结论错误的是（ ） A．方程，则， B．方程有实根，则 C．方程可配方得 D．方程两根， 【答案】A 【分析】A、根据根与系数的关系和根的判别式即可得到结论；B、由根的判别式即可得到结论；C、把原方程配方后可得结果；D、解方程即可得到结论； 【解析】解：A、方程x2+4x+5=0，∵△=42-4×5＜0，则方程无实数根，此选项错误； B、∵方程2x2-3x+m=0有实根，∴△=9-8m≥0，∴m≤，此选项正确； C、方程x2-8x+1=0可配方得（x-4）2=15，此选项正确； D、解方程x2+x-1=0得x1=，x2=，此选项正确； 故选A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，配方法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．小明和小华解同一个一元二次方程时，小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，而小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，那么原方程为（　　） A．x2﹣3x+6=0 B．x2﹣3x﹣6=0 C．x2+3x﹣6=0 D．x2+3x+6=0 【答案】B 【解析】试题分析：小明看错一次项系数，解得两根为2，﹣3，两根之积正确；小华看错常数项，解错两根为﹣2，5，两根之和正确，故设这个一元二次方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=，可得：α•β=﹣6，α+β=3，那么以α、β为两根的一元二次方程就是x2﹣3x﹣6=0， 故选B． 5．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有个队参加比赛，则满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设共有个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，可列出方程． 【解析】解：设有个队参赛，则 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意，找准等量关系，列出方程． 6．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小聪按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论． 【解析】x2+6x+m=0， x2+6x=-m， ∵阴影部分的面积为36， ∴x2+6x=36， 4x=6， x=， 同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 7．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【 】 A．0 B．1 C．﹣1 D．i 【答案】D 【解析】由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1， 可发现4次一循环，一个循环内的和为0， ∵2013÷4=503…1，∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i． 故选D． 8．请你判断，的实根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用绝对值的几何意义，假设x＞0或x＜0，分别分析得出即可． 【解析】解：当x＞0时，， 解得：x1＝1；x2＝2； 当x＜0时，， 解得：x1＝（不合题意舍去），x2＝， ∴方程的实数解的个数有3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，理解绝对值的意义是关键． 9．若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（    ） A． B． C．2012 D．2011 【答案】A 【分析】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值． 【解析】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解， 方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0， 则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012， 又x1x2=（cd）2012-2012， 则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012． 故选：A． 【点睛】此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=． 10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（ ）个； ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程； ④若方程是倍根方程，则必有． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合；③当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；④用求根公式求出两个根，当，或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【解析】解：①解方程 （x-2）（x+1）=0， ∴x-2=0或x+1=0， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故②正确； ③∵pq=2，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故③正确； ④方程的根为：，， 若，则， 即， ， ， ， ， ． 若时，则，， 则， ， ， ， ， ． 故④正确， 正确的有：②③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 二、填空题 11．方程（m﹣1）x|m|+1﹣4x+3=0是一元二次方程，则m满足的条件是： ，此方程的二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： ． 【答案】 m=﹣1 ﹣2 ﹣4 3 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解析】解：根据题意得，|m|+1=2且m﹣1≠0， 解得m=1或﹣1且m≠1， 所以，m=﹣1， m﹣1=﹣1﹣1=﹣2， 所以，此方程为， 所以，此方程的二次项系数为﹣2，一次项系数为﹣4，常数项为3． 故答案为：m=﹣1；﹣2，﹣4，3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 12．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】令，则式子可化为，令，求解即可． 【解析】解：令，则式子可化为， 令， ，， 即， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 13．比此方程的两根均大3的为根的方程是 ． 【答案】． 【分析】设方程x2-5x-2=0的两根分别为t1，t2，表示出以t1+3，t2+3为根的方程，化简即可． 【解析】设方程的两根分别为，， 则，为根的方程是， 整理得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，弄清题意是解本题的关键． 14．已知，则 ． 【答案】2 【分析】设，可得，再解方程并结合非负数的性质即可求解． 【解析】解：设， 则， 整理得，， 配方得，， 即， 开平方得，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：2． 15．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如下图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为．则道路的宽是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键． 设通道的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【解析】解：设通道的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 故答案为：6． 16．方程x4﹣2x2﹣400x=9999的解是 ． 【答案】﹣9或11 【分析】可将9999进行适当的变形，以配合前面的式子组成已知的公式． x4-2x2-400x=9999 x4+2x2-4x2-400x=10000-1 x4+2x2+1=4x2+400x+100 即（x2+1）2=（2x+100）2，解方程即可求解． 【解析】解：由题意可得： x4﹣2x2﹣400x=9999 （x2+1）2=（2x+100）2 ①当x2+1=2x+100时，经化简可得（x﹣1）2=100 解得x=﹣9或x=11． ②当x2+1=﹣2x﹣100时，经化简可得（x+1）2=﹣100，此方程无解， 因此x的值应该是﹣9或11． 故答案是：﹣9或11． 【点睛】本题中正确的将9999进行拆分以配合前面的式子组成熟悉的公式是解题的关键． 17．已知两个关于的一元二次方程，有一个公共解2，且，，，．下列结论：①有唯一对应的值；②；③是一元二次方程的一个解．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】将x=2代入方程，然后两式相减进行计算，从而判断①；设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n，利用一元二次方程根与系数的关系求得m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d，然后代入计算并利用完全平方式的非负性判断②；将方程变形为（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0，然后x=代入方程进行验证，从而判断③． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0，x2+cx+d=0有一个公共解2， ∴22+2a+b=0①，22+2c+d=0②， ②-①，得：2（c-a）+d-b=0， 2（c-a）=b-d， ∴，故①正确； 设一元二次方程x2+ax+b=0的另一个根为m，x2+cx+d=0的另一个根为n， ∴m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴a2-4b=[-（m+2）]2-4×2m=（m-2）2≥0， c2-4d=[-（n+2）]2-4×2n=（n-2）2≥0， ∴a2-4b+c2-4d≥0， ∴a2+c2≥4b+4d， ∴≥b+d，故②错误； ∵m+2=-a，2m=b，n+2=-c，2n=d， ∴一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0可变形为：（2m+2n）x2+（-m-2-n-2）x+2=0， 当x=时，左边=（2m+2n）×（）2+（-m-2-n-2）×+2=0=右边， ∴x=是一元二次方程（b+d）x2+（a+c）x+2=0的一个解，故③正确， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）． 理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0， 因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解． 解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为 ． 【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣． 【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，据此得到两个关于x的方程求解可得． 【解析】解：∵x3﹣5x+2＝0， ∴x3﹣4x﹣x+2＝0， ∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0， ∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0， 解得x＝2或x＝﹣1， 故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法． 三、解答题 19．用适当的方法解下列一元二次方程． (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)（因式分解）； (4)（适当方法）； (5)（适当方法）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 方程利用配方法求解即可； 方程利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可； 方程整理后，利用公式法求解即可； 方程利用因式分解法求解即可． 【解析】（1）解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：，，， ， ， 解得：，； （3）解：方程整理得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，； （4）解：方程整理得：， ，，， ， ， 解得：，； （5）解：方程分解得：， 所以或， 解得：，． 20．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）将方程进行整理，再利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】（1）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． 21．（1）；         （2）． （3）；         （4）． （5）已知实数a满足，求的值． （6）． （7）；         （8）； （9）；     （10）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），；（5）；（6），；（7），；（8），；（9），；（10）； 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． （1）方程左边提公因式因式分解，再求出方程的解即可； （2）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （3）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （4）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （5）原等式变形为，再求解即可； （6）移项后，方程左边提公因式因式分解，再求出方程的解即可； （7）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （8）方程左边用十字相乘法因式分解，再求出方程的解即可； （9）先移项，再运用平方差公式因式分解，再求出方程的解即可； （10）先运用完全平方公式因式分解，再求出方程的解即可． 【解析】解：（1）， ， 或， 解得：，； （2）， ， ， ， ， 解得：，； （3） 移项得： 配方，得， ， 开方得：， 解得：，； （4）， ， ， ， ， 解得：，； （5）已知实数a满足，求的值． ， ， 或（舍去）， ； （6） ， ， ， 或， 解得：，； （7） 配方，得， ， 开方得：， 解得：，； （8） 或， 解得：，； （9） 或， 解得：，； （10） 解得：； 22． 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键． （1）由根的判别式即可得出答案； （2）由题意得出方程的一个根为，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案． 【解析】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意可知：， 只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形； 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形； 综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，． 23．阅读下列材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为，解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； 利用以上学习到的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程，利用换元降次求解一元高次方程． （1）设，则原方程化为，进而求解； （2）设，则原方程化为，进而求解； （3）设，则原方程化为，进而求解； 【解析】（1）解：设，则原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为，； （2）设，则原方程化为， 解得， 当时，，，，； 所以原方程的解为，； （3）. 设，则原方程化为， 解得， 当时，，， 解得：，； 当时，， 解得，； 所以原方程的解为，，0， 24．下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程求解即可； （2）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程解，结合图形进行分析即可． 【解析】（1）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， ∴最小的数为6． （2）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， 由图可知，当最小的数为3时，不能圈出4个数， ∴最小数与最大数的乘积不能为33． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解． 25．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【解析】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据题意列出等量关系式，解题的重点在于是否能了解小明的前30分钟内的最后5分钟是属于B地到C地时间． 26．我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦-秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么． (1)在中，，，，请用上面的公式计算的面积． (2)一个三角形的三边长分别为，，，，，且，求，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的应用，解一元二次方程； （1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可； （2）根据得以得到，再根据面积可以得到，代入计算即可． 【解析】（1）解：在中，，，， ∴， ∴的面积为， （2）解：∵， ∴，即①， 又∵ ∴， 即， ∴②． ∴联立①②解得：(∵，不合题意的舍去) 27．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值 解：． ∵，， ∴当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：___________； (2)若，则的最小值为___________； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）类比例题求的最小值即可； （3）根据配方法把等式配成的形式，根据，具有非负性，，即可求出答案． 本题主要考查配方法的运用、公式法分解因式，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键． 【解析】（1）解：依题意，， （2）解： ， ， 的最小值为； （3）解：， ， ， 又，，， ，，， ，， 28．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______． (2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为的4倍，且，求的值． (3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中为9个数中的最大数，且满足求P及的值． 【答案】(1) (2)15 (3)， 【分析】（1）由题意可知，，解方程即可． （2）由题意新三阶幻方是由图1生成的，可得中心数，幻和为：，进而可得，解方程即可． （3）由数中最大的数，可得， ，，，根据，可得，由， 得，可得②由，得，进而得，则带入②得，求得，进而可求得， ，可得， ． 【解析】（1）由题意可知，，解得， 故答案为：4； （2）解：由题意得：中心数，幻和为：， 又∵新三阶幻方的幻和为的4倍， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， 即， ∴ ， ∴ （3）∵数中最大的数， ∴， ，， ∴， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴ 又∵① ∴② 又∵， ∴即 ∴， ∴带入②得 ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$