第12讲 相似三角形 单元综合检测（重点）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（沪教版）

第12讲 相似三角形 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解析】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个有角的直角三角形 C．两个正六边形 D．两个正方形 【答案】A 【分析】题主要考查相似形．根据相似形的定义对各个选项进行分析，从而得到答案． 【解析】解：A. 两个菱形得各边成比例，但角不一定相等，不一定相似，符合题意； B. 根据有两个角分别相等的两个三角形是相似三角形可知两个有角的直角三角形是相似性，不符合题意； C. 两个正六边形的各边成比例，各角相等，是相似形，不符合题意； D. 两个正方形的各边成比例，各角相等，是相似形，不符合题意； 故选A． 3．在中，点D、E分别在边上，以下能推出的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定；画出图形，根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可． 【解析】解：画出图形如下： A、由不能得出相似，故不能判定； B、由不能得出相似，故不能判定； C、∵，则有，∴，则， ∴，从而； D、由不能得出相似，故不能判定； 故选：C． 4．下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 【答案】B 【分析】本题考查了平面向量、平行向量、单位向量，根据平面向量的性质逐一判断即可得出答案，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【解析】解：A、，计算正确，原说法正确，故本选项不符合题意； B、如果向量与均为单位向量，那么它们的模相等，即，原说法错误，故本选项符合题意； C、如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； D、对于非零向量，如果，那么，原说法正确，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于H，交于M，如图，先利用三角形面积公式计算出，设正方形的边长为x，则，再证明，则根据相似三角形的性质得方程，然后解关于x的方程即可． 【解析】解：如图，过点A作于H，交于M， ∵的面积是32，， ∴， ∴， 设正方形的边长为x，则， ∵， ∴， ∴ ， ，解得∶， 即这个正方形的边长是4． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 6．如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解析】， ， ， ， ， ， ， D选项的结论符合题意 ，， 则， ， ， 与不一定相等， 故C选项的结论不符合题意， 已知条件不能证明，，故A、B选项不符合题意， 故选：D． 二、填空题 7．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，先由条件可得，再整体代入计算即可； 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； 8．在比例尺为 的地图上，量得线段 两地距离是 ，则两地实际距离为 ． 【答案】240 【分析】本题考查比例线段，比例尺的定义，设实际距离为，根据比例尺的定义列出方程，然后求解即可得出答案． 【解析】解：设实际距离为， 由题意得：， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故答案为：240． 9．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应边上的中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据“两个相似三角形的相似比等于它们的周长比，也等于它们的中线比，”进行求解即可． 【解析】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴它们的对应边上的中线之比为， 故答案为：． 10．已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，即可得的长． 【解析】解：根据题意得：， ， ， 故答案为：． 11．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的对应边成比例是解题的关键．由题意可得出，，再根据相似三角形的性质得出比例式求出的长即可． 【解析】解：∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．熟练掌握有两组角分别对应相等的三角形相似是解题的关键． 【解析】解：添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 添加， ∵, ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 13．如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 【答案】9 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例性质是解本题的关键．由平行得比例，求出的长即可． 【解析】解：∵， ， ， ， 解得：， ∴， 故答案为：9． 14．如图，点F是的重心，连接并延长交于点E，过点E作交于D．那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的重心．熟练掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点，相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 根据三角形重心的性质得到，根据平行线性质得到，根据相似三角形性质得到． 【解析】解：∵点F是的重心， ∴点E为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 15．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为边上一点，且，设=，．作中垂线交于F，则 【答案】 【分析】本题主要考查了平面向量的三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据三角形法则以及平行四边形法则进行计算即可． 【解析】解：四边形是平行四边形，对角线相交于点，点是线段的中点， ， ， ， ∵， ∴ ， 故答案为： 16．如图，在梯形中，，，对角线、交于点O，是梯形的中位线，与、分别交于点G、H，如果的面积为1，那么梯形的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形，梯形中位线定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据梯形中位线定理可得，，根据，设，则， ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得和的面积，进而可得结论． 【解析】解：，是梯形的中位线， ，， ， 设，则， ， ，且E，F为，的中点， ，， ， ， ， ， 的面积为1， ， 同理，， ， ， ， ， ， ， ∴梯形的面积为： 故答案为：16． 17．新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时， ． 【答案】或 【分析】本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的性质和判定等知识，解得时注意进行分类讨论． 分别讨论当或时，设，分别向y轴作垂线，构造相似三角形，表示点A和点B坐标，再根据反比例函数图象上点的特性构造方程，求k即可． 【解析】解：如图，当时， 分别过A，B作轴于点D，于点E， 设， ∴， ， ∴， ∴， 由题意，， ∴， ∵A点横坐标为－1，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， （负舍），则， ∴ 如图，当时， 分别过A，B作轴于点D，于点F， 设， 由题意，， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵A点横坐标为－1，点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴ 故答案为：或． 18．如图，中，，，，点在边上，将沿着直线翻折得，交直线于点，连接，若是等腰三角形，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查直角三角形中的折叠，解题的关键是掌握折叠的性质，运用相似三角形对应边成比例解决问题．过作于，分两种情况：当在线段上，根据，，，得，由沿着直线翻折得，得，，即得，可证，即可得，从而，当在线段延长线上时，同理可得． 【解析】解：过作于， 当在线段上，如图 ，，， ， 沿着直线翻折得， ， 是等腰三角形，即， ， ， ，， ， ，即， ， ； 当在线段延长线上时，如图 同理可得， ， 故答案为：或． 三、解答题 19．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【解析】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 20．如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可； （2）根据平行线分线段成比例定理列式计算即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【解析】（1）解：∵， ∴.   将，，代入，得. 解得 ． （2）解：∵， ∴. ∵， ∴.    将，代入，得. 解得. 21．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可解答； （2）根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【解析】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． （2）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：， 22．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 23．已知：如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）先由，得到，再根据性质可得，由和等角的补角相等，得出，即可求证； （）由，得，，，则有，从而证明，可得，故可证明； 此题考查了相似三角形的性质与判定． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C． （1）设BC与AO相交于点D， ①若BA＝BO，求证：CD＝CO； ②求：点A到直线l的距离； （2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①见解析；②4；（2）或或 【分析】（1）①根据BA=BO，得到∠BAO=∠BOA，再根据垂直的定义可得∠BAO+∠ADB=∠BOA+∠COD=90°，从而可以推出∠CDO=∠COD，从而得证； ②分别过点A作AE⊥直线l于E，过点B作BF⊥x轴于F，可证△AOE∽△BOF，得到，再由可设，得到，，从而推出，再在直角三角形AEO中利用勾股定理求解即可； （2）过点A作AE⊥直线l于E，由（1）②得AE=4，OE=4AE=16，设OB=x，则BE=OE-OB=16-x，则，证明△AEB∽△BOC，得到即，则，然后分当△ABC∽△BOC时和当△ABC∽△COB时两种情况讨论求解即可． 【解析】解：（1）①∵BA=BO， ∴∠BAO=∠BOA， ∵AB⊥BC，CO⊥BO， ∴∠ABC=∠BOC=90°， ∴∠BAO+∠ADB=∠BOA+∠COD=90°， ∴∠COD=∠ADB， 又∵∠ADB=∠CDO， ∴∠CDO=∠COD， ∴CD=CO； ②如图所示，分别过点A作AE⊥直线l于E，过点B作BF⊥x轴于F， ∴∠AEO=∠BFO=90°， 又∵∠AOE=∠BOF， ∴△AOE∽△BOF， ∴， ∵B在直线上， ∴可设， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A到直线l的距离为4； （2）如图所示，过点A作AE⊥直线l于E， 由（1）②得AE=4，OE=4AE=16， 设OB=x，则BE=OE-OB=16-x， ∴ ∵AB⊥BC，CO⊥BO，AE⊥BO， ∴∠ABC=∠BOC=∠AEB=90°， ∴∠ABE+∠EAB=∠ABE+∠CBO=90°， ∴△AEB∽△BOC， ∴即， ∴， ∴ ∵∠ABC=∠BOC=90°， ∴以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似有两种情况： 当△ABC∽△BOC时， ∴即， 解得， ∴此时； 当△ABC∽△COB时， ∴即， 解得， ∴此时或， 综上所述，当或或，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，一次函数上点的坐标特征，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定． 25．已知中，，，点为射线上的一个动点（不与重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图，当点在线段上时，与交于点，求证：； (2)在（1）的情况下，射线与的延长线交于点，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【分析】(1)先证得到，结合证明即可． (2)根据，先证得到，结合，证得到，求得，根据计算即可． (3)过点F作于点M，结合，设，根据勾股定理计算即可． 【解析】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）∵， ∴，，， ∴， ∴， 解得； 由(1)得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）如图，过点F作于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 25 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 相似三角形 单元综合检测（重点） 一、单选题 1．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 2．下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个有角的直角三角形 C．两个正六边形 D．两个正方形 3．在中，点D、E分别在边上，以下能推出的条件是（    ） A． B． C． D． 4．下列判断不正确的是（     ） A．； B．如果向量与均为单位向量，那么或； C．如果，那么； D．对于非零向量，如果，那么． 5．如图，已知正方形的顶点D、E在的边上，点G、F分别在边上，如果，的面积是32，那么这个正方形的边长是（    ） A．4 B．8 C． D． 6．如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如果，那么 ． 8．在比例尺为 的地图上，量得线段 两地距离是 ，则两地实际距离为 ． 9．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应边上的中线之比为 ． 10．已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则 ． 11．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为 ． 12．如图，已知，请添加一个条件 ，使得．    13．如图，已知，它们依次交直线、于点A、B、C和点D、E、F，如果，，那么线段的长是 ． 14．如图，点F是的重心，连接并延长交于点E，过点E作交于D．那么的值为 ． 15．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点．为边上一点，且，设=，．作中垂线交于F，则 16．如图，在梯形中，，，对角线、交于点O，是梯形的中位线，与、分别交于点G、H，如果的面积为1，那么梯形的面积为 ． 17．新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时， ． 18．如图，中，，，，点在边上，将沿着直线翻折得，交直线于点，连接，若是等腰三角形，则的长是 ． 三、解答题 19．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 20．如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 21．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E． (1)求的长； (2)连结交于点F，设，，用、的线性组合表示向量_____，____． 22．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 23．已知：如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 24．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B在直线l：y＝x上且位于第三象限，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于第二象限内的点C． （1）设BC与AO相交于点D， ①若BA＝BO，求证：CD＝CO； ②求：点A到直线l的距离； （2）是否存在点B，使得以A、B、C为顶点的三角形与以点B、C、O为顶点的三角形相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由． 25．已知中，，，点为射线上的一个动点（不与重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图，当点在线段上时，与交于点，求证：； (2)在（1）的情况下，射线与的延长线交于点，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$