第46讲 两条直线的位置关系-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第46讲 两条直线的位置关系 第46讲 两条直线的位置关系 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 两条直线的平行与垂直 知识： 方法： 【例1】1.(2023·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　) A．0或－1 B．－1或1 C．－1 D．1 【解析】　由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0， 解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意． 思维升华 两直线位置关系的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合． (3)已知两直线的一般方程 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. (4)巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免不必要的讨论． 2. 已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________． 【解析】＝(3，3a)，＝(a，1－2a)， 由⊥可知·＝3a＋3a－6a2＝0，解得a＝0或1. 3. (2024·青岛模拟)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 【解析】　由△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)知，△ABC的重心为，即(1,1)， 又三角形为直角三角形， 所以外心为斜边中点，即， 所以可得△A BC的欧拉线方程为＝，即x＋2y－3＝0， 因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行， 所以＝≠，解得a＝－1. 【拓展练习】1.(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 【解析】　由题意可知，直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的斜率分别为－，， 又在△ABC中，＝， 所以－·＝－1， 所以两条直线垂直． 2. 已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________. 【解析】　因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0， 所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2， 若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝，经检验符合题意． 3.(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的值可以为(　　) A．－ B．－ C. D. 解析】　若三条直线不能构成三角形，则三条直线要么相交于一点，要么存在平行直线． ①若三条直线交于一点，则由得代入mx－y－1＝0得－m＋－1＝0， ∴m＝－； ②若存在平行直线，则3m＝2或3m＝－4，解得m＝或m＝－. 综上可知，m的可能取值为－，－，.故选ABC. 两直线的交点 知识： 方法： 【例2】 1. 经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　) A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0 【解析】　由解得所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0. 【拓展练习】4．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 两点间的距离问题 【例3】1．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【拓展练习】5．（22-23高二上·宜昌·期中）函数的最小值是（    ） A．5 B．4 C． D． 点到直线的距离或参数问题 【例4】1．（2020·全国·)点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 2.（23-24·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【拓展练习】6．（23-24北京·期中）点到两条直线：，距离相等，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 求点关于直线对称问题 【例5】1．（2023高二上·全国·专题练习）点关于直线对称点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 【拓展练习】7．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． . 求直线关于直线对称问题 【例6】1．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【拓展练习】8．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 两平行线间的距离 【例7】1．（2016·上海·）已知平行直线，，则的距离是 . 2.（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 思维升华 1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式． 2．两平行线间的距离的求法 (1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式． 【拓展练习】 9.（22-23高二上·天津和平·期中）已知直线与直线和平行且距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 10.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. $$ “功夫”2025届第一轮精练 第46讲 两条直线的位置关系 第46讲 两条直线的位置关系 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 两条直线的平行与垂直 知识： 方法： 【例1】1.(2023·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　) A．0或－1 B．－1或1 C．－1 D．1 【解析】　由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0， 解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意． 思维升华 两直线位置关系的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合． (3)已知两直线的一般方程 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. (4)巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免不必要的讨论． 2. 已知经过点A(－2，0)和点B(1，3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________． 【解析】＝(3，3a)，＝(a，1－2a)， 由⊥可知·＝3a＋3a－6a2＝0，解得a＝0或1. 3. (2024·青岛模拟)瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 【解析】　由△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)知，△ABC的重心为，即(1,1)， 又三角形为直角三角形， 所以外心为斜边中点，即， 所以可得△ABC的欧拉线方程为＝，即x＋2y－3＝0， 因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行， 所以＝≠，解得a＝－1. 【拓展练习】1.(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是(　　) A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 【解析】　由题意可知，直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的斜率分别为－，， 又在△ABC中，＝， 所以－·＝－1， 所以两条直线垂直． 2. 已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________. 【解析】　因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0， 所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2， 若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝，经检验符合题意． 3.(多选)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的值可以为(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】　若三条直线不能构成三角形，则三条直线要么相交于一点，要么存在平行直线． ①若三条直线交于一点，则由得代入mx－y－1＝0得－m＋－1＝0， ∴m＝－； ②若存在平行直线，则3m＝2或3m＝－4，解得m＝或m＝－. 综上可知，m的可能取值为－，－，.故选ABC. 两直线的交点 知识： 方法： 【例2】 1. 经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是(　　) A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0 【解析】　由解得所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0. 【拓展练习】4．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 两点间的距离问题 【例3】1．（22-23高二上·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解析】四边形为菱形，轴，轴，可设， ，， 解得：（舍）或，. 故选：A. 2．（23-24高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【解析】设，则， 所以 ， 而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图，   由图可知当运动到时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 【拓展练习】5．（22-23高二上·宜昌·期中）函数的最小值是（    ） A．5 B．4 C． D． 【解析】， 则其几何意义为点到两定点的距离和，点表示为横坐标上的点，作出如图所示： 根据将军饮马模型，作出点关于轴对称点，连接，交轴于点， 则，此时直线的直线方程为 令，则，故当时，.故选：A. 点到直线的距离或参数问题 【例4】1．（2020·全国·)点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【解析】由可知直线过定点，设， 当直线与垂直时，点到直线距离最大， 即为.故选：B. 2.（23-24·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【解析】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 【拓展练习】6．（23-24北京·期中）点到两条直线：，距离相等，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】依题意，所以， 即，又，所以，解得， 显然，所以， 当时，所以， 当时，所以， 综上可得.故选：B 求点关于直线对称问题 【例5】1．（2023高二上·全国·专题练习）点关于直线对称点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 【解析】设点关于直线的对称点Q， 则，解得：． 所以.故选：A． 【拓展练习】7．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【解析】如图所示， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以．故选：C. 求直线关于直线对称问题 【例6】1．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解析】设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以反射光线所在直线方程为，即． 故选：B． 【拓展练习】8．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解析】设点关于直线的对称点为， 则解得即. 所以人射光线所在直线的方程为，即.故选：A 两平行线间的距离 【例7】1．（2016·上海·）已知平行直线，，则的距离是 . 【解析】利用两平行线间的距离公式得. 2.（23-24高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【解析】直线化为：， 所以平行直线与间的距离为.故选：D 思维升华 1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式． 2．两平行线间的距离的求法 (1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离． (2)利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且x，y的系数对应相等，即一定要化成l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0的形式． 【拓展练习】 9.（22-23高二上·天津和平·期中）已知直线与直线和平行且距离相等，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解析】设直线的方程为， 由两条平行线间的距离公式可得：， 解得：，所以直线的方程为，故选：. 10.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 【解析】　因为＝≠，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.故选C. $$