第52讲 随机抽样、统计图表-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第52讲 随机抽样、统计图表 第52讲 随机抽样、统计图表 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 了解获取数据的基本途径. 2. 会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样. 3. 能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性． 简单随机抽样 知识： 【例1】1．（2023·全国Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 2．（2017·江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件. 【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18． 【拓展练习】1．（2015·四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C 2．（2015·福建）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为 . 【解析】设应抽取的男生人数为为，所以有，应抽取25人。 统计图表 知识： 【例2】1. (多选)(2024·合肥模拟)为了解我国农业、农村、农民的基本情况，将全国第三次农业普查的部分数据整理得到如下的柱状图(单位：%)，则(　　) A．东北地区的四项数据均比中部地区高 B．西部地区的四项数据均比其他三个地区低 C．中部地区的发展情况相较于西部地区的发展较好 D．东部地区的发展情况相较于其他三个地区的发展较好 【解析】　东北地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比高于中部地区，但通天然气的村的占比低于中部地区，故A错误； 西部地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比低于其他三个地区，但通天然气的村的占比高于其他三个地区，故B错误； 中部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于西部地区，故中部地区的发展情况相较于西部地区较好，故C正确； 东部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于其他三个地区，故东部地区的发展情况相较于其他三个地区较好，故D正确． 思维升华 统计图表的主要应用 (1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例． (2)折线图：描述数据随时间的变化趋势． (3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 2．（2020·全国新Ⅱ卷）（多选）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加; B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量; C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%; D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量; 【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误； 由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误; 由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确; 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确; 3．（2018·全国）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【解析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 【拓展练习】3．(多选)新式茶饮是指以上等茶叶的萃取浓缩液为底，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2023年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图． 根据所给统计图，下列结论中正确的是(　　) A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90% B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20% C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50% D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60% 【解析】　每周都消费新式茶饮的消费者占比为1－9.1%>90%，A错误； 每天都消费新式茶饮的消费者占比为5.4%＋16.4%>20%，B正确； 月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比为30.5%＋25.6%>50%，C正确； 月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比为1－14.5%－30.5%<60%，D错误． 频率分布直方图 【例3】1．（2021·天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（    ） A． B． C． D． 【解析】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.故选：D. 2.（2022·天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 【解析】志愿者的总人数为＝50， 所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12． 故选：B. 思维升华 频率分布直方图的相关结论 (1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. (2)频率分布直方图中纵轴表示，每组样本的频率为组距×，即小长方形的面积． (3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数． 【拓展练习】4.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图. (1)直方图中x的值为________； (2)在这些用户中，月用电量落在区间[100，250)内的户数为________. 【解析】　(1)由频率分布直方图知数据落在[200，250)内的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22， 于是x＝＝0.004 4. (2)因为数据落在[100，250)内的频率为 (0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7， 所以所求户数为0.7×100＝70. 5.(2024·潍坊调研)将某市高中数学建模竞赛的成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并整理得到频率分布直方图(如图所示).现按成绩运用分层随机抽样的方法抽取100位同学进行学习方法的问卷调查，则成绩在区间[70，80)内应抽取的人数为(　　) A.10 B.20 C.30 D.35 【解析】　由题图得，成绩在区间[70，80)内的频率为0.035×10＝0.35， 所以成绩在区间[70，80)内应抽取的人数为0.35×100＝35. $$ “功夫”2025届第一轮精练 第52讲 随机抽样、统计图表 第52讲 随机抽样、统计图表 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1. 了解获取数据的基本途径. 2. 会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样. 3. 能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性． 简单随机抽样 知识： 【例1】1．（2023·全国Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【解析】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 2．（2017·江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件. 【解析】应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18． 【拓展练习】1．（2015·四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 【解析】按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.选C 2．（2015·福建）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为 . 【解析】设应抽取的男生人数为为，所以有，应抽取25人。 统计图表 知识： 【例2】1. (多选)(2024·合肥模拟)为了解我国农业、农村、农民的基本情况，将全国第三次农业普查的部分数据整理得到如下的柱状图(单位：%)，则(　　) A．东北地区的四项数据均比中部地区高 B．西部地区的四项数据均比其他三个地区低 C．中部地区的发展情况相较于西部地区的发展较好 D．东部地区的发展情况相较于其他三个地区的发展较好 【解析】　东北地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比高于中部地区，但通天然气的村的占比低于中部地区，故A错误； 西部地区通电的村、通宽带互联网的村、有电子商务配送站点的村的占比低于其他三个地区，但通天然气的村的占比高于其他三个地区，故B错误； 中部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于西部地区，故中部地区的发展情况相较于西部地区较好，故C正确； 东部地区除通天然气的村的占比低于西部地区，其他三项数据均不低于其他三个地区，故东部地区的发展情况相较于其他三个地区较好，故D正确． 思维升华 统计图表的主要应用 (1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例． (2)折线图：描述数据随时间的变化趋势． (3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率． 2．（2020·全国新Ⅱ卷）（多选）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是 A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加; B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量; C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%; D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量; 【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误； 由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误; 由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确; 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确; 3．（2018·全国）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【解析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 【拓展练习】3．(多选)新式茶饮是指以上等茶叶的萃取浓缩液为底，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2023年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图． 根据所给统计图，下列结论中正确的是(　　) A．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90% B．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20% C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50% D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60% 【解析】　每周都消费新式茶饮的消费者占比为1－9.1%>90%，A错误； 每天都消费新式茶饮的消费者占比为5.4%＋16.4%>20%，B正确； 月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比为30.5%＋25.6%>50%，C正确； 月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比为1－14.5%－30.5%<60%，D错误． 频率分布直方图 【例3】1．（2021·天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（    ） A． B． C． D． 【解析】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.故选：D. 2.（2022·天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（    ） A．8 B．12 C．16 D．18 【解析】志愿者的总人数为＝50， 所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12． 故选：B. 思维升华 频率分布直方图的相关结论 (1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. (2)频率分布直方图中纵轴表示，每组样本的频率为组距×，即小长方形的面积． (3)频率分布直方图中每组样本的频数为频率×总数． 【拓展练习】4.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50度至350度之间，频率分布直方图如图. (1)直方图中x的值为________； (2)在这些用户中，月用电量落在区间[100，250)内的户数为________. 【解析】　(1)由频率分布直方图知数据落在[200，250)内的频率为1－(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋0.002 4＋0.001 2)×50＝0.22， 于是x＝＝0.004 4. (2)因为数据落在[100，250)内的频率为 (0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7， 所以所求户数为0.7×100＝70. 5.(2024·潍坊调研)将某市高中数学建模竞赛的成绩分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并整理得到频率分布直方图(如图所示).现按成绩运用分层随机抽样的方法抽取100位同学进行学习方法的问卷调查，则成绩在区间[70，80)内应抽取的人数为(　　) A.10 B.20 C.30 D.35 【解析】　由题图得，成绩在区间[70，80)内的频率为0.035×10＝0.35， 所以成绩在区间[70，80)内应抽取的人数为0.35×100＝35. $$