第二十二章 二次函数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（福建专用，人教版）

第22章 二次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是函数的图象，那么无论x为何值，函数值y永远为负的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，将抛物线：向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线：．则下列关于抛物线的解析式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．函数和函数（是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 5．已知抛物线l是二次函数的图象，且与轴相交于两点，其中，若将抛物线向上平移，平移后与轴交于，其中，则下列叙述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 7．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 8．设k为非负实数，且方程的两实数根为a，b，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．4 9．已知二次函数的图像与x轴分别交于A、B两点，图像的顶点为C，若，则a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 10．如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 12．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 13．在平面直角坐标系中，抛物线过点，其对称轴为直线．则的值为 ． 14．已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 15．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 16．如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的抛物线的顶点C在线段上（不包括点B）． (1)求b，c的值 (2)当时，请直接写出x的取值范围． 18．（8分）某水果超市经销一种高档水果，售价为每千克50元．．若按现售价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． (1)若超市规定每千克涨价不能超过7元，元，那么每千克应涨价多少元时，该超市每天盈利最多？ (2)为了迎接新学期，超市决定每卖出1千克捐赠a元给贫困山区学生，设每千克涨价x元，若要保证当时，每天盈利随着x的增加而增大，直接写出a的取值范围． 19．（8分）某数学兴趣小组研究函数的图象：首先根据式子结构采用分类的数学方法：当时，；当时，．然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图（1）所示．类似的，研究函数的图象时，他们已经画出了时的图象． (1)请你用描点法补全此函数的图象； (2)根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小？ (3)当时，y的最大值是1，最小值是0，请你直接写出a的取值范围． 20．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)若此抛物线点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围． 21．（8分）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 22．（10分）问题：如何设计击球路线？ 情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 23．（10分）已知抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)点在该抛物线上，且为整数，若的值为整数，求出点的坐标． 24．（12分）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 25．（14分）如图，已知二次函数的顶点是，与x轴交于A，B两点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点，其中，过点P作直线l1：，且直线l1与抛物线只有唯一的公共点M． ①若点M的坐标为，求点P的坐标； ②过点P作直线交抛物线于D，E两点，且，N是的中点，求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22章 二次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”寥窖数语，把图形之妙趣说的淋漓尽致．如图是函数的图象，那么无论x为何值，函数值y永远为负的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象在轴的下方，可得抛物线开口向下，与轴无交点，即可判断． 【详解】解：二次函教的图象在轴的下方， 抛物线开口向下，与轴无交点， 即，， 故选：D． 2．如图，将抛物线：向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线：．则下列关于抛物线的解析式中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，抓住点的平移规律是解题的关键． 根据题意向右平移2个单位后，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到抛物线解析式即可． 【详解】解：由题意可知：将向右平移2个单位后得，再将该图象关于x轴进行轴对称变换得到； 故选A． 3．函数和函数（是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与y轴的交点坐标为． 【详解】A．由函数的图象可知，即函数开口向上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口向上，对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C．由函数的图象可知，即函数开口向下，与图象不符，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口向上，对称轴为，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 4．如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，不等式组的应用，设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令和，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为， ∴， 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小明错误，小亮说法正确． 故选：B． 5．已知抛物线l是二次函数的图象，且与轴相交于两点，其中，若将抛物线向上平移，平移后与轴交于，其中，则下列叙述正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，图形平移的性质，根据二次函数解析式可得顶点坐标为，对称轴为，可判定，根据两点之间的距离的计算方法可判定，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质，图形平移的性质，图形结合分析是解题的关键． 【详解】解：根据题意，作二次函数的图形及二次函数图象向上平移的图形如下， ∴二次函数图象的顶点坐标为，即对称轴为， ∴， ∴， ∵与是二次函数图象与轴交点之间的距离， ∴， 故选：A ． 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线求得对称轴，再结合抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵，， ∴两点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得：， 故选：． 7．已知二次函数，当时，的取值范围是或．若二次函数的图象经过点，，则的值不可能是（    ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：根据题意可知，该二次函数图像开口向下，且经过点和 ∴对称轴为直线， ∵， ∴点比点更靠近对称轴， ∴，整理得， ∴当时，有， 解得； 当时，有， 解得， 综上所述，或， ∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 8．设k为非负实数，且方程的两实数根为a，b，则的最小值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质． 由根的判别式结合k为非负数得到，由一元二次方程根与系数的关系得到，，将展开变形得到，代入后得到，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意可知，此方程有两个非负实数根， ∴，解得或， ∵k为非负实数， ∴． ∵方程的两实数根为a，b， ∴，， ∴ ， ∵当时，随k的增大而增大， 又， ∴当时，有最小值，为， ∴的最小值为2． 故选：C 9．已知二次函数的图像与x轴分别交于A、B两点，图像的顶点为C，若，则a的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，则可求得AB的长，且求得顶点C的坐标，根据抛物线的对称性，△ABC是等腰直角三角形，则顶点C到x轴的距离等于AB的一半，即可求得a的值． 【详解】令， 解得：，（）， 则， ∵， ∴顶点C的坐标为， ∵A、B两点关于抛物线的对称轴对称，且， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴顶点C到x轴的距离等于AB的一半， 即， 解得：a=3或a=4（舍去）， 经检验是方程的解且符合题意， 即a=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的性质等知识，根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半建立方程是解题的关键． 10．如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图像与性质，图像的平移，一次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点并画出图形利用数形结合的思想是解题的关键．根据题意先求出点和点的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时的值以及直线过点时的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：抛物线与轴交于点、 ， 又抛物线为 抛物线向左平移个单位长度 平移后解析式 当直线过点，有2个交点 当直线与抛物线相切时，有2个交点 ， 即 直线与抛物线相切 如图， 直线与、共有3个不同的交点， ． 故选：D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．已知二次函数自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：则代数式的值等于 ． x … 0 1 2 3 … y … … 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，通过抛物线上点的坐标的特征求解．由表格可得抛物线对称轴为直线，然后根据对称性可求时y的值，进而求解． 【详解】解：由题可得抛物线经过点，， ∴抛物线对称轴为直线 ∵抛物线经过点， ∴时， 即． 故答案为：． 12．沿着x轴的正方向看，如果抛物线在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的增减性，利用抛物线的对称轴的左侧的部分是上升的可得抛物线开口向下，再建立不等式解题即可． 【详解】解：∵抛物线在对称轴左侧的部分是上升的， ∴抛物线开口向下， ∴，解得． 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，抛物线过点，其对称轴为直线．则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求代数式的值，函数图象上的点，二次函数的对称轴；由已知条件得 ，由二次函数的对称轴得，将代入可求，即可求解；能根据已知条件用表示出、是解题的关键． 【详解】解：抛物线过点， ， 对称轴为直线， ， ， ， ， ∴ ， 故答案为：4． 14．已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由抛物线，可知抛物线开口向上，与轴的交点为，由抛物线经过，，三点，得出对称轴为直线，然后根据点的坐标特征得出或，解不等式（组即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向上，与轴的交点为， 抛物线经过，，三点， 对称轴为直线， ， 或， 解得或． 故的取值范围是或． 故答案为：或． 15．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】将对称至，连接，与对称轴的交点即为，再根据直线的解析式与对称轴求解的坐标即可． 【详解】解：根据对称轴公式，可得：，解得：， 即抛物线的解析式为：， 将代入得：， 抛物线的解析式为：； 顶点坐标 ； 连接交直线于点， 此时 最小，点即为所求 ， 由，， 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线： 当时：， ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 16．如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 ，当时，x的值为 ． 【答案】 9 4或11 【分析】本题考查从函数图象获取信息，二次函数与运动图形的综合应用，由图象可知，当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，说明梯形的高为定值，说明高为的长，即当时，点与点重合，当时，点与点重合，说明，进而求出三段函数的解析式，求解即可． 【详解】解：由图象可知：当时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分， 当时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值， 即：高为， ∴， ∴当时，，则， ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积：， 当时，， 解得：（舍去）； 当时，，， ∴， 当时，， ∴（舍去）； 当时，则：， ∴， 当时，， 解得：或（舍掉）； 故答案为：9；4或11． 3、 解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的抛物线的顶点C在线段上（不包括点B）． (1)求b，c的值 (2)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，将点B代入得，，则，故，由于顶点C在线段上（不包括点B），则，解方程即可； （2）把b，c代入，得：，即，转化为或，解不等式组即可． 【详解】（1）解：当，则， 解得，， ∴， 当，， ∴， 将点B代入 得，， ∴， ∴， ∵顶点C在线段上（不包括点B）， ∴， 解得：或（舍）； （2）解：把b，c代入， 得：， ∴， ∴或， 分别解得：或． 18．（8分）某水果超市经销一种高档水果，售价为每千克50元．．若按现售价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克． (1)若超市规定每千克涨价不能超过7元，元，那么每千克应涨价多少元时，该超市每天盈利最多？ (2)为了迎接新学期，超市决定每卖出1千克捐赠a元给贫困山区学生，设每千克涨价x元，若要保证当时，每天盈利随着x的增加而增大，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)每千克应涨价7元 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设每千克应涨价m多少元，盈利为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解； （2）设捐赠a元给贫困山区学生后，设每千克涨价x元，每天盈利为S元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每千克应涨价m多少元，盈利为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w取得最大值， 答：每千克应涨价7元时，该超市每天盈利最多． （2）解：设捐赠a元给贫困山区学生后，设每千克涨价x元，每天盈利为S元，根据题意得： ， ∵当时，每天盈利随着x的增加而增大，且， ∴，解得：， ∵， ∴a的取值范围为． 19．（8分）某数学兴趣小组研究函数的图象：首先根据式子结构采用分类的数学方法：当时，；当时，．然后根据一次函数图象的画法分别画出图象，如图（1）所示．类似的，研究函数的图象时，他们已经画出了时的图象． (1)请你用描点法补全此函数的图象； (2)根据图象，直接写出当x为何值时，y随着x的增大而减小？ (3)当时，y的最大值是1，最小值是0，请你直接写出a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)当时，y随着x的增大而减小； (3)． 【分析】（1）通过列表、描点、连线即可补全函数图象； （2）根据函数图象，即可得出结论； （3）求得和时，x的值，根据函数图象，即可得出结论． 【详解】（1）解：列表： x 2 2.5 3 3.5 y 0 3 描点、连线，补全图象如图所示， ； （2）解：根据函数图象，当时，y随着x的增大而减小； （3）解：根据图象，时， 当时，或； 当时，或； ∴当时，y的最大值是1，最小值是0． ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； (2)若此抛物线点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）利用待定系数法，将，两点代入解析式得到方程组，求出、的值，从而确定抛物线的表达式，再将其化为顶点式，得到顶点坐标即可； （2）分别求出和时的函数值，进而得出四点坐标，再根据点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2，得出点在点和点之间的抛物线上（包含点，不包含点），即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线交x轴于，两点， ，解得：， 抛物线的表达式为， ， 顶点坐标为； （2）解：如图， 令，则， 解得：或， ，； 令，则， 解得：或， ，， 点P右侧的部分（不含点P）上恰好有三个点到x轴的距离均为2， 点在点和点之间的抛物线上（包含点，不包含点）， ． 21．（8分）如图，已知直线与抛物线相交于点和点两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是位于直线上方抛物线上的一动点，当的面积最大时，求：此时点的坐标； (3)在轴上找点，使是等腰三角形，请直接写出点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据题意求出点，将点和点代入即可求解； （2）过点作轴，设点，则，根据即可求解； （3）分类讨论时、时、时即可求解； 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴ ∴点 将点和点代入得： ， 解得： ∴ （2）解：过点作轴，如图所示： 设点，则 ∴ ∴当，即点时，有最大； （3）解：设点， 时， 解得： ∴； 时， 解得：或 ∴或； 时， 解得： ∴； 综上所述，或或或 【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角形问题，掌握二次函数的函数与性质是解题关键． 22．（10分）问题：如何设计击球路线？ 情境：某校羽毛球社团的同学们经常运用数学知识对羽毛球技术进行分析，下面是他们对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，球网与y轴的水平距离，击球点P在y轴上． 击球方案： 扣球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系：，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． 吊球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 高远球 羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：，且飞行的最大高度在和之间． 探究： (1)求扣球和吊球时，求羽毛球飞行满足的函数表达式； (2)①若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网的高度为多少； ②若选择吊球的方式，求羽毛球落地点到球网的距离； (3)通过对本次训练进行分析，若高远球的击球位置P保持不变，接球人站在离球网处，他可前后移动各，接球的高度为，要使得这类高远球刚好让接球人接到，请求出此类高远球抛物线解析式a的取值范围． 【答案】(1)扣球：，吊球： (2)① ② (3) 【分析】（1）把代入可得扣球时的函数解析式，再求解点P的坐标为，设抛物线为：，再利用待定系数法可得吊球时的函数解析式； （2）①把代入可得的高度；②把代入，再进一步求解即可； （3）依题意，即接球点的临界坐标为 和 ，结合表格高远球最大高度与a值大小关系设出对应临界值的顶点式，代入接球点的临界坐标解之即可得出范围． 【详解】（1）解：∵扣球时，当羽毛球的水平距离为时，飞行高度为． ∴，解得， ∴一次函数解析式为； 当时，， 则点P的坐标为， ∵当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度米． 设抛物线为：， ∴， 解得； ∴； （2）解：①当时，． ∴球网的高度为； ②当时，， ，（舍） 落地点到球网的距离：； （3）解：由题意可得：接球点的临界坐标为 和 ； 接球点为时，若最大高度为，a为最小， 设， ∴， ∴ 接球点为时，若最大高度为，a为最大 设， ∴ 解得：， 则a的范围是 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的解法，二次函数的性质，理解题意是解本题的关键． 23．（10分）已知抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过点 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (3)点在该抛物线上，且为整数，若的值为整数，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线与轴的交点坐标为，； 抛物线与轴的交点坐标为 (3)或或或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质，深刻理解并运用数形结合思想是解题的关键． （1）首先设二次函数解析式为，然后把代入其中确定的值即可求解； （2）令，解一元二次方程，即可求得抛物线与轴的交点坐标；令，求出，即可求得抛物线与轴的交点坐标； （3）首先把代入（1）中解析式，得到关于、的关系式，然后代入所求代数式，利用整数的知识求出、的值即可求解． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 该抛物线经过点， 把代入中， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 即， 分解因式，得：， ，， 抛物线与轴的交点坐标为，； 当时，， 抛物线与轴的交点坐标为； （3）解：点在该抛物线上， 把代入中， ， ， ，为整数， 而的因数有或， 或， 或或或， 或， 点的坐标为或或或． 24．（12分）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 25．（14分）如图，已知二次函数的顶点是，与x轴交于A，B两点，连接，，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点，其中，过点P作直线l1：，且直线l1与抛物线只有唯一的公共点M． ①若点M的坐标为，求点P的坐标； ②过点P作直线交抛物线于D，E两点，且，N是的中点，求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】(1)抛物线为：； (2)①，②证明见解析，定点坐标为． 【分析】（1）先求解抛物线的顶点坐标，再结合三角形的面积求解的坐标，即可求解； （2）利用直线过，可得直线为，联立，可得方程：，根据点是直线与抛物线有唯一公共点，可得方程有唯一解，可得此时直线的解析式为：，问题随之得解；②设点坐标为：，点为：，点为：，点为，联立：，可得方程：，可得， 即有，根据点是的中点，可得；联立：，可得方程：，根据点是直线与抛物线有唯一公共点，可知方程有唯一解，即可得，则有，进而有，即可得，由点在直线和直线上，可得，，设直线的解析式为：，可得，结合，，，解得：，即有直线的解析式为：，当时，，问题得解． 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点是， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）①∵过点M，M的坐标为， ∴， ∴， ∴， 结合题意可得：有1组解； 整理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴直线为， ∵， ∴， 解得：， ∴； 设E点坐标为：，点坐标为：，点为：，点为， 联立：，可得方程：， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴，， ∴， 联立：，可得方程：， ∵点是直线与抛物线有唯一公共点， ∴方程有唯一解，即有两个相等的解， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线和直线上， ∴，， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 结合，，， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， 故：直线恒过定点：． 【点睛】本题是一次函数和二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，利用一元二次方程求解一次函数与二次函数的交点，利用待定系数法求解一次函数解析式，一元二次方程的根与系数的关系等知识，联立方程表示出，，是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$