第7讲 函数的性质-2025届高三数学一轮复习

“功夫”2025届第一轮精练 第7讲 函数的性质 第7讲 函数的性质 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　 1. 了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2. 会依据函数的性质进行简单的应用． 3. 函数的单调性. 函数奇偶性应用 知识： 【例1】1．（2024天津）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023全国Ⅱ）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 3．（2024上海）已知，，且是奇函数，则 ． 4．（2022全国乙文）若是奇函数，则 ， ． 思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 2、模板解决步骤 第一步：求函数的定义域； 第二步：判断其定义域是否关于原点对称； 第三步：若是，则验证与的关系；若不是，则非奇非偶函数； 第四步：得出结论． 【拓展练习】1．（2021全国乙文）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2021全国甲文）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． 3.（2024·高三·武汉·期末）函数为奇函数，则实数k的取值为 . 4．（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1012 D．2024 5．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　 　． ①；②当时，；③是奇函数． 单调性 【例2】1．（2023全国乙理）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .知识： 2.（2024·安徽蚌埠·模拟预测）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 知识： 【拓展练习】6．（2024·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 7．★（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增. （2）讨论函数在区间上的单调性. （3）讨论函数在区间上的单调性. 复合函数单调性的判断 【例3】1．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 2．（2020•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 3.（2024·高三·绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 思维升华 讨论复合函数的单调性时要注意 既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 【拓展练习】8. 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 函数的奇偶性与单调性综合 【例4】1．（2024上海）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 2．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则　　 A． B． C．（2） D．（4） 【拓展练习】．9.（2024·河南·三模）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．的单调递增区间为 函数周期性的应用 【例5】1．（2021全国甲理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A． B． C． D． 2．（2019•上海）已知函数周期为1，且当时，，则　　． 【拓展练习】10.(2016·四川文14)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝________. 11.（2024·河北保定·三模）定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为 . 12.★（多选题）（2024·江西赣州·二模）函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是周期函数 D． 13．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 . $$ “功夫”2025届第一轮精练 第7讲 函数的性质 第7讲 函数的性质 “功夫”2025届第一轮精练 最新考题尽在“功夫”！1 最新考题尽在“功夫”！1 学科网（北京）股份有限公司 学习目标 　 1. 了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2. 会依据函数的性质进行简单的应用． 3. 函数的单调性. 函数奇偶性应用 知识： 【例1】1．（2024天津）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【解析】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，， 则，则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 2．（2023全国Ⅱ）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【解析】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. 故此时为偶函数. 故选：B. 3．（2024上海）已知，，且是奇函数，则 ． 【解析】因为是奇函数，故即， 故，故答案为：. 4．（2022全国乙文）若是奇函数，则 ， ． 【解析】奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， . 思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 2、模板解决步骤 第一步：求函数的定义域； 第二步：判断其定义域是否关于原点对称； 第三步：若是，则验证与的关系；若不是，则非奇非偶函数； 第四步：得出结论． 【拓展练习】1．（2021全国乙文）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得， 对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 2．（2021全国甲文）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得：， 而，故.故选：C. 3.（2024·高三·武汉·期末）函数为奇函数，则实数k的取值为 . 【解析】因为为定义域上的奇函数，所以， 即，整理化简有：恒成立， 所以，得，又因为，所以， 且当时，，其定义域为，关于原点对称，故满足题意. 故答案为： 4．（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1012 D．2024 【解析】由，即的一个周期为4， 由为偶函数可知关于轴对称，即， 又可知，所以， 显然， 所以.故选：B 5．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数　 　． ①；②当时，；③是奇函数． 【解析】时，；当时，；是奇函数． 故答案为：． 另解：幂函数即可满足条件①和②；偶函数即可满足条件③， 综上所述，取即可． 单调性 【例2】1．（2023全国乙理）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .知识： 【解析】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 2.（2024·安徽蚌埠·模拟预测）下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（    ） A． B． C． D． 【解析】根据题意，“对任意的，使得”，则函数在上为减函数. 对于选项A，，为二次函数，其对称轴为x＝－1，在上递减，符合题意； 对于选项B，，其导数，所以在上递增，不符合题意； 对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意； 对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，在上单调递增，不符合题意. 故选：A. 3．（2023北京）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 【拓展练习】6．（2024·北京·三模）下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（    ）知识： A． B． C． D． 【解析】对于A中，由指数函数的性质，可得函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数的定义域为关于原点对称，且满足，所以为偶函数， 当时，，在区间上单调递增，所以C符合题意； 对于D中，函数在期间上不是单调递增函数，所以D不符合题意. 故选：C. 7．★（1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增. （2）讨论函数在区间上的单调性. （3）讨论函数在区间上的单调性. 【解析】（1）证明且， 则. . 又即. 在区间上单调递增. （2）且. . ①当时，，又， 即.在上为减函数. ②当时，，又. 即在上为增函数. （3）且， 则. ①当时，，又，即. 在上为减函数. ②当时，又，，即. 在上为增函数. 复合函数单调性的判断 【例3】1．（2023•新高考Ⅰ）设函数在区间单调递减，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上， 是的增函数， 要使在区间单调递减， 则在区间单调递减， 即，即， 故实数的取值范围是，． 故选：． 2．（2020•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 【解析】由，得或． 令， 外层函数是其定义域内的增函数， 要使函数在上单调递增， 则需内层函数在上单调递增且恒大于0， 则，，，即． 的取值范围是，． 故选：． 3.（2024·高三·绍兴·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】由， ，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数， 由复合函数单调性可得的单调递减区间为. 故选：C. 思维升华 讨论复合函数的单调性时要注意 既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 【拓展练习】8. 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【解析】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为，故选：C 函数的奇偶性与单调性综合 【例4】1．（2024上海）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 【解析】对于A，若存在 是偶函数, 取 , 则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误； 对于B，可构造函数满足集合， 当时，则，当时，，当时，， 则该函数的最大值是，则B正确； 对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误； 故选：B. 2．（2021•新高考Ⅱ）已知函数的定义域为不恒为，为偶函数，为奇函数，则　　 A． B． C．（2） D．（4） 【解析】函数为偶函数， ， 为奇函数， ， 用替换上式中，得， ，，即， 故函数是以4为周期的周期函数， 为奇函数， ，即， 用替换上式中，可得，， 关于对称， 又（1）， （1）． 故选：． 【拓展练习】．9.（2024·河南·三模）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．的单调递增区间为 【解析】对AB，由，得，则的定义域为，值域为，A，B均正确； 对C，，C正确； 对D，因为，所以，外层函数为增函数， ，令，所以函数定义域为， 内层函数，在上单调递增，上单调递减， 所以的单调递增区间为不是D错误. 故选：ABC 函数周期性的应用 【例5】1．（2021全国甲理）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以．故选：D． 2．（2019•上海）已知函数周期为1，且当时，，则　　． 【解析】因为函数周期为1，所以， 因为当时，，所以， 故答案为：． 【拓展练习】10.(2016·四川文14)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f＋f(2)＝________. 【解析】　∵f(x)周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f(x)＝4x， 则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f(0)＝0， ∴f＋f(2)＝－f＋f(2)＝－f＋f(0)＝－2＋0＝－2. 11.（2024·河北保定·三模）定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为 . 【解析】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，所以，， 则的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，， 故有，则，从而，，即函数是周期为8的周期函数. 根据函数的对称性和周期性，可以画出函数和在上的图象（如图）. 由图可知与的图象在上有4个交点. 故答案为：4. 12.★（多选题）（2024·江西赣州·二模）函数及其导函数的定义域均为R，和都是奇函数，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．是周期函数 D． 【解析】对于A，因为是奇函数，所以， 则有，的图象关于点对称，故A错误； 对于B，是奇函数，其图象关于原点对称， 向右平移1个单位后可得，所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，因为是奇函数，所以， 所以，所以， 所以，所以①， 因为，所以②， 由①②可得：，所以， 所以，， 所以是函数的一个周期函数，所以是周期函数，故C正确； 对于D，因为，所以， ，，， 所以， 而，故D错误. 故选：BC. 13．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 . 【解析】由，可得的图象关于点对称， 又是奇函数，所以， 则的周期为3，所以， ， 而，则. 故在上的零点个数的最小值为9. 故答案为：9. $$