第二十二章 二次函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第22章 二次函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点在（　　） A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第四象限 3．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 4．将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 5．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 6．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 7．若正方形的边长为，边长增加，面积增加，则关于的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 8．已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，将函数（x小于或等于2m，m为常数）的图象记为G．当图象G与x轴有两个交点时，设左侧交点的横坐标为a，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．抛物线的顶点坐标是 ． 12．函数的图象如图所示，那么 0．（填“”，“”，或“”） 13．已知点都在二次函数的图像上，那么的大小关系是： ．（填“”、“”或“”） 14．用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为 ，此时窗框的面积为 ． 15．若实数x，y满足关系式，则的最大值为 ． 16．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 18．（8分）二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位． （1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式； （2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？ （3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果） 19．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值． 20．（8分）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为的水管，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度与距离水池中心O的水平距离之间的关系式，并求水流最大竖直高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至，则水管的高度增加多少米？ 21．（8分）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 22．（10分）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，吴兴区某中学在校园内建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． 问题解决 任务1 确定函数关系 求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式． 任务2 设计种植方案 设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值． 任务3 预计下降率 学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为2892元？ 23．（10分）已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 24．（12分）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长． (1)求抛物线的雅礼弦长； (2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围； (3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值． 25．（14分）如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 二次函数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的识别，根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，是二次函数，故A不符合题意； B、，不是二次函数，故B不符合题意； C、，是一次函数，故C不符合题意； D、，是二次函数，故D符合题意； 故选：D． 2．抛物线的顶点在（　　） A．轴上 B．轴上 C．第一象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，轴上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．因为可看作二次函数的顶点式，根据顶点式的坐标特点，得出顶点坐标为，即可知顶点在轴上． 【详解】解：二次函数是顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知， 顶点坐标为，即顶点在轴上， 故选：． 3．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． 将交点代入二次函数解析式，可得，将该式略作变形即可得出答案． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故选：． 4．将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，则原函数的解析式是， 故选：A． 5．如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．一元二次方程的两个根分别是1和3 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，利用对称性，增减性和二次函数与一元二次方程的关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线交轴于，， ∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确； 一元二次方程的两个根分别是1和3，故C选项正确； 由图象可知：当时，随的增大而减小，故B选项正确； 当时，或，故D选项错误； 故选D． 6．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 7．若正方形的边长为，边长增加，面积增加，则关于的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示出原边长为6的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y可列出方程． 【详解】原边长为6的正方形面积为：6×6=36， 边长增加x后边长变为：x+6， 则面积为：（x+6）2， ∴y=（x+6）2-36=x2+12x． 故选D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 8．已知二次函数，已知函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线，则的根的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质等等，先根据二次函数的对称性求出二次函数与x轴相交于，再由二次函数的性质得到当时，，最后根据的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴相交于，且函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与x轴另一个交点为， ∵， ∴函数开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当时， ∵的根可以看做是二次函数与直线的交点的横坐标， ∴， 故选：D． 9．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面宽增加时，则水面应下降的高度是（   ）　　    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键． 以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为与轴交于，水面下降后宽度为与轴交于，由，抛物线的对称轴为轴，可求点利用待定系数法可求抛物线解析式为，设水面下降，可求，，由点在抛物线上，代入解析式解方程即可． 【详解】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系，水面宽为，与轴交于，水面下降后宽度为，与轴交于，    ∵，抛物线的对称轴为轴， ∴点， 设抛物线为． ∵抛物线过点， ， ， ∴抛物线解析式为， 设水面下降， ， ， ∵点在抛物线上， ， 解得：． 故选：B． 10．在平面直角坐标系中，将函数（x小于或等于2m，m为常数）的图象记为G．当图象G与x轴有两个交点时，设左侧交点的横坐标为a，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，先根据图象G与x轴有两个交点可求得，再求出当抛物线顶点在x轴上时的m值，利用图象法判断即可． 【详解】解：设图象G的最低点为， 当时，如图， ∵， ∴图形G是抛物线在直线的左侧部分（包括点D）， 此时，图象G于x轴有两个交点，最低点为， 当时，函数为， 此时函数图象与x轴只有一个交点，显然不符合题意， 当时，如图， 图象G是抛物线在直线的左侧部分（包括点D）， 此时图形G与x轴的交点只有一个，不符合题意， ∴当图象与轴有两个交点时，， 当抛物线顶点在x轴上时，， 解得：或（舍去）， ∵， ∴当，即时，， ∴原抛物线过定点， 如下图所示， ∴观察图形可知，当图形G与x轴有两个交点时，， 故选：B． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．必须牢记二次函数的三种形式：一般式：；顶点式：；③两根式：． 利用配方法将抛物线的解析式转化为顶点式解析式，然后求其顶点坐标． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12．函数的图象如图所示，那么 0．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据开口方向和与y轴交点的位置可得a、c的符号，进而可得答案． 【详解】解：∵函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故答案为：； 13．已知点都在二次函数的图像上，那么的大小关系是： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质：掌握二次函数的增减性成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵点都在二次函数的图像上， ∴二次函数图像的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 14．用72米木料制作成一个如图所示的“目”形长方形大窗框（横档，也用木料）．其中，要使窗框的面积最大，则的长为 ，此时窗框的面积为 ． 【答案】 9米/ 162平方米/ 【分析】本题考查二次函数的实际应用，设的长为米，则的长为米，利用面积公式列出二次函数解析式，求最值即可． 【详解】解：设的长为米，则的长为米 则窗框的面积 ∵ ∴ ∴当时，窗框的面积最大，最大面积为； 故答案为：9米，162平方米． 15．若实数x，y满足关系式，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数与不等式之间的关系，先求出，再根据偶次方的非负性得到，进而求出，再由可得当时，有最大值，最大值为． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得， ∴ ， ∴当时，的值随x增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：8． 16．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，转化线段是解题的关键．过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，先用待定系数法求二次函数的解析式，再证明，然后将转化为，当D，P，F三点共线时，取最小值，再求出的长，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H， 由题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 令，则， ， 令，则， 解得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当D，P，F三点共线时，取最小值， ，， ， ， ， ， 而在中，， ， 即取最小值为， 的最小值为． 故答案为：4． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）已知二次函数，当时，，时，． (1)求a，c的值． (2)当时，求函数y的值． 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值； （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入解析式，求出函数y的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，解得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴， ∴当时，． 18．（8分）二次函数y＝x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移4个单位． （1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式； （2）请求出经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0？ （3）若A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，请比较y1、y2的大小关系．（直接写结果） 【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0；（3）y1＞y2 【分析】（1）根据函数平移的特点：左加右减、上加下减，可以写出平移后的函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式可以求得经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小于0； （3）根据平移后函数的图象可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，从而可以写出y1、y2的大小关系． 【详解】解：（1）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4； （2）平移后的函数图象如图所示， 当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，得x1＝﹣1，x2＝3， 即经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于0； （3）由图象可得， A（x1，y1），B（x2，y2）是经过两次平移后所得的函数图象上的两点，且x1＜x2＜0，则y1＞y2． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，属于基础题型，记住平移的口诀“左加右减、上加下减”. 19．（8分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意将点的坐标代入解析式即可求得该抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称性，两点关于对称轴对称，连接交于点，则的周长的最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（1，0）两点， ， 解得， ． （2）连接，交于点，连接，,如图， 两点关于对称轴对称， 的周长为 的周长最小值为 由，令，解得， 即 在中 即的周长最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．（8分）如图1，某公园一个圆形喷水池，在喷水池中心O处竖直安装一根高度为的水管，A处是喷头，喷出水流沿形状相同的曲线向各个方向落下，喷出水流的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，测得喷出水流距离喷水池中心O的最远水平距离为，水流竖直高度的最高处位置C距离喷水池中心O的水平距离为． (1)求喷出水流的竖直高度与距离水池中心O的水平距离之间的关系式，并求水流最大竖直高度的长； (2)安装师傅调试时发现，喷头竖直上下移动时，抛物线形水流随之竖直上下移动（假设抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变），若要使水流离喷水池中心O的最远水平距离增大至，则水管的高度增加多少米？ 【答案】(1)，水流最大竖直高度的长为m (2)水管的高度增加米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，设抛物线的解析式为，由A点坐标为，B点坐标为，进而求得a，k后得解，再令，从而求出水流喷出的最大高度； （2）依据题意，设抛物线为，结合此时B为，求出m，从而得抛物线解析式，再令，即可得解． 【详解】（1）由题意，A点坐标为，B点坐标为． 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点A，点B， ∴， ∴． ∴． ∴时，． ∴水流最大竖直高度的长为． （2）由题意，∵抛物线水流移动时，保持对称轴及形状不变， ∴可设抛物线为． 又此时B为， ∴． ∴． ∴抛物线为， 令， ∴， ， ∴水管的高度增加米． 21．（8分）平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A． (1)求点A的坐标及抛物线的对称轴； (2)已知点、，若线段与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1)，抛物线得对称轴为 (2)或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论及数形结合的方法求解． （1）令可求点坐标，将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴． （2）由点为顶点，点在直线上运动，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：令，则， ， ， ∴抛物线的对称轴为． （2）∵抛物线的对称轴为． 设点关于对称轴的对称点为点， ∴． ∵， ∴点都在直线上． 当时，如图， 当点在点的左侧(包括点)或点在点的右侧（包括点)时，线段与抛物线只有一个公共点． ∴或． ∴(不合题意，舍去)或． ②当时，如图，当在点与点之间（包括点，不包括点)时，线段与抛物线只有一个公共点． ， ， 又， ， 综上所述，的取值范围为或． 22．（10分）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，吴兴区某中学在校园内建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/． 问题解决 任务1 确定函数关系 求甲种蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系式． 任务2 设计种植方案 设2024年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值． 任务3 预计下降率 学校计划今后每年在这土地上，按“任务二”中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2026年的总种植成本为2892元？ 【答案】任务一：； 任务二：当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小值为4200元； 任务三：当a为20时，2026年的总种植成本为2892元 【分析】本题主要考查题二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识． 任务一：当时，由待定系数法求出一次函数关系式； 任务二：当时，由二次函数的性质得当时，W有最小值，最小值为4200元，此时乙种蔬菜的种植面积为． 任务三：根据2026年的总种植成本为2892元列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：当时， 设甲种蔬菜种植成本y（单位：元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为， 将和 代入得：， 解得：， ∴； 任务二：当时，， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，W有最小值，最小值为4200元， 此时，， ∴当种植甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小值为4200元； 任务三：由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为4200元， 乙种蔬菜的种植成本为（元）， 则甲种蔬菜的种植成本为（元）， 由题意得：， 设， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 答：当a为20时，2026年的总种植成本为2892元． 23．（10分）已知抛物线交轴于，，两点，为抛物线的顶点，，为抛物线上不与，重合的相异两点，记的中点为，直线，的交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，，且，求证：，，三点共线； (3)小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值，请求出此定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查属于二次函数综合题，考查二次函数的交点式，一次函数解析式，两条直线的交点坐标等． （1）根据抛物线与x轴的交点坐标设交点式，与对比，求出a的值即可； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出点D坐标，证明点D满足直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，求出直线，的解析式，联立求出点P的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 即抛物线的函数表达式为； （2）证明：设直线对应的函数表达式为， 为中点， ． 又， ，解得：， 直线对应的函数表达式为， 点在抛物线上， ， 解得：或， ， ，， ，即满足直线对应的函数表达式， 点在直线上，即，，三点共线； （3）解：小明研究发现，无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，的面积恒为定值， 故在（2）的条件下，，，，， 直线对应的函数表达式为，直线对应的函数表达式为， 联立上述两式得：， 解得：， 则点，， 此时的面积． 24．（12分）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长． (1)求抛物线的雅礼弦长； (2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围； (3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值． 【答案】(1)4 (2) (3)，或， 【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解； （2）根据（1）的方法求得，根据的范围，即可求解． （3）根据题意，分别求得，根据，求得出与之间的函数关系式，根据恒成立，可得，根据，为正整数，且，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ，， 雅礼弦长； （2），， ， ，， ， ， 当时，最小值为， 当时，最大值小于， ； （3）由题意，令， ，， 则， 同理， ， ， 要不论为何值，恒成立， 即：恒成立， 由题意得：，， 解得：， ，为正整数，且， 则，或，． 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键． 25．（14分）如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，连接，，抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)M点的坐标为或 【分析】（1）先求出C点坐标，根据题意求出的坐标，再用待定系数法进行求解即可； （2）先求出的解析式，设，，表示出的长度，从而表示从而求出二次函数的最大值即可； （3）分两种情况①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点M；②当M点位于下方时，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，利用全等三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得到， ， ， ， ， ，， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）设直线得解析式为， ，， ，解得：， 直线得解析式为， 设， 轴， ， ，， 为直线下方， ， ， ， 当时，的值最大，最大为， 则； （3）①当M点位于上方时，在上取一点D，使得，连接并延长交抛物线与点M， ， ， 此时使得， ， 设直线得解析式为， ，解得：， 直线得解析式为， 联立，解得：或， ； ①当M点位于下方时，如图，作轴，作于点F，与抛物线的交点为E，连接， ， 当时，， 解得：或， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 则E即为M点， ， 综上所述，使得，M点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，坐标与图形，二次函数的图形与性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，两点间距离公式等知识，分情况求解是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$