第50讲 双曲线 -2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第50讲 双曲线 第50讲 双曲线 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1 . 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2 . 掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率). 3 . 了解双曲线的简单应用． 双曲线的定义 知识： 【例1】 1.（2019·全国·）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为 A． B． C． D． 2.（2020·全国·）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 . 【拓展练习】1. 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______． 2. (2015·全国Ⅰ文16)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6).当△APF周长最小时，该三角形的面积为________. 【解析】设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2， ∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小， 当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)， 此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12. 知识： 双曲线的标准方程 【例2】 1．（2024·天津·）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． .故选：C 思维升华 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 2．（2022·天津·）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【拓展练习】3．（2021·北京·）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2020·天津）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．★（2023·天津·）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 双曲线的几何性质 【例3】1．（2023·全国甲卷·）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程 ± ＝0或 (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2. 2．（2022·全国甲卷）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)． 【拓展练习】6．（2021·全国乙卷·）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． . 故答案为：4. 7．（2022·北京·）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 8．（2024·全国甲卷·）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 9．（2021·全国甲理卷·）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．（2021·全国甲文卷·）点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 直线与双曲线 【例4】1．（2024·北京·）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 2.（2022全国I）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 思维升华 直线与双曲线位置关系问题的解题策略 （1）直线与双曲线位置关系的判断方法：将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例： ①若a≠0且Δ＞0，直线与双曲线相交，有两个公共点； ②若a≠0且Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点； ③若a≠0且Δ＜0，直线与双曲线相离，没有公共点； ④若a＝0且b≠0，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点； ⑤若a＝0且b＝0，直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点； （2）对于双曲线中的弦长和中点弦等问题，可以类比椭圆的处理思路，借助方程思想，将问题进行化归转化. 3．（2023全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【拓展练习】11．（2023·全国乙卷·）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江西·模拟）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值． 13．（2020·全国·）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 $$ “功夫”2025届第一轮精练 第50讲 双曲线 第50讲 双曲线 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1 . 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2 . 掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率). 3 . 了解双曲线的简单应用． 双曲线的定义 知识： 【例1】 1.（2019·全国·）已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为 A． B． C． D． 【解析】设点，则①． 又，②． 由①②得，即， ，故选B． 2.（2020·全国·）设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】，，根据双曲线的定义可得， ，即， ，， ，即，解得， 故选：A. 【拓展练习】1. 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______． 【解析】　不妨设点P在双曲线的右支上， 则|PF1|－|PF2|＝2a＝2， 在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝＝， ∴|PF1|·|PF2|＝8， ∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2. 2. (2015·全国Ⅰ文16)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6).当△APF周长最小时，该三角形的面积为________. 【解析】设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2， ∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小， 当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)， 此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12. 知识： 双曲线的标准方程 【例2】 1．（2024·天津·）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2．是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解析】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：， 则由得， 由得， 则， 由双曲线第一定义可得：，， 所以双曲线的方程为.故选：C 思维升华 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 2．（2022·天津·）已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】抛物线的准线方程为，则，则、， 不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点， 因为且，则为等腰直角三角形， 且，即，可得，所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为.故选：C. 【拓展练习】3．（2021·北京·）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】，则，，则双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故， 因此，双曲线的方程为.故选：B 4．（2020·天津）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为， 又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．故选：． 5．★（2023·天津·）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图，   因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为故选：D 双曲线的几何性质 【例3】1．（2023·全国甲卷·）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由，则，解得， 所以双曲线的一条渐近线为， 则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程 ± ＝0或 (2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2. 2．（2022·全国甲卷）记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ． 【解析】，所以C的渐近线方程为, 结合渐近线的特点，只需，即， 可满足条件“直线与C无公共点” 所以， 又因为，所以， 故答案为：2（满足皆可） 思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)． 【拓展练习】6．（2021·全国乙卷·）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为 ． 【解析】由渐近线方程化简得，即，同时平方得，又双曲线中，故，解得（舍去），，故焦距. 故答案为：4. 7．（2022·北京·）已知双曲线的渐近线方程为，则 ． 【解析】对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为， 则，，又双曲线的渐近线方程为， 所以，即，解得；故答案为： 8．（2024·全国甲卷·）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【解析】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 9．（2021·全国甲理卷·）已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即.故选：A. 10．（2021·全国甲文卷·）点到双曲线的一条渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. 故选：A. 直线与双曲线 【例4】1．（2024·北京·）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【解析】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 2.（2022全国I）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 【解析】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线． 易知直线l的斜率存在，设，， 联立可得，， 所以，，且． 所以由可得，， 即， 即， 所以， 化简得，，即， 所以或， 当时，直线过点，与题意不符，舍去， 故． （2）常规转化 不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，， 当均在双曲线左支时，，所以， 即，解得（负值舍去） 此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去； 当均在双曲线右支时， 因为，所以，即， 即，解得（负值舍去）， 于是，直线，直线， 联立可得，， 因为方程有一个根为，所以，， 同理可得，，． 所以，，点到直线的距离， 故的面积为． 思维升华 直线与双曲线位置关系问题的解题策略 （1）直线与双曲线位置关系的判断方法：将直线方程与双曲线方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0为例： ①若a≠0且Δ＞0，直线与双曲线相交，有两个公共点； ②若a≠0且Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点； ③若a≠0且Δ＜0，直线与双曲线相离，没有公共点； ④若a＝0且b≠0，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点； ⑤若a＝0且b＝0，直线为双曲线的渐近线，与双曲线相离，没有公共点； （2）对于双曲线中的弦长和中点弦等问题，可以类比椭圆的处理思路，借助方程思想，将问题进行化归转化. 3．（2023全国Ⅱ卷）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【拓展练习】11．（2023·全国乙卷·）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，则的中点， 可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 12．（2024·江西·模拟）已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，为坐标原点，且的面积为，求的值． 【解析】（1）记的半焦距为，由题得的离心率，① 由对称性不妨设的顶点为，渐近线方程为，则，② 又，③ 联立①②③解得，，， 所以的方程为． （2）设， 由得， 所以， 解得，且， 所以，， 所以． 又点到直线的距离， 所以的面积， 解得或，符合式， 所以或． 13．（2020·全国·）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【解析】 双曲线的渐近线方程是 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 联立，解得 故 联立，解得 故 面积为： 双曲线 其焦距为 当且仅当取等号 的焦距的最小值：故选：B. $$