第57讲 随机事件的概率与古典概型-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第57讲 随机事件的概率与古典概型 第57讲 随机事件与古典概型 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. 2. 结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率. 3. 通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则. 4. 结合实例，会用频率估计概率. 随机事件关系的判断 知识： 【例1】1.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(　　) A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 【解析】 如图作6×3的坐标表格，x轴为基本事件(点数），y 轴为事件，在单元格内按事件包含的基本事件打上√号。 由图可知，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立； B∩C＝，B∪C＝Ω(Ω为基本事件的集合)，故事件B，C是对立事件，故应选D. 2.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________． 【解析】如图画3×4的坐标表格，x轴为基本事件(命中次数），y 轴为事件，在单元格内按事件包含的基本事件打上√号。 　设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，由图可知A∩B＝，A∩C＝，B∩C＝，B∩D＝. 故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝，B∪D＝I，故B与D互为对立事件． 思维升华 互斥事件与对立事件的判断 1. 根据要求画的坐标表格，为基本事件个数，且为横轴，为事件个数，且为纵轴. 2. 根据事件包含的基本事件，在相应的格上打上√号. 3. 根据事件包含的基本事件，判断事件的关系. 用频率估计概率 【例2】1．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 【解析】　20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 【思维启迪】　可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率． 【拓展练习】2.　(2012·湖北文2)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间[10，40)的频率为(　　) A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 【解析】　数据落在[10，40)的频率为 ＝＝0.45，故选B. 古典概型 【例3】1．（2024全国甲文）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.故选：B 2．（2024全国甲理）真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 3．（2024全国Ⅰ）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤 【拓展练习】1．（2023天津）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 2．（2022全国甲理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 【解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率． 故答案为：． 3．（2022全国乙理）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ． 【解析】从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 互斥事件与对立事件的概率 【例4】1.（2023全国乙文）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 【解析】　因为共有6个主题，甲、乙两位同学各抽取1个主题，结果有36种，其中抽到的主题相同的结果有6种， 所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率为1－＝.故选A. 2. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，则1张奖券的中奖概率为 . 【解析】设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥， ∴P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＝. 故1张奖券中奖的概率为. 思维升华　求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和； 二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法． $$ “功夫”2025届第一轮精练 第57讲 随机事件的概率与古典概型 第57讲 随机事件与古典概型 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. 2. 结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率. 3. 通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则. 4. 结合实例，会用频率估计概率. 随机事件关系的判断 知识： 【例1】1.一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(　　) A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 【解析】 如图作6×3的坐标表格，x轴为基本事件(点数），y 轴为事件，在单元格内按事件包含的基本事件打上√号。 由图可知，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立； B∩C＝，B∪C＝Ω(Ω为基本事件的集合)，故事件B，C是对立事件，故应选D. 2.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________． 【解析】如图画3×4的坐标表格，x轴为基本事件(命中次数），y 轴为事件，在单元格内按事件包含的基本事件打上√号。 　设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，由图可知A∩B＝，A∩C＝，B∩C＝，B∩D＝. 故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝，B∪D＝I，故B与D互为对立事件． 思维升华 互斥事件与对立事件的判断 1. 根据要求画的坐标表格，为基本事件个数，且为横轴，为事件个数，且为纵轴. 2. 根据事件包含的基本事件，在相应的格上打上√号. 3. 根据事件包含的基本事件，判断事件的关系. 用频率估计概率 【例2】1．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 【解析】　20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25. 【思维启迪】　可以利用公式计算频率，在试验次数很大时，用频率来估计概率． 【拓展练习】2.　(2012·湖北文2)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) 频数 2 3 4 5 4 2 则样本数据落在区间[10，40)的频率为(　　) A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 【解析】　数据落在[10，40)的频率为 ＝＝0.45，故选B. 古典概型 【例3】1．（2024全国甲文）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【解析】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为.故选：B 2．（2024全国甲理）真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 3．（2024全国Ⅰ）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 . 【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为，四轮的总得分为. 对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率，所以. 从而. 记. 如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以. 而的所有可能取值是0，1，2，3，故，. 所以，，两式相减即得，故. 所以甲的总得分不小于2的概率为. 故答案为：. 思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤 【拓展练习】1．（2023天津）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 2．（2022全国甲理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 【解析】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率． 故答案为：． 3．（2022全国乙理）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ． 【解析】从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 互斥事件与对立事件的概率 【例4】1.（2023全国乙文）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ） A． B． C． D． 【解析】　因为共有6个主题，甲、乙两位同学各抽取1个主题，结果有36种，其中抽到的主题相同的结果有6种， 所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率为1－＝.故选A. 2. 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，则1张奖券的中奖概率为 . 【解析】设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥， ∴P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＝. 故1张奖券中奖的概率为. 思维升华　求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和； 二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法． $$