第59讲 离散型随机变量分布列的性质-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第59讲 离散型随机变量分布列及数字特征 第59讲 离散型随机变量分布列 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2. 理解并会求离散型随机变量的数字特征（均值、方差）． 分布列的性质 知识： 【例1】1.（2024·云南一中检测）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，则下列各式正确的是（　　） ξ －1 0 1 2 3 P A.P（ξ＜3）＝　 B. P（ξ＞1）＝ C. P（2＜ξ＜4）＝　D. P（ξ＜0.5）＝0 【解析】（1）P（ξ＜3）＝＋＋＋＝，A错误； P（ξ＞1）＝＋＝，B错误；P（2＜ξ＜4）＝P（ξ＝3）＝，C正确； P（ξ＜0.5）＝＋＝，D错误. 2.(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 【解析】　因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确； 由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确； P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误； P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．答案　ABD 思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 求离散型随机变量的均值与方差 【例2】1.（2024·九省联考）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E（X）. 【解析】（1）P＝＝. （2）X的所有可能取值为1，2，3. P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. ∴X的分布列如下： X 1 2 3 P E（X）＝ ＋ ＋ ＝ 思维升华　求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ). 2．（2022·全国甲卷·）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 【拓展练习】1.（2022浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ． 【解析】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以， 由已知可得的取值有1，2，3，4， ，，  所以,故答案为：，. 2．（2019·天津·）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【解析】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： . 离散型随机变量的均值与方差性质 【例3】1.（多选）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有（　　） A. q＝0.1 B. E（X）＝2，D（X）＝1.4 C. E（X）＝2，D（X）＝1.8 D. E（Y）＝5，D（Y）＝7.2 【解析】　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确； 由已知可得E（X）＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D（X）＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正确，B错误； 因为Y＝2X＋1，所以E（Y）＝2E（X）＋1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2，故D正确. ACD 思维升华 与均值、方差性质有关问题的解题思路 　　若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（Y）或D（Y）. 【拓展练习】 1.(2023·沈阳模拟)已知某离散型随机变量X的分布列如表： X －1 0 1 2 P a b c 若E(X)＝，P(X≥1)＝，则D(X)等于(　　) A. B. C. D. 【解析】　由题意，得a＋b＋c＋＝1， 所以a＋b＋c＝.① 因为E(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×＝， 所以－a＋c＝.② 由P(X≥1)＝c＋＝，得c＝， 代入①②解得a＝，b＝. 所以D(X)＝×＋×＋×＋×＝. 2. (2024·杭州模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下： 时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的均值和方差分别是(　　) A．E(X)＝1.5，D(X)＝0.36 B．E(X)＝1.4，D(X)＝0.36 C．E(X)＝1.5，D(X)＝0.34 D．E(X)＝1.4，D(X)＝0.34 【解析】　设事件A表示甲在规定的时间内到达，B表示乙在规定的时间内到达， P(A)＝0.5，P(B)＝0.9，A，B相互独立， ∴P(X＝0)＝P＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.9)＝0.05， P(X＝1)＝P(B)＋P(A) ＝P()P(B)＋P(A)P() ＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.9＝0.45， ∴E(X)＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4， D(X)＝(0－1.4)2×0.05＋(1－1.4)2×0.5＋(2－1.4)2×0.45＝0.34. 答案　D 均值、方差的大小比较、最值(范围)问题 关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查： (1)均值、方差及概率的大小比较； (2)均值、方差的增减性分析； (3)均值、方差的最值； (4)解均值、方差的不等式求字母的范围． 均值与方差中的决策问题 【例4】1．（2024·全国新Ⅱ卷·）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 思维升华 利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键 （1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆； （2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数； （3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征； （4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策. 2. (2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【解析】　(1)由题意得，X的所有可能取值为0,20,100， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0,80,100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题． 【拓展练习】3.（2022·北京高考）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上（含9.50 m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【解析】（1）设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件A. 因为比赛成绩达到9.50 m以上（含9.50 m）的同学将获得优秀奖，甲以往的10次比赛成绩中达到9.50 m以上（含9.50 m）的有9.80 m，9.70 m，9.55 m，9.54 m，共4次，所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P（A）＝0.4. （2）X的所有可能取值为0，1，2，3. 由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P（A）＝0.4. 设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件B，C，则P（B）＝0.5，P（C）＝0.5. P(X＝0）＝（1－0.4）×（1－0.5）×（1－0.5）＝0.15， P(X＝1）＝0.4×（1－0.5）×（1－0.5）＋（1－0.4）×0.5×（1－0.5）＋（1－0.4）×（1－0.5）×0.5＝0.4， P(X＝2）＝0.4×0.5×（1－0.5）＋0.4×（1－0.5）×0.5＋（1－0.4）×0.5×0.5＝0.35， P(X＝3）＝0.4×0.5×0.5＝0.1， 所以E(X）＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4. （3）在校运动会铅球比赛中，按以往比赛成绩的平均数、方差来看，甲获得冠军的概率估计值最大；按以往比赛的最好成绩来看，丙获得冠军的概率估计值最大. 分布列与数字特征的综合 【例5】1．（2023·全国新Ⅰ卷·）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 【拓展练习】4．(2024·桂林模拟)设0<a<1.随机变量X的分布列为 X 0 a 1 P 当a在(0,1)上增大时，则(　　) A．E(X)不变 B．E(X)减小 C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大 【解析】　E(X)＝0×＋a×＋1×＝， ∴当a在(0,1)上增大时，E(X)增大， D(X)＝2×＋2×＋2× ＝[(a＋1)2＋(2a－1)2＋(2－a)2] ＝(a2－a＋1)＝2＋， ∴当a在(0,1)上增大时，D(X)先减小后增大． $$ “功夫”2025届第一轮精练 第59讲 离散型随机变量分布列及数字特征 第59讲 离散型随机变量分布列 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 2. 理解并会求离散型随机变量的数字特征（均值、方差）． 分布列的性质 知识： 【例1】1.（2024·云南一中检测）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示，则下列各式正确的是（　　） ξ －1 0 1 2 3 P A.P（ξ＜3）＝　 B. P（ξ＞1）＝ C. P（2＜ξ＜4）＝　D. P（ξ＜0.5）＝0 【解析】（1）P（ξ＜3）＝＋＋＋＝，A错误； P（ξ＞1）＝＋＝，B错误；P（2＜ξ＜4）＝P（ξ＝3）＝，C正确； P（ξ＜0.5）＝＋＝，D错误. 2.(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)： X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的是(　　) A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7 C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3 【解析】　因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确； 由分布列知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4＝0.7，故B正确； P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误； P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确．答案　ABD 思维升华 离散型随机变量分布列的性质的应用 (1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． (2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． (3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 求离散型随机变量的均值与方差 【例2】1.（2024·九省联考）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； （2）记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E（X）. 【解析】（1）P＝＝. （2）X的所有可能取值为1，2，3. P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. ∴X的分布列如下： X 1 2 3 P E（X）＝ ＋ ＋ ＝ 思维升华　求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ的所有可能取值； (2)求ξ取每个值的概率； (3)写出ξ的分布列； (4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ). 2．（2022·全国甲卷·）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【解析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 【拓展练习】1.（2022浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ， ． 【解析】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以， 由已知可得的取值有1，2，3，4， ，，  所以,故答案为：，. 2．（2019·天津·）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望； （Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率. 【解析】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为， 故，从面. 所以，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的数学期望. (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则. 且. 由题意知事件与互斥， 且事件与，事件与均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： . 离散型随机变量的均值与方差性质 【例3】1.（多选）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有（　　） A. q＝0.1 B. E（X）＝2，D（X）＝1.4 C. E（X）＝2，D（X）＝1.8 D. E（Y）＝5，D（Y）＝7.2 【解析】　因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确； 由已知可得E（X）＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D（X）＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正确，B错误； 因为Y＝2X＋1，所以E（Y）＝2E（X）＋1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2，故D正确. ACD 思维升华 与均值、方差性质有关问题的解题思路 　　若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b，a，b为常数，一般思路是先求出E（X），D（X），再利用公式E（aX＋b）＝aE（X）＋b，D（aX＋b）＝a2D（X）求E（Y），D（Y）；也可以利用X的分布列得到Y的分布列，关键是由X的取值计算Y的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（Y）或D（Y）. 【拓展练习】 1.(2023·沈阳模拟)已知某离散型随机变量X的分布列如表： X －1 0 1 2 P a b c 若E(X)＝，P(X≥1)＝，则D(X)等于(　　) A. B. C. D. 【解析】　由题意，得a＋b＋c＋＝1， 所以a＋b＋c＝.① 因为E(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×＝， 所以－a＋c＝.② 由P(X≥1)＝c＋＝，得c＝， 代入①②解得a＝，b＝. 所以D(X)＝×＋×＋×＋×＝. 2. (2024·杭州模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下： 时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 甲的频率 0.1 0.4 0.2 0.3 乙的频率 0 0.3 0.6 0.1 某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的均值和方差分别是(　　) A．E(X)＝1.5，D(X)＝0.36 B．E(X)＝1.4，D(X)＝0.36 C．E(X)＝1.5，D(X)＝0.34 D．E(X)＝1.4，D(X)＝0.34 【解析】　设事件A表示甲在规定的时间内到达，B表示乙在规定的时间内到达， P(A)＝0.5，P(B)＝0.9，A，B相互独立， ∴P(X＝0)＝P＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.9)＝0.05， P(X＝1)＝P(B)＋P(A) ＝P()P(B)＋P(A)P() ＝(1－0.5)×0.9＋0.5×(1－0.9)＝0.5， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.9＝0.45， ∴E(X)＝0×0.05＋1×0.5＋2×0.45＝1.4， D(X)＝(0－1.4)2×0.05＋(1－1.4)2×0.5＋(2－1.4)2×0.45＝0.34. 答案　D 均值、方差的大小比较、最值(范围)问题 关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算，还经常从下列几个角度进行考查： (1)均值、方差及概率的大小比较； (2)均值、方差的增减性分析； (3)均值、方差的最值； (4)解均值、方差的不等式求字母的范围． 均值与方差中的决策问题 【例4】1．（2024·全国新Ⅱ卷·）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立． (1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设， （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， 比赛成绩不少于5分的概率. （2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为， ， ， ，应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， ， ， ， ， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15， 同理 ， 因为，则，， 则， 应该由甲参加第一阶段比赛. 思维升华 利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键 （1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆； （2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数； （3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征； （4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策. 2. (2021·新高考全国Ⅰ)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 【解析】　(1)由题意得，X的所有可能取值为0,20,100， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4. 当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0,80,100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6. 因为57.6>54.4，即E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题． 【拓展练习】3.（2022·北京高考）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上（含9.50 m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. （1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）； （3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【解析】（1）设甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖为事件A. 因为比赛成绩达到9.50 m以上（含9.50 m）的同学将获得优秀奖，甲以往的10次比赛成绩中达到9.50 m以上（含9.50 m）的有9.80 m，9.70 m，9.55 m，9.54 m，共4次，所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P（A）＝0.4. （2）X的所有可能取值为0，1，2，3. 由（1）知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率P（A）＝0.4. 设乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件B，C，则P（B）＝0.5，P（C）＝0.5. P(X＝0）＝（1－0.4）×（1－0.5）×（1－0.5）＝0.15， P(X＝1）＝0.4×（1－0.5）×（1－0.5）＋（1－0.4）×0.5×（1－0.5）＋（1－0.4）×（1－0.5）×0.5＝0.4， P(X＝2）＝0.4×0.5×（1－0.5）＋0.4×（1－0.5）×0.5＋（1－0.4）×0.5×0.5＝0.35， P(X＝3）＝0.4×0.5×0.5＝0.1， 所以E(X）＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4. （3）在校运动会铅球比赛中，按以往比赛成绩的平均数、方差来看，甲获得冠军的概率估计值最大；按以往比赛的最好成绩来看，丙获得冠军的概率估计值最大. 分布列与数字特征的综合 【例5】1．（2023·全国新Ⅰ卷·）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 【拓展练习】4．(2024·桂林模拟)设0<a<1.随机变量X的分布列为 X 0 a 1 P 当a在(0,1)上增大时，则(　　) A．E(X)不变 B．E(X)减小 C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大 【解析】　E(X)＝0×＋a×＋1×＝， ∴当a在(0,1)上增大时，E(X)增大， D(X)＝2×＋2×＋2× ＝[(a＋1)2＋(2a－1)2＋(2－a)2] ＝(a2－a＋1)＝2＋， ∴当a在(0,1)上增大时，D(X)先减小后增大． $$