第48讲 直线与圆、圆与圆的位置关系-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第48讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 第48讲 线圆、圆圆位置关系 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！- 2 - 最新考题尽在“功夫”！- 1 - 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 直线与圆的位置关系 知识： 方法： 【例1】1. M(x0，y0)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝1与该圆的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【解析】　由题意知M(x0，y0)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点， 则0<x＋y<1，而圆x2＋y2＝1的圆心到直线x0x＋y0y＝1的距离d＝>1＝r， 故直线x0x＋y0y＝1与该圆的位置关系为相离． 【拓展练习】 1.直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　) A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 【解析】　圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交． 思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 弦长问题 知识： 【例2】 1．（2022·天津·）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ． 2．（2020·天津·）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ． 思维升华 弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 【拓展练习】2．（2018·全国·）直线与圆交于两点，则 ． 3．（2016·全国·）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则 . 【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决． 4. （2024·全国甲文·）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（2020·全国·）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 切线问题 【例3】1．（2022·全国甲卷·）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 2．（2021·全国新Ⅱ卷·）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 【拓展练习】6．（2023·全国新Ⅰ卷·）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 7．（2020·全国·）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 8．（2020·浙江·）设直线与圆和圆均相切，则 ；b= ． 圆与圆的位置关系 【例4】 1. (2024·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为(　　) A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【解析】　圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2. 圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2， 则|MN|＝＝，故有|R－r|<|MN|<R＋r. 故两圆是相交关系． 2. (2023·重庆模拟)圆A：x2＋y2＝4与圆B：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程为(　　) A．x－y＋2＝0 B．x－y－2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝0 【解析】　将两圆方程作差得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0. 因此，两圆的公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0. 思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 【拓展练习】9．（2024·长春·模拟）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 10. (2023·唐山二模)已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则圆C1与C2的位置关系是(　　) A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 两圆的公切线 【例5】1．（2024·衡阳·三模）已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 【分析】根据相切和弦长求出圆的方程，再联立两圆方程，即可得到相交弦所在的直线方程. 2．（2024·张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ． 【拓展练习】11．（2024·保定·二模）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则 ， ． 12.(2024·石家庄质检)“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 $$ “功夫”2025届第一轮精练 第48讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 第48讲 线圆、圆圆位置关系 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！- 2 - 最新考题尽在“功夫”！- 1 - 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 直线与圆的位置关系 知识： 方法： 【例1】1. M(x0，y0)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点，则直线x0x＋y0y＝1与该圆的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交 【解析】　由题意知M(x0，y0)为圆x2＋y2＝1内异于圆心的一点， 则0<x＋y<1，而圆x2＋y2＝1的圆心到直线x0x＋y0y＝1的距离d＝>1＝r， 故直线x0x＋y0y＝1与该圆的位置关系为相离． 【拓展练习】 1.直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　) A．相交、相切或相离 B．相交或相切 C．相交 D．相切 【解析】　圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交． 思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系判断． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 弦长问题 知识： 【例2】 1．（2022·天津·）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ． 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，因为，解得. 故答案为：. 2．（2020·天津·）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为 ． 【解析】因为圆心到直线的距离， 由可得，解得．故答案为：． 思维升华 弦长的两种求法 (1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长． (2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 【拓展练习】2．（2018·全国·）直线与圆交于两点，则 ． 【解析】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是， 弦心距，所以．故答案为：. 3．（2016·全国·）已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则 . 【解析】由，得，代入圆的方程，整理得，解得，所以，所以．又直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，． 【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决． 4. （2024·全国甲文·）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 5．（2020·全国·）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】圆化为，所以圆心坐标为，半径为， 设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时 根据弦长公式得最小值为.故选：B. 切线问题 【例3】1．（2022·全国甲卷·）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ． 【解析】双曲线的渐近线为，即， 不妨取，圆，即，所以圆心为，半径， 依题意圆心到渐近线的距离， 解得或（舍去）．故答案为：． 2．（2021·全国新Ⅱ卷·）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【解析】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以， 则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则即， 所以，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况． 【拓展练习】6．（2023·全国新Ⅰ卷·）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【解析】因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 7．（2020·全国·）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【解析】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即.故选：D. 8．（2020·浙江·）设直线与圆和圆均相切，则 ；b= ． 【解析】设，，由题意，到直线的距离等于半径，即，， 所以，所以（舍）或者， 解得. 故答案为： 圆与圆的位置关系 【例4】 1. (2024·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，则圆M与圆N的位置关系为(　　) A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【解析】　圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2. 圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2， 则|MN|＝＝，故有|R－r|<|MN|<R＋r. 故两圆是相交关系． 2. (2023·重庆模拟)圆A：x2＋y2＝4与圆B：x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程为(　　) A．x－y＋2＝0 B．x－y－2＝0 C．x＋y＋2＝0 D．x＋y－2＝0 【解析】　将两圆方程作差得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0. 因此，两圆的公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0. 思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 【拓展练习】9．（2024·长春·模拟）已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（   ） A．内含 B．相切 C．相交 D．外离 【解析】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 则，故，所以两圆内含；故选：A 10. (2023·唐山二模)已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则圆C1与C2的位置关系是(　　) A．外切 B．内切 C．相交 D．外离 【解析】　圆C1的圆心为(1，0)，r1＝1，圆C2的圆心为(3，1)，r2＝2，所以r2－r1<|C1C2|＝＝<r2＋r1，所以圆C1与C2的位置关系是相交．故选C. 两圆的公切线 【例5】1．（2024·衡阳·三模）已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 【分析】根据相切和弦长求出圆的方程，再联立两圆方程，即可得到相交弦所在的直线方程. 【解析】由圆与轴相切于点，可设圆的方程为， 由，则，所以圆的方程为， 圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程. 故答案为： 2．（2024·张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ． 【解析】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 【拓展练习】11．（2024·保定·二模）已知点为圆上位于第一象限内的点，过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别交轴于两点，则 ， ． 【解析】圆的标准方程为，圆心， 则为的角平分线，所以． 设，则， 所以，则， 即，解得，则， 所以点与重合， 此时，可得， 所以． 12.(2024·石家庄质检)“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】　设圆C1、圆C2的半径分别为r1，r2， 由题意可知C1(0，0)，r1＝2，C2(a，－a)，r2＝1， 连接C1C2，当且仅当圆C1和圆C2内含时，两圆没有公切线， 即圆C1和圆C2有公切线的充要条件为|C1C2|≥r1－r2＝2－1＝1， 即≥1，解得a≤－或a≥. 因为“a≥”是“a≤－或a≥”的充分不必要条件， 所以“a≥”是“圆C1与圆C2有公切线”的充分不必要条件. $$