限时规范训练(59) 第8章 第3讲 圆的方程（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(五十九) A级　基础落实练 1．经过坐标原点，且圆心坐标为(－1，1)的圆的一般方程是(　　) A．x2＋y2－2x－2y＝0 B．x2＋y2－2x＋2y＝0 C．x2＋y2＋2x－2y＝0 D．x2＋y2＋2x＋2y＝0 解析：C　设圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝R2， 经过坐标原点(0，0)，则R2＝2. 所以(x＋1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＋2x－2y＝0. 2．若△AOB的三个顶点坐标分别为A(2，0)，B(0，－4)，O(0，0)，则△AOB外接圆的圆心坐标为(　　) A．(1，－1)　　 B．(－1，－2) C．(1，－2)　　 D．(－2，1) 解析：C　由题意得△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°. 所以△AOB的外接圆的圆心就是线段AB的中点，设圆心坐标为(x，y)， 由中点坐标公式得x＝＝1，y＝＝－2. 故所求圆心坐标为(1，－2)． 3．圆C：x2＋y2－2x－3＝0关于直线l：y＝x对称的圆的方程为(　　) A．x2＋y2－2y－3＝0 B．x2＋y2－2y－15＝0 C．x2＋y2＋2y－3＝0 D．x2＋y2＋2y－15＝0 解析：A　由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为(1，0)，半径为2， 故其关于直线l：y＝x对称的圆的圆心为(0，1)，半径为2， 故对称圆的方程为x2＋(y－1)2＝4， 即x2＋y2－2y－3＝0. 4．(多选)若实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则(　　) A．的最大值为 B．的最小值为－ C．的最大值为 D．的最小值为－ 解析：CD　由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0表示圆心坐标为(－1，0)，半径r＝1的圆， 则为圆上的点与点(1，0)连线的斜率的值， 设过点(1，0)的直线为y＝k(x－1)， 即kx－y－k＝0，即求直线kx－y－k＝0与圆相切时k的值，当直线与圆相切时，圆心到直线kx－y－k＝0的距离d＝r， 即＝1，整理可得3k2＝1， 解得k＝±，所以∈. 即的最大值为，最小值为－. 5．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　) A．8x－6y－21＝0　　 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0　　 D．6x－8y－21＝0 解析：D　由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示． 设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x＋y＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2， 即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意． 6．(多选)(2024·潍坊调研)已知△ABC的三个顶点为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为 C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内 解析：ABD　设△ABC的外接圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 则解得 所以△ABC的外接圆M的方程为 x2＋y2－2x－6y＋5＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝5. 故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为， 因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)， 所以圆M不关于直线x＋y＝0对称． 因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5， 故点(2，3)在圆M内． 7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 解析：依据圆的方程特征，得a2＝a＋2， 解得a＝－1或2. 当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0， 整理得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 则圆心为(－2，－4)，半径是5； 当a＝2时，4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0， 即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，该方程不表示圆． 答案：(－2，－4)　5 8．已知等腰△ABC，其中顶点A的坐标为(0，0)，底边的一个端点B的坐标为(1，1)，则另一个端点C的轨迹方程为______________________________． 解析：设C(x，y)，根据在等腰△ABC中|AB|＝|AC|，可得(x－0)2＋(y－0)2＝(1－0)2＋(1－0)2，即x2＋y2＝2. 考虑到A，B，C三点要构成三角形，因此点C不能为(1，1)和(－1，－1)． 所以点C的轨迹方程为x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1))． 答案：x2＋y2＝2(除去点(1，1)和点(－1，－1)) 9．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为________． 解析：求△ABP面积的最小值， 即求P到直线AB距离的最小值， 即为圆心到直线AB的距离减去半径． 直线AB的方程为＋＝1， 即3x－4y－12＝0， 圆x2＋y2－2y＝0， 即为x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，半径为1， ∵圆心到直线AB的距离为d＝＝， ∴P到直线AB的最小值为－1＝， ∵|AB|＝＝5， ∴△ABP面积的最小值为×5×＝. 答案： 10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)． 所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.　① 又直径|CD|＝4， 所以|PA|＝2. 所以(a＋1)2＋b2＝40.　② 由①②解得或 所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)， 所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. 11．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程． 解：设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D(，－)． 又kAB＝－3，所以km＝， 所以直线m的方程为x－3y－3＝0. 由得圆心C(－3，－2)， 则半径r＝|CA|＝＝5， 所以圆C的方程为(x＋3)3＋(y＋2)2＝25. 设点M(x，y)，Q(x0，y0)． 因为点P的坐标为(5，0)， 所以即 又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25， 即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25. 整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝. 即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝. B级　能力提升练 12．(多选)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是(　　) A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上 B．满足条件的圆C有且只有一个 C．点(2，－1)在满足条件的圆C上 D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4 解析：ACD　因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)， 故圆心在直线y＝－x上，A正确； 圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2， 把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0， 解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)， 所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误； 圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1， (x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入这两个方程可知其在圆C上，故C正确； 它们的圆心距为＝4，D正确． 13．已知P(m，n)是圆C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上的一点，则 的最小值是(　　) A．3－2　　 B．3 C．3＋2　　 D．2 解析：D　表示圆上的点P(m，n)到点(1，0)的距离，由x2＋y2－8x－6y＋23＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝2，则圆心为(4，3)，半径为，所以点(1，0)到圆心的距离为＝3，所以点P(m，n)到点(1，0)的距离的最小值为3－＝2，即的最小值是2. 14．已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2x－y－1＝0上． (1)求圆C1的方程； (2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标． 解：(1)由题意知AB的中点坐标为(，)， kAB＝＝1， ∴AB的垂直平分线为y＝5－x， 联立解得 即圆C1的圆心坐标为(2，3)，半径r＝1， 其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1. (2)注意到点C1(2，3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧， 直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示． ∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4， 当且仅当M，N，P在线段C1C2上时取等号， 此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点， 过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0， 联立解得 ∴点P的坐标为(－，)． 学科网（北京）股份有限公司 $$