第53讲 用样本估计总体-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第53讲 用样本估计总体 第53讲 用样本估计总体 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数. 2. 能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． 总体百分位数 知识： 【例1】1．（2024·河北·三模）根据中国报告大厅对2023年3月~10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表： 月份 3 4 5 6 发电量/亿千瓦时 242.94 230.87 240.59 259.33 月份 7 8 9 10 发电量/亿千瓦时 258.9 269.19 246.06 244.31 关于2023年3月~10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（    ） A．中位数是259.115 B．极差是38.32 C．第85百分位数是259.33 D．第25百分位数是240.59 【解析】将数据从小到大排序可得，共8个数据， 所以中位数是，故A错误； 极差是，故B正确； 因为，所以第85百分位数是第7个数，即，故C正确； 因为，所以第25百分位数是，故D错误； 故选:BC 规律总结 计算一组n个数据第p百分位数的步骤 2. （2024·天津·二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为（    ）分 A．84 B．85 C．86 D．87 【解析】由，解得：， 所以前4组频率之和为，前5组频率之和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得：， 故选：C 【拓展练习】1.　已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　) A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 【解析】因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，则C正确．故选C． 2．（2024·山东·模拟）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【解析】由已知可得极差是：，而中位数是极差的，即中位数是， 根据六个数的中位数是：，解得， 故选：D. 3.(多选)(2023·商丘模拟)在某次演讲比赛中，由两个评委小组(分别为专业人士“小组A”和观众代表“小组B”)给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论正确的是(　　) A．小组A打分的分值的平均数为48 B．小组B打分的分值的中位数为66 C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D．小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差 【解析】　由图可知，小组A打分的平均数为×(43＋47＋46＋48＋50＋47＋54＋50＋47)＝48，故A正确； 将小组B打分从小到大排列为36,55,58,62,66,68,68,70,75，所以中位数为66，故B正确； 小组A打分的分值的极差为54－43＝11，小组B打分的分值的极差为75－36＝39，故C错误； 小组A打分的分值相对更集中，所以小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差，故D正确．知识： 总体集中趋势的估计 【例2】1．（2022·全国乙卷）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图： 则下列结论中错误的是（    ） A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8 C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4 D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 【解析】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A选项结论正确. 对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为： B选项结论正确. 对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值， C选项结论错误. 对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值， D选项结论正确. 故选：C 2．（2021·全国甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【解析】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误. 综上，给出结论中不正确的是C.故选：C. 思维升华 频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 3．（2024·全国新Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【解析】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 总体离散程度的估计 【例3】1．(多选题）（2023·全国新Ⅰ卷）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【解析】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：因为是最小值，是最大值， 则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差， 例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差， 显然，即；故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 2．(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，10)．试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)． 【解析】　(1)由题意得zi＝xi－yi 的值分别为9,6,8，－8,15,11,19,18,20,12， 则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知，＝11, 2＝2＝， 故有≥2， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 思维升华 总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 【拓展练习】4．（2020·全国·）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（    ） A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 【解析】因为数据的方差是数据的方差的倍， 所以所求数据方差为 故选：C 5．（2021·全国Ⅱ卷）下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ） A．样本的标准差 B．样本的中位数 C．样本的极差 D．样本的平均数 【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC. 6．（2021·全国Ⅰ卷）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 【解析】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 7．(2023·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 【解析】(1)甲＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85， 乙＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85， s＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5， s＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41. (2)由(1)知甲＝乙，s<s，甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适． $$ “功夫”2025届第一轮精练 第53讲 用样本估计总体 第53讲 用样本估计总体 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数. 2. 能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度． 总体百分位数 知识： 【例1】1．（2024·河北·三模）根据中国报告大厅对2023年3月~10月全国太阳能发电量进行监测统计，太阳能发电量（单位：亿千瓦时）月度数据统计如下表： 月份 3 4 5 6 发电量/亿千瓦时 242.94 230.87 240.59 259.33 月份 7 8 9 10 发电量/亿千瓦时 258.9 269.19 246.06 244.31 关于2023年3月~10月全国太阳能发电量，下列四种说法正确的是（    ） A．中位数是259.115 B．极差是38.32 C．第85百分位数是259.33 D．第25百分位数是240.59 【解析】将数据从小到大排序可得，共8个数据， 所以中位数是，故A错误； 极差是，故B正确； 因为，所以第85百分位数是第7个数，即，故C正确； 因为，所以第25百分位数是，故D错误； 故选:BC 规律总结 计算一组n个数据第p百分位数的步骤 2. （2024·天津·二模）为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第85百分位数为（    ）分 A．84 B．85 C．86 D．87 【解析】由，解得：， 所以前4组频率之和为，前5组频率之和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得：， 故选：C 【拓展练习】1.　已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　) A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 【解析】因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，则C正确．故选C． 2．（2024·山东·模拟）一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【解析】由已知可得极差是：，而中位数是极差的，即中位数是， 根据六个数的中位数是：，解得， 故选：D. 3.(多选)(2023·商丘模拟)在某次演讲比赛中，由两个评委小组(分别为专业人士“小组A”和观众代表“小组B”)给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成如图所示的折线图，则下列结论正确的是(　　) A．小组A打分的分值的平均数为48 B．小组B打分的分值的中位数为66 C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D．小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差 【解析】　由图可知，小组A打分的平均数为×(43＋47＋46＋48＋50＋47＋54＋50＋47)＝48，故A正确； 将小组B打分从小到大排列为36,55,58,62,66,68,68,70,75，所以中位数为66，故B正确； 小组A打分的分值的极差为54－43＝11，小组B打分的分值的极差为75－36＝39，故C错误； 小组A打分的分值相对更集中，所以小组A打分的分值的方差小于小组B打分的分值的方差，故D正确．知识： 总体集中趋势的估计 【例2】1．（2022·全国乙卷）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图： 则下列结论中错误的是（    ） A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8 C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4 D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 【解析】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A选项结论正确. 对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为： B选项结论正确. 对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值， C选项结论错误. 对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值， D选项结论正确. 故选：C 2．（2021·全国甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【解析】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误. 综上，给出结论中不正确的是C.故选：C. 思维升华 频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标． (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和． 3．（2024·全国新Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（    ） A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【解析】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 总体离散程度的估计 【例3】1．(多选题）（2023·全国新Ⅰ卷）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（    ） A．的平均数等于的平均数 B．的中位数等于的中位数 C．的标准差不小于的标准差 D．的极差不大于的极差 【解析】对于选项A：设的平均数为，的平均数为， 则， 因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小， 例如：，可得； 例如，可得； 例如，可得；故A错误； 对于选项B：不妨设， 可知的中位数等于的中位数均为，故B正确； 对于选项C：因为是最小值，是最大值， 则的波动性不大于的波动性，即的标准差不大于的标准差， 例如：，则平均数， 标准差， ，则平均数， 标准差， 显然，即；故C错误； 对于选项D：不妨设， 则，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD. 2．(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，10)．试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高)． 【解析】　(1)由题意得zi＝xi－yi 的值分别为9,6,8，－8,15,11,19,18,20,12， 则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11， s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61. (2)由(1)知，＝11, 2＝2＝， 故有≥2， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高． 思维升华 总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小． 【拓展练习】4．（2020·全国·）设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（    ） A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 【解析】因为数据的方差是数据的方差的倍， 所以所求数据方差为 故选：C 5．（2021·全国Ⅱ卷）下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ） A．样本的标准差 B．样本的中位数 C．样本的极差 D．样本的平均数 【解析】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC. 6．（2021·全国Ⅰ卷）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 【解析】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 7．(2023·济宁模拟)甲、乙两名学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下： 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求两位学生预赛成绩的平均数和方差； (2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由． 【解析】(1)甲＝×(82＋81＋79＋78＋95＋88＋93＋84)＝85， 乙＝×(92＋95＋80＋75＋83＋80＋90＋85)＝85， s＝×[(82－85)2＋(81－85)2＋(79－85)2＋(78－85)2＋(95－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(84－85)2]＝35.5， s＝×[(92－85)2＋(95－85)2＋(80－85)2＋(75－85)2＋(83－85)2＋(80－85)2＋(90－85)2＋(85－85)2]＝41. (2)由(1)知甲＝乙，s<s，甲的成绩较稳定，所以派甲参赛比较合适． $$