第42讲 空间向量及其运算-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第42讲 空间向量及其运算 第42讲 空间向量及其运算 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 空间向量的基底与正交分解 知识： 【例1】1.（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【解析】由于，，所以不共线， 由于不能构成空间的一个基底， 所以存在使得，即 ， 所以，解得. 故选：B. 2.（23-24高二上·襄阳·期中）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解析】设向量在基底下的坐标为， 则， 所以解得 故在基底下的坐标为. 故选：C. 【拓展练习】1.（23-24高二上·石家庄·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解析】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 2.（23-24高二上·烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为. 故选：C. 知识： 共线、共面向量定理的应用 【例2】1. (2023·淮安模拟)设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　由已知可得＝(1，－1,3)， ＝(x－1，－2，y＋4)． 因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ， 使得＝λ， 所以解得所以x＋y＝5. 思维升华 空间向量线性运算中的三个关键点 (1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 2．（2023秋·滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（    ）   A． B． C． D． 【拓展练习】1.　(2023·天津一中期末)如图，空间四边形OABC中，＝a， ＝b，＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，则＝(　　) A. a＋b＋c B. a＋b－c C．－a＋b＋c D. a－b＋c 【解析】　由题意知，＝＋＋＝＋(－)＋ ＝－＋＋(－) ＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选C. 2. (2023·淮安模拟)在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A. a－b＋c B. a－b＋c C. a＋b＋c D. a－b＋c 【解析】　根据题意可得＝(＋)＝(a＋c)，＝＝(a＋c)， 所以＝＋＝－＋＝－b＋(a＋c)＝a－b＋c. 答案　A 空间向量数量积及其应用 【例3】1．（2023春·高一课时练习）如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______． 【 2. 已知四面体中，点分别为的中点，若，则分别为（   ）   A． B． C． D． 【解析】由图可知 ， 所以. 故选：B． 思维升华 应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O， ＝x＋(1－x) 对空间任一点O， ＝x＋y＋(1－x－y) 【拓展练习】3．已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ等于(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 【解析】　＝6－4＋λ， 即－＝6－4＋λ， 整理得＝6－3＋λ， 由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. 4. (2024·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋(1－x－y)，则||的最小值是(　　) A. B. C. D. 【解析】　因为＝x＋y＋(1－x－y)， 由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以||的最小值即为点D到平面ACD1的距离d， 由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为的等边三角形， 则＝×()2×sin ＝，S△ACD＝×1×1＝， 由等体积法得＝，所以××d＝××1，解得d＝， 所以||的最小值为. 空间向量数量积及其应用 【例4】 1. (2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·等于(　　) A . B. C. D. 【解析】　∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心， ∴PO⊥平面ABC， ∴PO⊥AO，∴·＝0， ||＝·||·sin 60° ＝， 故·＝·(＋)＝||2＝||2－||2＝4－＝. 2.已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求c； (2)求a与b夹角的余弦值； (3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． 【解析】　(1)∵c∥， ∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)． ∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1. ∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－. ∴a与b夹角的余弦值为－. (3)∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，ka＋b与ka－2b互相垂直， ∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0， ∴k＝2或k＝－. 即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－. 空间向量数量积的3个应用 （1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角； （2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； （3）解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题. 【拓展练习】5. 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD. 【解析】 （1）.　设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. 因为＝＋＋＝a＋b＋c， 所以||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝， 所以线段AC1的长为. (2)解　因为＝a＋b＋c，＝b－c， 所以·＝(a＋b＋c)·(b－c) ＝a·b－a·c＋b2－c2 ＝0＋1＋1－4＝－2， ||＝|b－c|＝ ＝ ＝＝， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝， 即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)证明　由①知＝c，＝b－a， 所以·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0， 即⊥， 所以AA1⊥BD. 6. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是(　　) A．AC1＝6 B．AC1⊥DB C．向量与的夹角是60° D．BD1与AC所成角的余弦值为 【解析】　因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°， 所以·＝·＝·＝6×6×cos60°＝18， (＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则||＝＝6，所以A正确； ·＝(＋＋)·(－)＝·－·＋2－·＋·－2＝0，所以B正确； 显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.因为＝，且与的夹角是120°，所以与的夹角也是120°，所以C错误； 因为＝＋－，＝＋，所以||＝＝6，||＝＝6，·＝(＋－)·(＋)＝36， 所以cos〈，〉＝＝＝，所以D错误． $$ “功夫”2025届第一轮精练 第42讲 空间向量及其运算 第42讲 空间向量及其运算 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 1. 了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2. 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3. 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 空间向量的基底与正交分解 知识： 【例1】1.（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【解析】由于，，所以不共线， 由于不能构成空间的一个基底， 所以存在使得，即 ， 所以，解得. 故选：B. 2.（23-24高二上·襄阳·期中）已知向量是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则它在下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解析】设向量在基底下的坐标为， 则， 所以解得 故在基底下的坐标为. 故选：C. 【拓展练习】1.（23-24高二上·石家庄·阶段练习）已知，，是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解析】假定向量，，共面，则存在不全为0的实数， 使得，显然不成立， 所以向量不共面，能构成空间的一个基底，故A正确； 由于，则，，共面，故B错误； 由于，则，，共面，故C错误； 由于，则，，共面，故D错误； 故选：A. 2.（23-24高二上·烟台·阶段练习）设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，所以向量在基底下的坐标为. 故选：C. 知识： 共线、共面向量定理的应用 【例2】1. (2023·淮安模拟)设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】　由已知可得＝(1，－1,3)， ＝(x－1，－2，y＋4)． 因为A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ， 使得＝λ， 所以解得所以x＋y＝5. 思维升华 空间向量线性运算中的三个关键点 (1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 2．（2023秋·滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（    ）   A． B． C． D． 【解析】如图，连接，   是的中点，， ，， ． 故选：． 【拓展练习】1.　(2023·天津一中期末)如图，空间四边形OABC中，＝a， ＝b，＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，则＝(　　) A. a＋b＋c B. a＋b－c C．－a＋b＋c D. a－b＋c 【解析】　由题意知，＝＋＋＝＋(－)＋ ＝－＋＋(－) ＝－＋＋＝－a＋b＋c.故选C. 2. (2023·淮安模拟)在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A. a－b＋c B. a－b＋c C. a＋b＋c D. a－b＋c 【解析】　根据题意可得＝(＋)＝(a＋c)，＝＝(a＋c)， 所以＝＋＝－＋＝－b＋(a＋c)＝a－b＋c. 答案　A 空间向量数量积及其应用 【例3】1．（2023春·高一课时练习）如图四棱锥中，四边形为菱形，，则______． 【解析】因为四棱锥中，四边形为菱形， 所以，所以， 所以＝－＋． 所以，，，故． 故答案为： 2. 已知四面体中，点分别为的中点，若，则分别为（   ）   A． B． C． D． 【解析】由图可知 ， 所以. 故选：B． 思维升华 应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ＝λ ＝x＋y 对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y 对空间任一点O， ＝x＋(1－x) 对空间任一点O， ＝x＋y＋(1－x－y) 【拓展练习】3．已知空间中A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线，设P为空间中任意一点，若＝6－4＋λ，则λ等于(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 【解析】　＝6－4＋λ， 即－＝6－4＋λ， 整理得＝6－3＋λ， 由A，B，C，D四点共面，且其中任意三点均不共线， 可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2. 4. (2024·金华模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且满足＝x＋y＋(1－x－y)，则||的最小值是(　　) A. B. C. D. 【解析】　因为＝x＋y＋(1－x－y)， 由空间向量的共面定理可知，点E，A，C，D1四点共面，即点E在平面ACD1上，所以||的最小值即为点D到平面ACD1的距离d， 由正方体的棱长为1，可得△ACD1是边长为的等边三角形， 则＝×()2×sin ＝，S△ACD＝×1×1＝， 由等体积法得＝，所以××d＝××1，解得d＝， 所以||的最小值为. 空间向量数量积及其应用 【例4】 1. (2023·益阳模拟)在正三棱锥P－ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·等于(　　) A . B. C. D. 【解析】　∵P－ABC为正三棱锥，O为△ABC的中心， ∴PO⊥平面ABC， ∴PO⊥AO，∴·＝0， ||＝·||·sin 60° ＝， 故·＝·(＋)＝||2＝||2－||2＝4－＝. 2.已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求c； (2)求a与b夹角的余弦值； (3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． 【解析】　(1)∵c∥， ∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)． ∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1. ∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－. ∴a与b夹角的余弦值为－. (3)∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，ka＋b与ka－2b互相垂直， ∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0， ∴k＝2或k＝－. 即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－. 空间向量数量积的3个应用 （1）求夹角：设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角； （2）求长度（距离）：利用公式｜a｜2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题； （3）解决垂直问题：利用a⊥b⇔a·b＝0（a≠0，b≠0），可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题. 【拓展练习】5. 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD. 【解析】 （1）.　设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0， c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1. 因为＝＋＋＝a＋b＋c， 所以||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝， 所以线段AC1的长为. (2)解　因为＝a＋b＋c，＝b－c， 所以·＝(a＋b＋c)·(b－c) ＝a·b－a·c＋b2－c2 ＝0＋1＋1－4＝－2， ||＝|b－c|＝ ＝ ＝＝， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝， 即异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)证明　由①知＝c，＝b－a， 所以·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1＋1＝0， 即⊥， 所以AA1⊥BD. 6. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是(　　) A．AC1＝6 B．AC1⊥DB C．向量与的夹角是60° D．BD1与AC所成角的余弦值为 【解析】　因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°， 所以·＝·＝·＝6×6×cos60°＝18， (＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则||＝＝6，所以A正确； ·＝(＋＋)·(－)＝·－·＋2－·＋·－2＝0，所以B正确； 显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.因为＝，且与的夹角是120°，所以与的夹角也是120°，所以C错误； 因为＝＋－，＝＋，所以||＝＝6，||＝＝6，·＝(＋－)·(＋)＝36， 所以cos〈，〉＝＝＝，所以D错误． $$